北京市密云區2024屆高一數學第一學期期末復習檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．若關于x的不等式的解集為，則關于函數，下列說法不正確的是（）A.在上單調遞減 B.有2個零點，分別為1和3C.在上單調遞增 D.最小值是2．已知是定義在上的奇函數且單調遞增，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是A.圓柱 B.圓錐C.四面體 D.三棱柱4．函數的單調遞減區間是（）A.（） B.（）C.（） D.（）5．下列函數中，既是偶函數又在單調遞增的函數是（）A. B.C. D.6．已知，，且滿足，則的最小值為（）A.2 B.3C. D.7．已知sinα+cosα=，則sin的值為（）A.- B.C.- D.8．在梯形中，，，是邊上的點，且.若記，，則（）A. B.C. D.9．命題p：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，10．已知集合，，則（）A. B.C. D.11．已知向量，其中，則的最小值為（）A.1 B.2C. D.312．函數，若恰有3個零點，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數且的圖象恒過定點__________.14．求值：__________15．將函數的圖象先向右平移個單位長度，得到函數________________的圖象，再把圖象上各點橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數________________的圖象16．設當時，函數取得最大值，則__________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數f(x)=x-（1）討論并證明函數f(x)在區間(0,+∞)的單調性；（2）若對任意的x∈[1,+∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，求實數m的取值范圍18．某校對100名高一學生的某次數學測試成績進行統計，分成五組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中a值；（2）估計該校高一學生這次數學成績的眾數和平均數；（3）估計該校高一學生這次數學成績的75%分位數.19．已知二次函數.（1）若在的最大值為5，求的值；（2）當時，若對任意實數，總存在，使得.求的取值范圍.20．如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.21．已知直線l過點和直線:平行，圓O的方程為，直線l與圓O交于B，C兩點.（1）求直線l的方程；（2）求直線l被圓O所截得的弦長.22．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害．為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入資金萬元，搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入資金萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜．根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入、種黃瓜的年收入與各自的資金投入（單位：萬元）滿足，．設甲大棚的資金投入為（單位：萬元），每年兩個大棚的總收入為（單位：萬元）（1）求的值；（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的資金投入，才能使總收入最大

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】根據二次函數性質逐項判斷可得答案.【詳解】方程的兩個根是1和3，則函數圖象的對稱軸方程是，是開口向上的拋物線，A正確；C錯誤；函數的兩個零點是1和3，因此B正確；又，，，即，為最小值，D正確故選：C.2、A【解析】根據函數的奇偶性，把不等式轉化為，再結合函數的單調性，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數是定義在上的奇函數，所以，則不等式，可得，又因為單調遞增，所以，解得，故選：.【點睛】求解函數不等式的方法：1、解函數不等式的依據是函數的單調性的定義，具體步驟：①將函數不等式轉化為的形式；②根據函數的單調性去掉對應法則“”轉化為形如：“”或“”的常規不等式，從而得解.2、利用函數的圖象研究不等式，當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數的圖象上、下關系問題，從而利用數形結合求解.3、A【解析】因為圓柱的三視圖有兩個矩形，一個圓，正視圖不可能是三角形，而圓錐、四面體（三棱錐）、三棱柱的正視圖都有可能是三角形，所以選A.考點：空間幾何體的三視圖.4、A【解析】根據余弦函數單調性，解得到答案.【詳解】解：，令，，解得，，故函數的單調遞減區間為；故選：A.5、B【解析】由奇偶性排除，再由增減性可選出正確答案.【詳解】項為奇函數，項為非奇非偶函數函數，為偶函數，項中，在單減，項中，在單調遞增.故選：B6、C【解析】由題意得，根據基本不等式“1”的代換，計算即可得答案.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當時，即，時取等號所以的最小值為.故選：C7、C【解析】應用輔助角公式可得，再應用誘導公式求目標三角函數的值.【詳解】由題設，，而.故選：C8、A【解析】作出圖形，由向量加法的三角形法則得出可得出答案.【詳解】如下圖所示：由題意可得，由向量加法的三角形法則可得.故選：A.【點睛】本題考查利用基底來表示向量，涉及平面向量加法的三角形法則的應用，考查數形結合思想的應用，屬于基礎題.9、C【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題即可求解.【詳解】解：命題p：，的否定是：，，故選：C.10、B【解析】直接利用交集運算法則得到答案.【詳解】，，則故選：【點睛】本題考查了交集的運算，屬于簡單題.11、A【解析】利用向量坐標求模得方法，用表示，然后利用三角函數分析最小值【詳解】因為，所以，因為，所以，故的最小值為.故選A【點睛】本題將三角函數與向量綜合考察，利用三角函數得有界性，求模長得最值12、B【解析】畫出的圖像后，數形結合解決函數零點個數問題.【詳解】做出函數圖像如下由得，由得故函數有3個零點若恰有3個零點，即函數與直線有三個交點，則a的取值范圍，故選：B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】令真數為，求出的值，再代入函數解析式，即可得出函數的圖象所過定點的坐標.【詳解】令，得，且.函數的圖象過定點.故答案為：.14、【解析】直接利用兩角和的正切公式計算可得；【詳解】解：故答案為：15、①.②.【解析】根據三角函數的圖象變換可得變換后函數的解析式.【詳解】由三角函數的圖象變換可知，函數的圖象先向右平移可得，再把圖象上各點橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）可得，故答案為：；16、【解析】利用輔助角公式化簡函數解析式，再根據最值情況可得解.【詳解】由輔助角公式可知，，，，當，時取最大值，即，，故答案為.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、(1)函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,見解析(2)m<-1【解析】1利用單調性的定義，根據步驟，取值，作差，變形，定號下結論，即可得到結論；2原不等式等價于2mx-1mx-mx<0對任意的x∈[1,+∞)恒成立，整理得2mx2解析：（1）函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增證明：任取x2>x因為x2>x1>0，所以x所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增（2）原不等式等價于2mx-1mx-整理得2mx2-m-若m>0，則左邊對應的函數開口向上，當x∈[1,+∞)時，必有大于0的函數值；所以m<0且2m-m-1所以m<-118、（1）（2）眾數為，平均數為（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解；可得，（2）根據頻率分布直方圖的中眾數的概念和平均數的計算公式，即可求解；（3）因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，結合百分數的計算方法，即可求解.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質，可得，解得.【小問2詳解】解：根據頻率分布直方圖的中眾數的概念，可得眾數為，平均數為.【小問3詳解】解：因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，所以75%分位數為.19、（1）2；（2）.【解析】（1）時，；當時，根據單調性可得答案；（2）依題意得，當、時，利用的單調性可得答案；當和時，結合圖象和單調性可得答案.【詳解】（1）當時，，因為，故，；當時，對稱軸，在上單調遞減，所以，不合題意，舍去，綜上可得：.（2）依題意得：，即，.①當時，對恒成立，所以，即；②當時，對恒成立，所以，即；③當時，對恒成立，所以，即；④當時，對恒成立，所以，即；綜上所述，的取值范圍為.【點睛】本題考查了二次函數恒成立的問題，所謂“動軸定區間法”，軸動區間定：比較對稱軸與區間端點的位置關系，根據函數的單調性數形結合判斷取得最值的點，需要分類討論.20、(1)同解析（2）異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.（3）點A到平面PCD的距離d＝【解析】解法一：（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.因AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=設點A到平面PCD的距離h，由VP-ACD=VA-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，（Ⅲ）設平面PCD的法向量為n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），則n·＝0，所以-x0+x0=0,n·＝0，-x0+y0=0，即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).又=(1,1,0).從而點A到平面PCD的距離d＝21、（1）（2）【解析】（1）通過直線l和直線:平行，得到斜率，再由直線l過點，用點斜式寫出方程.（2）先求出圓心O到直線l的距離，再根據弦長公式求解.【詳解】（1），，又因為直線l過點∴直線l的方程為:，即（2）因為圓心O到直線l的距離為，所以【點睛】本題主要考查了直線方程的求法和直線與圓的位置關系中的弦長問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22、（1）；（2）當甲大棚投入資金為128萬元，乙大棚投入資金為72萬元時，總收益最大.【解析】（1）根據題意，可分別求得甲、乙兩個大棚的資金投入值，代