大招5內切球半徑秒殺公式

大招總結

方法1:錐體的內切球半徑r=(W為錐體體積，S為表面積.

一般可用等體積法,即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等.

第一步:先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；

第二步:設內切球的半徑為r,建立等式：

^P-ABC=^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC=

^P-ABC=~^SVABC.『+個SvPAB.〃+PAC,T+]SYPBC.〃=](SVA8C+S\/PAB+S\PAC+SypBc).幾

第三步：解出廠=31一48c

So-ABC+SQ-PAB+SO-PAC+^O-PBC

方法2:錐形的內切球半徑,也可用相似三角形來求.

如圖,三棱錐P-ABC是正三棱錐,求其外接球的半徑.

第一步:先作出內切球的截面圖，旦，分別是兩個三角形的外心;

第二步:求出=gc。,P。=尸”一r,PD是側面YABP的高;

CFPC

第三步：由NPOEKPDH,建立等式：——=——，解出r.

DHPD

典型例題

（例1.）（2020-新課標III）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最

大的球的體積為o

解方法1:因為圓錐內半徑最大空呼型該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線6s=3,

底面半徑5C=1,則其高SC=4BS2-BC2=2拒，不妨設該內切球與母線切點

D,令OD=OC=r,由VSOD^VSBC,貝U,即——=-,解得

OSBS2y[2-r3

r=,V——7rP=1^萬,故答案為：1^萬.

2333

方法2:圓錐的高人=2后,丫=4/?=4工肛=1+31=4萬,「=史=】但，內切球

33S2

體積V=3乃廠3》.

33

例2.如圖，已知球。是棱長為1的正方體A6cO—A4GR的內切球，則平面ACD,

截球。的截面面積為（）

71B.￡C,旦兀D.2兀

A.

~6363

解：根據題意知，平面ACDt是邊長為V2的正三角形，故所求截面的面積是該正三角

5[7

形的內切圓的面積，則由圖得，AC。內切圓的半徑是—xtan30=—,則所求的截

26

面圓的面積是萬x逅x^=工.故選A.

666

例3.在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若

四棱錐M-ABCD為陽馬，側棱平面ABCD,且MA=BC^AB=2,則該陽

馬的內切球表面積為()

A.24乃-1C.12〃D.24夜乃一16萬

1Q

解：由已知可得四棱錐M-ABCD的直觀圖如右所示：其體積V=-x2x2x2=—,其

33

表面積S=2X2+2XLX2X2+2X、2X"萬'=8+4夜，故四棱錐M-ABCD的

22

內切球半徑R=—=2-72,故該陽馬的內切球表面積為4萬R?=244-16岳，故選

S

A,

例4：如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器中，

再向容器注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如不計容器的厚度，則球的體積為

()

500乃866431372萬2048萬

A.cm3B.cmC.D.cm3

3333

解：設正方體上底面所在平面截球得小圓M,則圓心M為正方體上底面正方形的中心.

如圖，設球的半徑為R,

根據題意得球心到上底面的距離等于（R-2）cm,而圓M的半徑為4,由球的截面圓性

質，得/?2=（/?-2）2+42,解得R=5,

AjrA-rrSDDTF

該球的體積V=—K=一X53=--cn?.故選A.

333

例5：（2021-河南模擬）在三棱錐A-BCD中，

AB^CD=4,AC^BD=AD=BC=3,則該三棱錐的內切球的表面積為0

4%.r373萬

A.---B.177rC.—D.—

524

解：如圖，在長方體AHDG-EBFC中，設EC=c,EB=b,EA=a,則

a2+b2=16,c2+。2=9,a2+c2=9..\a=b=2vc=1,

j11Q

故四面體ABCD的體積V=ahc-4x-x-abc=-abc=-.四面體ABCD的表面積

3233

22

S=45ABC=4x；x4x>/3—2=8>/5,

根據等體積可得-=-x8V5xr,r=^,

335

2

4兀

該三棱錐的內切球的表面積為47rxT

故選A.

例6.（2021-新鄉二模）正四面體ABCD的棱長為1,點P是該正四面體內切球球面上

的動點，當PA-PD取得最小值時，點P到AD的距離為（）

3五-巫>76—V32yf2—y/3y/2

--------D.-------C.--------D.---

1212124

解四面體ABCD是棱長為1的正四面體,

底面BCD外接圓的半徑為

甘什m11..A/3V6V2

/.其體積Vv=-x—xlxlx——X——=——,

322312

設正四面體內切球的半徑為r,

貝4x-x-xlxlx—xr=^-,得V6

r=——

3221212

如圖，取AD的中點為E,

2-2

貝ijPA.PD=（PE+EA）?（PE+ED）=PE+PE、EA+ED）+EAED=PE一二.則當

PE的長度最小時，PAPD取得最小值，

設正四面體內切球的球心為O,可得OA=OD=?,

4

2_72

球心。到點E的距離d=JoT-A爐=

一4'

球。上的點P至UE的最小距離為d-r=顯一顯J五一口.

41212

即當PAPD取得最小值時，點P到AD的距離為故選A.

12

例7.（2021-甘谷縣一模）早期的畢達哥拉斯學派學者注意到用等邊三角形或正方形為表面可

構成四種規則的立體圖形,即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和

多面角都全等.已知正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體，共有12個頂點，

(15+5或③

30條棱，20個面，正二十面體的體積公式為V（其中。為棱長），己知

12

一個正二十面體各棱長之和為305則該正二十面體內切球的半徑為（）

3+石3+V5°3+63+75

24612

解：由題可知，正二十面體的棱長a=百，設正二十面體內切球的半徑為

1C（15+5君）3+x/s

2

r,20x-x^axr=A------------L,a\解得「=牛4,故選民

34124

例8.（2021秋-景德鎮期末）拱尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式.依其平面有圓形

攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖.也有單檐和重檐之分.多見于亭閣式建筑，園林建筑.

以八中校園騰龍閣為例，它屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正

四棱錐的側面積是底面積的3倍，則此正四棱雉的內切球半徑與底面邊長比為（）

t/

>/3?近

D.c立D.V3

3----------------42

解：設底邊邊長為a,正四棱錐的高為A,則斜高為,所以側面積為

4x—xa,即為4x—x(2.=3a2,解得h=6a.

設正四棱錐的內切球半徑為r,

由等積法可得-xi/2x/?=-x46f2xr,

33

所以r=4=也”，即￡=立.故選B.

44a4

自我檢測

1.已知一個正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為3友的正方形，則

該正四面體的內切球的表面積為。

A.6萬B.547C.127rD.48乃

2.已知棱長都相等的正四棱錐的側面積為16石，則該正四棱錐內切球的表面積為（）

3.已知在三棱錐S-ABC中，SA=