第17課切線長定理目標導航目標導航課程標準1.理解切線長的定義；2.理解切線長定理及圓外切四邊形的性質；3.能證明切線長定理；4.能運用切線長定理進行有關的證明與計算.知識精講知識精講知識點01切線長定理1．切線長：

經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

注意：

切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.

2．切線長定理：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

注意：

切線長定理包含兩個結論：線段相等和角相等.知識點02圓外切四邊形圓外切四邊形四邊形的四條邊都與同一個圓相切,那這個四邊形叫做圓的外切四邊形.圓外切四邊形性質圓外切四邊形的兩組對邊之和相等.

注意：不是所有的四邊形都有內切圓能力拓展能力拓展考法01應用切線長定理求解【典例1】如圖，分別與相切于點、過圓上點作的切線分別交于點，若，則的周長是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】解：∵分別與相切于點，的切線分別交于點，，∴，∴的周長．故選：D．【即學即練】如圖，分別切于點A，B，C．若的半徑為的長為，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接，∵是的切線，∴，同理，，，在中，，∴．故選C．【典例2】如圖是的切線，切點分別為P，C，D．若，則的長是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．2【答案】B【詳解】解：∵是的切線，切點分別為P，C，D，，∴，∴，故選B．【即學即練】如圖，的內切圓⊙O與，BC，CA分別相切于點D，E，F，，則AD的長是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，∵的內切圓⊙O與，BC，CA分別相切于點D，E，F，∴，∵，∴，，∵∴，∴，∴．故選：D．考法02應用切線長定理求證【典例3】已知：如圖，為的直徑，為的切線，D、B為切點，交于點E，的延長線交于點F，連接．以下結論：①；②點E為的內心；③；④．其中正確的只有（

）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【詳解】連接OD，DE，EB，∵CD與BC是⊙O的切線，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，∵OC=OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO，∴∠COD=∠COB，∴∠COB=∠DAB=∠DOB，∴AD∥OC，故①正確；∵CD是⊙O的切線，∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，因此E為△CBD的內心，故②正確；若FC=FE，則應有∠OCB=∠CEF，應有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，∴弧AD=弧BE，而弧AD與弧BE不一定相等，故③不正確；設AE、BD交于點G，由②可知∠EBG=∠EBF，又∵BE⊥GF，∴FB=GB，由切線的性質可得，點E是弧BD的中點，∠DCE=∠BCE，又∵∠MDA=∠DCE（平行線的性質）=∠DBA，∴∠BCE=∠GBA，而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所對的圓周角相等），∴∠AGB=∠CFE，∴△ABG∽△CEF，∴CE?GB=AB?CF，又∵FB=GB，∴CE?FB=AB?CF故④正確．因此正確的結論有：①②④．故選：D．【即學即練】如圖AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點且ABDC，則下列結論：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正確的個數是（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【詳解】連結OF，∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，又因為CG與CF為切線長，BE與BF也為切線長，∴CG=CF，BE=BF，∴①CG=CF，②BE=BF正確；∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90o，∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180o，∴2∠FOB+2∠FOC=180o，∴∠FOB+∠FOC=90o，∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90o，∴③∠BOC=90°正確；；由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，∵∠EOB+∠EBO=90o，∠EOB+∠EBO=90o，∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，△BEO∽△BOC∽△OGC，∴④△BEO～△BOC～△OGC正確，①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正確的個數有4個，故選擇：A．【典例4】如圖，已知PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，射線PO交圓O于點D、點E．下列結論不一定成立的是()A．點E是△BPA的內心 B．AB與PD相互垂直平分C．點A、B都在以PO為直徑的圓上 D．PC為△BPA的邊AB上的中線【答案】B【詳解】解：如圖，作EG⊥PA于G，EH⊥PB于H，作PO的中點F，并連結FB、FA、EB、EA、OB、OA，由切線長定理可知PA=PB，∠BPO=∠APO，∴△BPA為等腰三角形，且PC為△BPA的邊AB上的中線，D不符合題意；由切線的性質可知△OBP、△OAP為直角三角形，∵F為PO的中點，∴FB=FA=，∴點A、B都在以PO為直徑的圓上，C不符合題意；在△PBE和△PAE中，，∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC，∵PO平分∠BPA，∴EH=EG，∴EH=EG=EC，∴點E是△BPA的內心，A不符合題意；∵PC=CD不一定成立，AB與PD不一定相互垂直平分，B符合題意；故選B．【即學即練】如圖，切于點切于點交于點，下列結論中不一定成立的是（

）A． B．平分C． D．【答案】D【詳解】解：連接OA，OB，AB，AB交PO于點G，由切線長定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，從而AB⊥OP．因此A．B．C都正確．無法得出AB＝PA＝PB，可知：D是錯誤的．綜上可知：只有D是錯誤的．故選：D．考法03圓的綜合問題【典例5】如圖，是的弦，點是上的動點（不與、重合），，垂足為，點是的中點．若的半徑是，則長的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵∴∵點是的中點∴∴當為直徑時，最大；∵的半徑是；∴∴故選：A．【即學即練】如圖，C為半圓弧的中點，P為弧上任意一點，，且與交于點D，連接．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，以為斜邊作等腰直角三角形，則，連接，，，∵的直徑為，C為半圓弧的中點，∴，∵，∴，∴，，∴點D的運動軌跡為以Q為圓心，為半徑的圓弧，∵，C為半圓弧的中點，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴中，，∴，∵，∴，∴∴的最小值為：故選：A【典例6】如圖，是的直徑，，點B為弧的中點，點P是直徑上的一個動點，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】C【詳解】解：過A作關于直線的對稱點，連接，，∵關于直線對稱，∴，∵，∴，∴，過O作于Q，則，∵，∴，∴，∴，即的最小值．故選：C．【即學即練】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．平面內，⊙的半徑為，點到圓心的距離為，過點可作⊙的切線條數（

）A．條 B．條 C．條 D．無數條【答案】A【詳解】⊙的半徑為，點到圓心的距離為，,點與⊙的位置關系是：點在⊙的內部，過點可以作⊙的條切線．故選：A．2．如圖，已知、分別切于、，切于，，，則周長為（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】C【詳解】、分別切于、，，，，、分別切于、，切于，，，，故選：C．3．如圖，、、是的切線，切點分別為、、，若，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵、、是的切線，∴AP=AC，BP=BD，∵，，∴AP=3，∴BD=BP=AB-AP=2．故選：B4．如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，且，的周長為14，則的長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：與，，分別相切于點，，，，，的周長為14，故選：．5．如圖，是的切線，切點分別為P、C、D，若，，則BD的長是（

）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】B【詳解】解：∵為的切線，∴，∵為的切線，∴，∵，，∴．故選：B．6．如圖，⊙O是的內切圓，D，E，F分別為切點，且．已知，，則四邊形OFCE的面積為（

）A．1 B．15 C． D．4【答案】D【詳解】解：如圖，連接，設半徑為，則，，，，∵，，，∴,∴，，∴，∴，∵，分別為切點，且，，∴四邊形是正方形，∴四邊形的面積為．故選：D．7．如圖，，是的切線，切點分別為，．若，，則的長為________．【答案】【詳解】解：∵，分別為的切線，∴，，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴．故答案為：8．如圖，P為外一點，分別切于點，切于點，分別交于點，若，則的周長為__．【答案】【詳解】解：分別切于點，切于點，，，，，的周長，故答案為：．9．如圖，中，，點在邊上，以為直徑作交的延長線于點，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵交的延長線于點，∴點，在圓上，∴，且是圓的半徑，∴，∵，∴，∵中，，∴在中，，∴，即，且點在圓上，∴是的切線．（2）解：在中，，，∴，∵，∴，由（1）可知，設圓的半徑為，∴，且，∴，即，解得，，故的半徑為．10．如圖，與相切于點C，經過上的點D，交于點，，是的直徑．(1)求證：是的切線；(2)當，時，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)3【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴，

∴，∵與相切，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的切線，與相切，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即的半徑長為3．題組B能力提升練1．已知的內切圓的半徑為，且，的周長為16，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：根據題意，作出圖形，過點作，，，連接，如下圖：由切線長定理可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，即，在中，，，∴，由勾股定理可得：，的周長為16，可得：解得，故選：C．2．圓O內切于三角形，在斜邊上的切點為D，，，則內切圓的半徑為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】解：由題意得，是直角三角形，且，設內切圓與三邊分別切于點D，E，F，連接，，如圖，∵是的內切圓，∴，，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴矩形為正方形；設的半徑為r，∵四邊形為正方形，∴，∵是的內切圓，∴，，∴，，，在中，，∴，解得：（舍去），∴的半徑為2；故選：A．3．如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，的周長為4，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】解：∵，是的切線，切點分別是，，∴，∵、是的切線，切點是D，交，于點，，∴，，∵的周長為4，即，∴，∵，∴，故選：B．4．若直角三角形中兩直角邊之比是，則稱直角三角形為完美三角形．如圖，C是上半圓上一點，將沿著BC折疊，與直徑AB交于圓心O右側一點D，若是完美三角形，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，作交于，連接，∵弧是由部分沿折疊得到的，且，∴，又∵，∴，∵是完美三角形，∴，，設，則，∴，∴，∴，∴，故選：．5．如圖，的半徑為2，，是的兩條切線，切點分別為A，B．連接，，，，若，則的周長為（

）A． B． C．6 D．3【答案】A【詳解】解：∵，是的兩條切線，切點分別為A，B，∴，．∵，∴為等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴的周長為．故選A．6．如圖，是的直徑，半徑于點，平分，交于點，交于點，連接，，給出以下四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【詳解】解：設的半徑為，則，，，平分，，，，∽，，，，，∽，，故正確，符合題意；，，，又∽，，，故錯誤，不符合題意；平分，，，是的直徑，半徑于點，，故正確，符合題意；，又是的直徑，半徑于點，，，，，∽，，，，，，故正確，符合題意；故選：D．7．如圖，正方形的邊長為，點是邊上一點，連接，過點作于點，連接并延長交于點，則的最大值是____．【答案】1【詳解】解：以為直徑作圓，因為，所以點在圓上．當與圓相切時，最大．此時，．設，則，，在中，利用勾股定理可得：，解得．故答案為．8．在平面直角坐標系xOy中，以點為圓心，單位長1為半徑的圓與直線相切于點M，直線與y軸交于點N，當取得最小值時，k的值為______．【答案】或##或【詳解】∵直線與y軸交于點N，∴，且，∴，∵單位長1為半徑的圓與直線相切于點M，∴，∴，∴當時，取得最小值，∴點，設直線與x軸的交點為，∴，，，，∴，∴，解得：或，故答案為：或9．如圖，是的直徑，射線交于點D，E是劣弧上一點，且平分，過點E作于點F，延長，交延長線于點G．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)6．【詳解】（1）證明：如圖，連接，平分，，，，，，，，點E在上，是的切線；（2）解：過點O作于點M，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，．10．如圖，已知點D在⊙O的直徑延長線上，點C為⊙O上，過D作，與的延長線相交于E，為⊙O的切線，．(1)求證：；(2)求的長；(3)若的平分線與⊙O交于點F，P為的內心，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是⊙O的切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）（2）方法一：∵，∴，∵，∴由勾股定理可得，，∵，∴由勾股定理可得，，∵，∴，∴解得：或（舍去），故．方法二：由弦切角定理得，∵，∴，∴，即，∵，∴由勾股定理可得，，∵，∴，解得或（舍去）,故．（3）如圖，連接，∵平分，∴，∴，∵為直徑，，∴，∵P為的內心，∴∵，∴，∴∴，∴．方法二：如圖，連接，∵平分，∴，∴，∴，∵為直徑，，∴，∵P為的內心，平分，∴，∵，∴，∴．題組C培優拔尖練1．如圖，，切⊙O于A、B兩點，切于點E，交，于C，D．若的周長等于3，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，切⊙O于A、B兩點，切于點E，交，于C，D．∴，，，∵的周長為，∴，∴．故選：A．2．如圖，是的直徑，點、在上，點是弧的中點，過點畫的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接，如圖所示：是的直徑，是的切線，，，，，點是弧的中點，，，，，故選：B．3．如圖，是的直徑，點C，點D是半圓上兩點，連接相交于點P，連接．已知于點E，．下列結論：①；②；③若，則；④若點P為的中點，則．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④【答案】B【詳解】解：∵是的直徑，∴，∴，根據題意無法確定和之間的大小關系，∴無法確定和4之間的大小關系，故①錯誤；∵，∴，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴＝，∵，∴＝，∴＝＝，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，故③正確；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴，故④正確．故選：B．4．如圖，矩形OABC，，點M為的內心，將矩形繞點C順時針旋轉90°，則點M的對應點坐標為（）A．（，6） B．（6，） C．（1，1） D．（，6）【答案】D【詳解】解：如圖，在矩形OABC中，，∴，∴，過點M作，垂足分別為D、E、F，∴，∴四邊形是矩形，∵點M為的內心，∴，∴四邊形BDME是正方形，設設，則，，∴，解得，∴，設將矩形繞點C順時針旋轉90°后，點M的對應點為點，如圖，過點作軸于N，∴，∴，又∵，，∴（AAS），∴，，∴點的坐標為（，6），故選：D．5．如圖，中，，，，點是的內心，則的長度為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【詳解】根據點是的內心，畫出的內切圓，如圖，過點D作，，，垂足為E，F，H，連接AD，根據內切圓的性質可知垂足E，F，H也是三邊與的切點，∴，∵，∴，設，則，∴，，，∴，∴，∴，設，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．6．如圖，AB是半圓O的直徑，點C、E是半圓上的動點（不與點A、B重合），且，射線AE，BC交于點F，M為AF中點，G為CM上一點，作，交于點N，則點C在從點A往點B運動的過程中，四邊形的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大C．保持不變 D．一直減小【答案】A【詳解】解：如圖，連接，，．∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴（SSS），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴（ASA），∴，∴，∵點C在從點A往點B運動的過程中，△OBC的面積先變大后變小，∴四邊形CGON的面積先變大后變小，故選：A．7．如圖，的半徑為，圓心，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關于原點對稱，則的最小值為_____．【答案】【詳解】連接，交于，過點作軸于點，連接，，在中，，在中，，∴，∵，，∴，即，當點與點重合時，，∴時取最小值，此時點在直線上取最小值，∵，∴，∵點、點關于原點對稱，∴，即是的中點，∴，∴，∴當最小時，取最小值，∴；故