2023年湖南省邵陽市新邵縣第五中學中考一模數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在數軸上表示數-1和2021的兩個點之間的距離為（）個單位長度

A.2022B.2021C.2020D.2019

2.下列幾種著名的數學曲線中，不是軸對稱圖形的是（）

A.453x1(/B.45.3xl06C.4.53xlO7D.0.453xlO8

4.下列運算正確的是()

A.3〃+3〃=6。B.(24+2b)=4。+4h

C.a=aD.(—ab)=~ab

5.某同學在今年的中考體育測試中選考跳繩.考前一周，他記錄了自己五次跳繩的成

績（次數/分鐘）：247,253,247,255,263.這五次成績的平均數和中位數分別是（）

A.253,253B.255,253C.253,247D.255,247

6.如圖，YA8C。的周長為30cm,ABC的周長為27cm,則對角線AC的長為()

A.27cmB.17cmC.12cmD.10cm

7.《九章算術》是中國古代的一本重要數學著作，其中有一道方程的應用題：“五只雀、

六只燕共重16兩，雀重燕輕.互換其中一只，恰好一樣重.假設每只雀的重量相同，

每只燕的重量相同，問每只雀、燕的重量各為多少？解：設雀每只工兩，燕每只y兩,

則可列出方程組為（）

6x+5y=166x+5y=16

6x+y=5y+x5x+y=4y+x

[5x+6y=16\5x+6y=\6

?15x+y=6y+x<[4x+y=5y+x

8.若一次函數），=履+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

C.y隨x的增大而增大D.x=3時，>=0

9.如圖，。中，ZAOC=122。，點。在AB的延長線上，且5￡>=5C,則4>=（）

A.30°B.31.5°C.I—D.30.5°

10.在平面直角坐標系xOy中，點A在直線/上，以A為圓心，04為半徑的圓與y軸

的另一個交點為E,給出如下定義：若線段OE,A和直線/上分別存在點B,點C和

點Q,使得四邊形A8CD是矩形（點順時針排列），則稱矩形ABCD為直線/

的''理想矩形例如，右圖中的矩形4BCD為直線/的“理想矩形”.若點A（3,4）,則直

線尸丘+1（b0）的“理想矩形”的面積為（）

C.4>/2D.35/2

二、填空題

11.因式分解：9aih—ah=

試卷第2頁，共6頁

12.若關于x的方程5x-l=2x+a的解與方程4x+3=7的解互為相反數，則a=

13.如圖，在ABC中，延長AB至。，延長8c至E,如果Nl+/2=230°,則4=.

14.已知,ABC中，ZA=90°,tanB=-,則sinC=___.

2

(3尢+y=3/72—5

15.已知關于x,y的二元一次方程組〈，，若x+y>4,則朋的取值范圍是

[x-y=m-\

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點E是邊BC的中點，將沿AE翻

折得AAFE,點F落在四邊形AECD內，點P是線段AE上的動點，過點尸作P。_LAF,

垂足為Q，連接P尸，則R2+PF的最小值為.

三、解答題

17.計算：-32+2tan60O-M+(3-%)°.

18.先化簡，在求值：二-x+1/-再從-1、0、1三個數中選擇一個你認為

(x+1)x~+2x+l

合適的數作為X的值代入求值.

19.如圖，在RtA43c中，ZC=90°,。是邊8C上一點，連接4。并延長至點E,AD

=DE,過點E作EFLBC于點F,連接BE.

⑴求證：AADC^AEDF.

⑵若BE=DE,AC=8,CD=4,求AB的長.

20.為了落實上級關于新型冠狀病毒的肺炎疫情防控工作，某校計劃給每個教師配備紫

外線消毒燈和體溫檢測儀.已知購買1臺紫外線消毒燈和2個體溫檢測儀要1450元，

購買2臺紫外線消毒燈和1個體溫檢測儀需要1700元.

(1)求紫外線消毒燈和體溫檢測儀的單價各為多少元；

(2)根據學校實際情況，需要購買紫外線消毒燈和體溫檢測儀共計75件，總費用不超

過38500元，且不少于37500元，該校共有幾種購買方案？

21.我市為加快推進生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實行統一的外型、型號、顏色等，

其中，可回收物用藍色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他

垃圾用灰色收集桶.為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的

餐巾紙應投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機采訪了部分學生，根據調查結果，繪制

了如圖所示的兩幅不完整的統計圖.

用過的餐巾紙投放情況統計圖

根據圖中信息，解答下列問題:

(1)此次調查一共隨機采訪了名學生，在扇形統計圖中，“灰”所在扇形的圓

心角的度數為度；

(2)補全條形統計圖(要求在條形圖上方注明人數)；

(3)若該校有3600名學生，估計該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數:

(4)李老師計劃從A,B,C,。四位學生中隨機抽取兩人參加學校的垃圾分類知識

搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中A,B兩人的概率.

22.某校開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度，如圖，已知測角器

的高度為1米，在測點A處安置測角器，測得點M的仰角/M3C=30。，在與A點相距

2近米的測點。處安置測角器，測得點M的仰角NM￡C=45°(點A,。與N在同一條

試卷第4頁，共6頁

直線上)，求電池板離地面的高度歷N.

NDA

23.如圖，在△ABC中，AB=4C,點C是8C邊上的中點，點尸是4C邊上的一個動

點，延長。P到點區使NCAE=/CDE,作NDCG=N4CE,其中G點在。E上.

(2)如圖2,若N￡>CG=30°,—求：；

DG4SMBC--------

(3)如圖3,若NABC=60°,延長CG至點M,使得MG=GC,連接AM,BM.在

CP

點尸運動的過程中，探究：當W的值為多少時，線段AM與。M的長度之和取得最小

zlc

值？

24.如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖象經過點A(-LO),8(4,0),C(0,2),

點/)是點C關于原點的對稱點，連接B。，點E是x軸上的一個動點，設點E的坐標為

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)當點E在線段。8上運動時，直線/交8。于點。，當四邊形COQP是平行四邊形時，

求m的值；

(3)是否存在點P,使是不以8。為斜邊的直角三角形？如果存在請直接寫出點P

的坐標；如果不存在，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】直接利用數軸上兩點之間的距離公式進行計算即可.

【詳解】解：數軸上表示數-1和2021的兩個點之間的距離為：

2021-(-1)=2021+1=2022,

故選A.

【點睛】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，理解兩點之間的距離的含義是解本題的關鍵.

2.D

【分析】根據軸對稱的定義：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠

互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據此解答即可.

【詳解】解：選項中A,B,C均有對稱軸為軸對稱圖形，

D不是軸對稱圖形，

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱的定義，熟記定義是解本題的關鍵.

3.C

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為axlO"，其中lW|a|<10,“為整數,

據此判斷即可.

【詳解】45300000=4.53xlO7.

故選C.

【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為“X1O”的形式，其中1W|4|<1O,

"為整數.確定”的值時，要看把原來的數，變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值

與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃是正數；當原數的絕對值VI時，〃是

負數，確定〃與〃的值是解題的關鍵.

4.D

【分析】根據同底數基的乘法、積的乘方、合并同類項以及完全平方公式判斷即可.

【詳解】解：A.3a+3a=6〃，選項錯誤，不符合題意；

B.(2a+2b)2-4a2+Sab+4b2,選項錯誤，不符合題意；

C.a2a^a5,選項錯誤，不符合題意；

D.(-a")，=-4％6,選項正確，符合題意.

答案第1頁，共19頁

故選：D.

【點睛】本題考查的是同底數幕的乘法、積的乘方、合并同類項以及完全平方公式，掌握相

關的法則是解題的關鍵.

5.A

【分析】根據題干找出基準數，排列出新數列，則找到平均數，再由從小到大排列找出中位

數.

【詳解】求平均數可用基準數法，設基準數為250,則新數列為-3,3,-3,5,13,新數列

的平均數為3,則原數列的平均數為253；對數據從小到大進行排列，可知中位數為253,

故選A.

【點睛】此題考查中位數和平均數相關知識，難度一般.

6.C

【分析】因為平行四邊形對邊相等，所以平行四邊形的周長為相鄰兩邊之和的2倍，即

2(AB+BC)=30,則45+8C=15,而“ABC的周長45+8C+AC=27,即可求出AC的長.

【詳解】；YABC3的周長是30cm,

2(AB+BC)=30

/.AB+BC=\5,

,/ABC的周長是27cm,

，AB+BC+AC=21,

：.AC=27-(AB+BC)=27-15=12(cm).

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的性質，根據題意列出三角形周長

的關系式，結合平行四邊形周長的性質求解是本題的關鍵.

7.D

【分析】根據題意列二元一次方程組即可.

【詳解】設雀每只x兩，燕每只y兩

則五只雀為5x,六只燕為6y,

共重16兩,則有5x+6y=16,

互換其中一只則

五只雀變為四只雀一只燕，即4x+y,

答案第2頁，共19頁

六只燕變為五只燕一只雀，即5y+x,

且一樣重即4x+y=5.y+x,

,f5x+6y=16

由此可得方程組“，,

[4x+y=5y+x

故選：D.

【點睛】列二元一次方程組解應用題的一般步驟.審：審題，明確各數量之間的關系；設：

設未知數（一般求什么，就設什么）；找：找出應用題中的相等關系；歹根據相等關系列

出兩個方程，組成方程組；解：解方程組，求出未知數的值；答：檢驗方程組的解是否符合

題意，寫出答案.

8.B

【分析】根據一次函數的圖象與性質逐項判斷即可解答.

【詳解】解：觀察一次函數圖象發現，圖象過第一、二、四象限，

：.k<0,A錯誤，不符合題意；

?圖象與y軸的交點為，（0,2）

：.b=2,B正確，符合題意；

二函數值y隨x的增大而減小，C錯誤，不符合題意；

???圖象與x軸的交點為（4,0）

.??x=4時，y=O,D錯誤，不符合題意.

故選:B.

【點睛】本題考查一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的性質是解答的關鍵.

9.D

【分析】根據圓周角與圓心角的關系，可求出NA8C的度數，根據m=8C,可知△88

是等腰三角形，且NA8C是△BCD的外角，由此即可求解.

【詳解】解：在一。中，

?.?/ABC是圓周角，NAOC是圓心角，且所對弧相同，ZAOC=122°,

ZABC=-ZAOC=-xl22°=61°,

22

BD=BC,

...△BCD是等腰三角形，BPZ￡>=ZBCD,

ZABC是△BCD的外角，即ZABC=ZD+ZBCD=61°,

答案第3頁，共19頁

ZD」448c」x61。=30.5。，

22

故選：D.

【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握圓周角定理，三角形的外角和的計算方法是

解題的關鍵.

10.B

【分析】過點A作軸于點F,連接AO、AC,如圖，根據點43,4)在直線y=^+l

上可求出火,設直線y=x+l與y軸相交于點G,易求出。G=l,ZFG4=45。，根據勾股定理

可求出AG、A8、BC的值，從而可求出“理想矩形"ABC。面積.

【詳解】解：過點A作AFLy軸于點尸，連接AO、AC,如圖.

AC=AO=>/32+42=5>AF=3,OF=4.

點4(3,4)在直線y=h+1上,

「.3左+1=4,

解得2=1.

設直線y=x+i與y軸相交于點G,

當x=0時，y=l,點G(0,l),OG=\,

:.FG=4-l=3=AF,

:.ZFGA=450,4G=，3?+32=3及.

在RtAGAB中，AB=AG.tan45°=3五.

在RtAABC中，8c=‘AC?_AB?=*2-(3⑸=".

，所求“理想矩形"A8C￡)面積為A8.8C=30x77=3，正;

故選：B.

【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質、勾股定理、特殊角的

答案第4頁，共19頁

三角函數值等知識，解直角三角形求得矩形的邊的關鍵.

11.ab(3a+1)(3。-1)

【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.

【詳解】解：原式="叫9a2-1)=她(3a+l)(3a-l).

故答案為：必(3a+1)(34-1).

【點睛】本題考查了因式分解，熟記先提取公因式，再套用公式法是因式分解的基本程序是

解題的關鍵.

12.—4,

【分析】先解出4x+3=7方程的值，將相反數算出來再代入5x-\=2x+a中算出〃即可.

【詳解】由方程4x+3=7,解得41;

將戶-1代入5x-1=2x+a,

解得a=-4.

【點睛】本題考查方程的解及相反數的概念，關鍵在于掌握相關知識點.

13.50°/50度

【分析】根據Nl+N2=230。，可得N2=NABC+50。，再由三角形外角的性質可得

N2=NA8C+NA,即可求解.

【詳解】解：VZ1+Z2=23O°,Z1+ZABC=18O°,

.?.N2-NABC=50。，即N2=NA8C+50。，

VZ2=ZABC+ZA,

ZA=50°.

故答案為：50°

【點睛】本題主要考查了三角形的外角的性質，熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰

的兩個內角的和是解題的關鍵.

14.撞/26

55

【分析】根據三角函數值的定義以及勾股定理的定義解決此題.

【詳解】解：如圖.

答案第5頁，共19頁

c

B

VZA=90°,tanB=-,

2

...設AC=x,則AB=2x.

BC=4^AAC'AB?=舊+QX￥=廚=&.

2x_2石

sinC=—

BCA/5X5

故答案為：巫.

5

【點睛】本題主要考查三角函數的定義、勾股定理，熟練掌握三角函數的定義以及勾股定理

是解決本題的關鍵.

15.m>6

【分析】由題意得x+y=m-2,再根據已知條件得到m-2>4求解即可.

3x+y=3刃-5①

【詳解】解:

x-y=tn-\?

（①一②）+2得：x+y=利-2,

Vx+y>4,

〃7-2>4,

解得：m>6.

故答案為：根>6.

【點睛】本題考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，由兩個方程相減得x+y=〃-2是

解答的關鍵.

96

16.—

25

【分析】過點8作AQUA尸于點。，交AE于P，過F作M7V1BC于N,交AO于朋，連

接5P,利用矩形的性質和折疊性質，結合相似三角形的判定證明‘AfMs,EEN,得至ij

AMMFAF4f3/n+4?=496

=—=—=設FN=3m,EN=3〃，可得。，/，求解可得4"=4加=菰，

FNENEF33+3〃=4/%25

答案第6頁，共19頁

由=可知，當&P,。共線時，PQ+PB最小,即PQ+PF最小，此時。

與Q'重合，P與P重合，PQ+尸尸最小值為時必長度，證明‘H40WARW(AAS)得到

96

3Q'=4M=一即可求解.

25

【詳解】解：過點B作80」A尸于點Q，，交AE于p,過F作MN上BC于N,交AO于M,

連接8P,如圖：

?..四邊形A3CO是矩形，

，ZABE=90°,

V^ABE沿AE翻折得AAFE,

/.ZAFE=ZABE=90°,EF=BE=3,PB=PF,AF=AB=A,

???ZFAM=90°-ZAFM=ZEFN,

?；?AMF?FNE90?,

/.：AFM^FEN,

.AMMFAF4

?*TVV-E/V-EF_3J

44

:?AM=-FN,MF=-EN,

33

設FN=3m,EN=3〃,則AM=4m,MF=4〃，

?:MN=AB=4,AM=BN,

J3/n+4/2=4

13+3〃=4加

24

m=一

25

解得

7

〃=一

25

答案第7頁，共19頁

/.AM=4m=—,

25

■:PQ+PF=PQ+PB,

...當B,P,。共線時，PQ+PB最小，即尸Q+PP最小，此時。與。'重合，尸與P，重合,

尸Q+PF最小值為BQ'的長度，

VZBAQ'=900-ZMAF=ZAFM,ZBQ'A=ZFMA=90°,AB=AF=4,

一班0會,A/^（AAS）,

96

二BQ'=AM=—,

尸。+2/最小值為8。'的長度9君6，

故答案_為：I96F

【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與

性質，解二元一次方程組、最短路徑等知識，解題的關鍵是掌握翻折的性質，作出輔助線,

構造相似三角形.

17.-8

【分析】利用乘方的意義，特殊角的三角函數值，二次根式以及零指數塞法則計算即可得到

結果.

【詳解】解：原式=-9+26-2白+1

=—8.

【點睛】熟練掌握實數的運算，零指數基，特殊角的三角函數值，二次根式的化簡是解題的

關鍵.

r4-1

18.;當X=0時，，原式=—1.

X-1

【分析】直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算法則計算得出答案.

【詳解】原式=1』-也如二』.

x+lX+lJX-1

「（X+If

x+\x-\

x+l

要使分式有意義，X不能取1和一［,

答案第8頁，共19頁

當x=0時，原式=---=-1

0—1

【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，解題時需注意分式的分母不為0.

19.(1)見解析

(2)4713

【分析】(1)由“A4S”可證AADC=AE￡/；

(2)由全等三角形的性質和等腰三角形的性質可求8=0尸=6/=4,由勾股定理可求解.

【詳解】(1)證明：在AAQC和AED尸中，

NADC=NEDF

,ZACD=ZEFD=90°9

AD=DE

^ADC=^EDF(AAS)；

(2)AAZ)C=AEDF,

：.CD=DF=4f

DE=BE,EFd.BC,

：.DF=BF=4,

:.BC=]2,

AB=^AC2+BC-=V64+I44=4屈■

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，證明三角形

全等是解題的關鍵.

20.(1)紫外線消毒燈和體溫檢測儀的單價分別為650元、400元；(2)有5種購買方案.

【分析】(1)設紫外線消毒燈的單價為x元，體溫檢測儀的單價為y元，根據“購買1臺紫

外線消毒燈和2個體溫檢測儀需要1450元，購買2臺紫外線消毒燈和1個體溫檢測儀需要

1700元”，即可列出關于x、V的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；

(2)設購買紫外線消毒燈"?臺，則購買體溫檢測儀(75-利)個，根據“購買的總費用不超過

38500元，且不少于37500元，”，即可得出關于，”的一元一次不等式組，解不等式組即可

得出結論.

【詳解】解：(1)設紫外線消毒燈的單價為X元，體溫檢測儀的單價為V元，

則由題意得/日700,

答案第9頁，共19頁

答：紫外線消毒燈的單價為650元，體溫檢測儀的單價為400元；

（2）設購買紫外線消毒燈機臺，則購買體溫檢測儀（75-附個.

J650m+400（75-〃?）<38500

[650m+400（75-w）>37500'

解得：30</n<34,

???，〃為正整數，

，該校有5種購買方案.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用已經一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：

（1）根據數量關系列出關于X、>的二元一次方程組；（2）根據數量關系列出關于，”的一

元一次不等式組.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據數量關系列出方程

（方程組或不等式組）是關鍵.

21.（1）200,198；（2）圖見詳解；（3）該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數

為288名；（4）恰好抽中A,B兩人的概率為，.

【分析】（I）根據統計圖可得投放到藍色收集桶的人數為44名，所占總人數的百分比為22%,

然后問題可求解；

（2）由（1）可得投放到綠色收集桶的人數，然后條形統計圖即可完成；

（3）根據題意及（1）可直接進行求解；

（4）由題意畫出樹狀圖，然后問題可求解.

【詳解】解：（1）由統計圖及題意得：

此次調查一共采訪的學生總數為44+22%=200（名）；

“灰”所在扇形的圓心角的度數為360%瞿=198。；

故答案為200,198；

（2）由（1）可得被采訪的學生總數為200名，

，投放到綠色收集桶的人數為200-110-44-16=30（名）,

補全條形統計圖如圖所示：

答案第10頁，共19頁

八人數/人

(3)由(1)及題意得:

36(X)x—=288(名)；

200

答：該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數為288名.

(4)由題意可得樹狀圖如下:

B

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

2I

.??恰好抽中A,B兩人的概率為

126

【點睛】本題主要考查統計與調查及概率，熟練掌握統計與調查及概率的求法是解題的關鍵.

22.卜+6)米

【分析】延長BE交于點F,設板=x米，則所=x,BF=x+2y/3,在RtZXMB/中,

利用正切定義列方程求得x值即可求解

【詳解】解：延長BE交MN于點F,設=x米,

VZMEF=45°,BE=AD=26,

:?EF=x,BF=x+2⑸

答案第II頁，共19頁

在RtZXMB/中，tanZMBF=—,

BF3

即一^=0解得：X=3+6

x+2V33

經檢驗，”3+6是原方程的解，

二MN=x+l=(4+6)(米)，

答：電池板離地面的高度MN約為(4+行)米.

NDA

【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，理解題意，掌握銳角三角函數的定義及特殊角

的三角函數值是解答的關鍵.

23.(1)正；(2)正；(3)當日=立二1時，線段AM與。M的長度之和取得最小值.

6AC2

【分析】(1)如圖1,根據AABC是等腰直角三角形，得BC=gAC,由點D是BC邊上的

中點，可知2CD=0AC,得AC與CD的比，證明ADCGS^ACE,列比例式可得結論；

Ap4r5

(2)如圖2,連接AD,同理得ADCGsaACE,可得?~~=-，設AB=AC=5k,

DGDC4

BD=CD=4k,則AD=3k,由此即可解決問題；

(3)如圖3中，由題意，當A,M,D共線時，AM+DM的值最小.想辦法證明

NGDM=/GDC=45°,設CH=a,則PC=2a,PH=DH=6a,推出AC=2CD=2(a+Ga),由

此即可解決問題.

【詳解】解：(1)如圖1,

圖1

VAB=AC.ZB=45°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

答案第12頁，共19頁

VBC=V2AC,

又丁點D是BC邊上的中點，

???BC=2CD,

A2CD=V2AC,

?ACL___5

,?而—-2"<2,

VZCAE=ZCDE,ZDCG=ZACE,

AADCG^AACE,

.AEAC

..——=——=<r2;

DGDC

故答案為：\f2;

(2)如圖2.連接AD,

圖2

VZCAE=ZCDE.ZECA=ZGCD,

AADCG^AACE,

.AEAC_5

??南一灰一"

又???AB=AC,點D是BC邊上的中點,

???BD=DC,AD1BC,

設AB=AC=5k.BD=DC=4k,

由勾股定理可得AD=3k,

VZECA=ZGCD,

AZACD=ZECG

..ACEC

?CD-CG

.ACCD

99~EC~~CG

AAADC^AEGC,

???NADC=NEGC=90。

答案第13頁，共19頁

可得EG_LGC,

又???D,G,E三點共線，

AZDGC=90o,

又???NDCG=30。，

可得DG=2k,GC=26k,

SADGC=yx2kx2拒k=2Gk?,

SAABC=yx8kx3k=12k2,

.Swe=2G2石

2

SABC12k6

故答案為：也；

6

(3)如圖3,當A,M.D三點共線時，AM+DM的值最小，

連接EM,取AC的中點0,連接0E,OD.作PHLCD于點H,

圖3

VAB=AC,NABC=60。，

???△ABC是等邊三角形，

又???BC=AC.ZACB=60°,

AZDAC=ZHPC=30°,

???BD=CD,AC=BC,

???AC=2CD,

■:ZCAE=ZCDE,NECA=ZGCD,

AADCG^AACE,

.CDCGI

.?--=--——,

ACCE2

???EC=2CG,

又,.,CG=MG,

答案第14頁，共19頁

???MC=CE,

又???NACD=60。，

AZMCE=60°,

???△MCE是等邊三角形，

又tO是中點,

ADC=CO,ZECO=ZMCD,MC=CE,

AAMDC^AEOC(SAS),

???OE=DM,

XVZCDE=ZCAE,

AA,D,C,E四點共圓，

.\ZADC+ZAEC=180°,

AZAEC=90°,

???AO=OC,

，EO=OC=CD=MD,

又TCG=GM,CD=DM,

ZGDM=ZGDC=450,NPDH=NDPH=45。，

???PH=DH,

設CH=a,則PC=2a,PH=DH=島，

.■.AC=2CD=2(a+),

?CP2a指-1

??4?-2(。+島)一2?

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定

和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解

決問題，學會利用參數構建方程解決問題.

13

24.(l)y=—x~H—x+2

22

(2)2

(3)(-1,0)或(&-18)或(3,2)

答案第15頁，共19頁

【分析】(1)利用待定系數法求解即可；

(2)先求出。(0,-2),再利用待定系數法求出直線8。的解析式為y=；x-2,設

+則由PQ〃CD,得至IJ當PQ=8時，四邊形CDQP

171

是平行四邊形，則-：，"2+:"+2一：〃?+2=2-(-2),解方程即可；

(3)如圖2,當點。為直角頂點時，過點。作DQ_L8。，交x軸于Q,證明ZODQ=ZOBD,

得到tanNO/)Q=tanNO8。，解直角三角形求出OQ=1,得到。(-1,0),求出直線QQ的解

'y=-2x-2仕=_[r=8

析式為y=-2x-2,聯立13c，解得《八或，。，則點P的坐標為(-1,0)

y=——x+-x+2[y=0[y=-18''

.22

或(8,-18)；如圖3,當點8為直角頂點時，過點B作BP_LB