高二數學試題本試卷滿分150分考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的。1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．已知復數z滿足，則復數z的模等于（）A．1B．C．D．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知等差數列中，為的前n項和，，則（）A．4B．C．3D．5．已知向量不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（）A．B．C．D．6．圓和圓的公切線的條數為（）A．1B．2C．3D．47．已知函數在上單調，且，則的取值共有（）A．1個B．2個C．3個D．4個8．橢圓的右焦點為，上頂點為B，直線交橢圓于P，Q兩點，若F恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分。9．已知非零向量，下列命題正確的是（）A．若，則B．與向量同向的單位向量是C．“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件D．若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底10．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且垂直于x軸的直線與該橢圓相交于A，B兩點，且，點P在該橢圓上，則下列說法正確的是（）A．存在點P，使得B．若，則C．滿足為直角三角形的點P只有8個D．的取值范圍為11．已知數列滿足，則（）A．當時，數列是等比數列B．若，且為常數數列，則C．當時，為遞增數列D．若，則12．如圖，正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點，則（）A．正四棱臺的體積為B．平面平面C．平面D．二面角的正弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．數列為等比數列，且，則___________．14．若，則__________．15．如圖，已知在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點，將，分別沿著直線AM，MD翻折，使得B，C兩點重合于點P，則點P到平面MAD的距離為___________．16．已知函數，的值域為，則實數a的取值范圍是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知數列的首項，且滿足．（I）求證：數列為等比數列；（Ⅱ）記數列的前n項和為，求．18．（12分）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（I）求A；（Ⅱ）設AB的中點為D，若，且，求的面積．19．（12分）平面內一點P滿足：P點到的距離比P點到y軸的距離大2，且點P不在y軸左側，記點P的軌跡為曲線C．（I）求曲線C的方程；（Ⅱ）點Q為y軸左側一點，曲線C上存在兩點A，B，使得線段點QA，點QB的中點均在曲線C上，設線段AB的中點為M，證明：M垂直于y軸．20．（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，平面平面ABC，．（I）過作出三棱柱的一個截面，使AB與截面垂直，并給出證明；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知，又正項數列中，，其前n項和為，且．（I）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（Ⅱ）試比較與的大小并說明理由．22．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，左頂點為，點M為雙曲線上一動點，且的最小值為18，O為坐標原點．（I）求雙曲線C的標準方程；（Ⅱ）如圖，已知直線與x軸交于點T，過點T的直線交雙曲線C右支于點B，D，直線AB，AD分別交直線l于點P，Q，若，求實數m的值．高二數學試題參考答案一、二選擇題123456789101112BDBBDCCBABDBCDACDBC三、填空題13．14．15．16．四、解答題17．【詳解】（1）令，則，于是，將它們代入到等式中，可得，整理得，即．因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列．所以數列為等比數列．5分（2）由（1）知，，則．記數列的前n項和為，則，且可得，兩式相減得，可得．所以，．10分18．【詳解】（1）由已知得，，由正弦定理可得，，因為，所以代入上式，整理得，又因為，所以，即，因為，而，所以．6分（2）在中，由余弦定理得，．而，所以．①在中，由余弦定理得，，②由①②兩式消去a，得，所以．又，解得．所以的面積．12分19．【詳解】（1）設點，根據題意，解得由于點P不在一條射線上，故點P的軌跡方程為．6分（2）設線段QA，QB的中點分別為D，E，設因為點A在曲線C上，則，因為點D在曲線C上，所以：．同理，故是方程的兩個解，由韋達定理知，所以，即點Q的縱坐標與點M的縱坐標相同，故QM垂直于y軸．12分20．【詳解】（1）如圖，設AB的中點為O，連接，則截面即為所求．因為分別為的中線，所以，又，所以平面．6分（2）如圖，以0為坐標原點，建立坐標系，則，，設平面的一個法向量為，由得，令，得，所以，所以，即與平面所成角的正弦值為．12分21．【詳解】（1）依題設，．因為，所以，可得，即得，可見數列是首項為，公差為的等差數列，可得，即得．所以，可得．6分（2）因為．所以，只需比較與n的大小關系，也就是比較與的大小關系．當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，我們來證明如下：法一：記，則，而，可得，則數列是遞增數列，可得，即得．12分法二：當時，，由，可知成立．假設當時，不等式成立；那么，當時，有成立，而不等式右邊為，即為k，故此時要證明不等式k+1-1成立，只需證明成立，即證明成立，也就是證明互成立．因為，而，所以不等式成立．那么，不等式成立，這說明當時不等式也成立．故由數學歸納法可證得：當時，不等式成立．綜上，當時，，即；當或時，即；當或或時，，即．12分22．【詳解】（1）設，不妨設M為雙曲線右支上一動點，則，則，即，可得，注意到，則，由題意可得：，即，則，的對稱軸為，則在上單