2021年浙江省金華市東陽市高考數學模擬試卷（5月份）

單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.集合鍛;曲月肺七斤褪，集合翳=（捌3=。工置￥，則P與Q的關系是（）

A.P=QB.P^QC.P,^QD.PC\Q=0

2.設m,九為非零實數，i為虛數單位，zEC,則方程|z+ni\+|z-mi\=九與|z+ni\-\z-mi\=

-租在同一復平面內的圖形（羯,尸2為焦點）是（）

3.

9

75C4D-

A.2

4.8,下列命題為真命題的是

A.己知&beR,貝卜'二^-《一2"是且b<f）”的充分不必要條件

ab

B.已知數列沁*｝為等比數列，則“出<%”是的既不充分也不必要條件

C.已知兩個平面a,若兩條異面直線冽，尤滿足詵二a,若uf且耀//p,許//CL,則

a//P

D.3xce（-x,0）,使3必*"成立

5.某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于（）

A.JB.2C.SD.到

6.已知直線I：ax-3y-2=0與曲線y=爐在點p(U)處的切線垂直，則P(l,l)到直線，的距離為

()

A7舊B2屈Q3㈤D3屈

'135135

7.已知函數/'(X)的導函數r(x)只有一個極值點，在同一平面直角坐標系中，函數/(x)及尸(x)的圖

8.點M是橢圓9+9=1上任一點，兩個焦點分別為Fi，尸2，則AMFiF2的周長為()

A.4B.6C.8D.4+2V3

9.已知函數/'(無)=-2)+3,g(x)=x2-4x+3,若對任意與e[0,4],總存在亞e[1,4],

使得/(xi)＞。(次)成立，則實數血的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(一簿)C.(-00,-2)D.(一萬,+8)

10.定義：密就做=鏟1除冷周潮除硼，已知數列｛甌導滿足%=三將7翻紀徽》若對任意正

"<">-.遇陶醐

整數“，都有時更啕^但魏力成立，則謖&的值為（）

A.2B.1C.-D.-

監轡

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

11.等比數列｛即｝中，a3=9,前三項和S3=27,則公比q=.

12.已知圓M：（x+cos。）？+（y—sin。）？=1,直線I：y=kx,下面四個命題：

①對任意實數A與仇直線，和圓M相切；

②對任意實數k與。，直線/和圓”有公共點；

③對任意實數氏一定存在實數k,使得直線，與和圓M相切；

④對任意實數鼠一定存在實數0,使得直線]與和圓M相切.

其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）.

13.設a=J^cosxdx,則二項式（a五一套尸展開式中含小項的系數是.

2

14.已知箱子中裝有10不同的小球，其中2個紅球，3個黑球和5個白球.現從該箱中有放回地依次取

出3個小球，若變量f為取出3個球中紅球的個數，則f的方差D（f）=.

15.空間四邊形4BCD中，AB=CD,且異面直線AB和CD成30。角，E,F分別是邊BC和4。的中點,

則異面直線E尸和4B所成的角等于.

16.在AABC中，若角4B,C的對邊分別為a,b,c,且魚a=2bsim4,則角B=.

17.已知向量a,b,且|a|=代，a與b的夾角為，，a1（2a-h）,則|b|=.

三、解答題（本大題共5小題，共74.0分）

18.電流/（單位：4）隨時間：（單位：S）變化的函數解析式是/=4s譏33t€[0,+8）,其中3=

lOnrad/s,

A=5.

（1）求電流I變化的周期；

⑵當t=。，蔡急急擊時，求電流人

19.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA1CD,AD//BC,^ADC=

^PAB=90°,BC=CD=AE=-AD=1,PA=2.

2

(1)證明：平面PAB1平面PBD；

(2)求三棱錐E-PDC的體積.

已知數列｛即｝的前項和為％，且%=

20.nn&N*,1,an+1=--an.

(1)證明：數列｛懸｝是等比數列；

(2)求數列｛冊｝的通項公式與前n項和3.

21.如圖，直線I:丫=刀+/>與拋物線。：/=4y相切于點4.

(1)求實數b的值；

(2)已知圓P經過力點且始終與拋物線C的準線相切，求圓P的圓心的軌跡

方程，并說明其是什么曲線？.

22.設函數/(x)=M+a"(l+%)有兩個極值點的，％2,且/<盯?。)求a的取值范圍，并討論了S)

的單調性；

(2)證明：/(叼)>1-21n2

參考答案及解析

1.答案：C

解析：

本小題主要考查集合關系的判斷.

求解集合的運算可以借助數軸輔助解決.

由題意可知，逑=儂裁="刁$=［碎凝黑，

螺=刎?=而項=標恒起埋-

所以P寫Q

故選C.

2.答案：C

解析:解:設Fi(O,-n),F2(0,m)

,?,方程|z+ni\+\z-mi|=n>0,

???&(0,-n)在y軸負半軸，

設z對應復平面內點P(x,y),則|z+ni|=|PF/,|z—=仍尸2b

方程|z+ni|+|z-mi|=n即|PFi|+|PF2|=n(定值)，表示以FI、F2為焦點的橢圓；

方程|z+ni|—-=一m即|PF1|一|PF2|=-m(定值)，

當m>0時，表示以&、尸2為焦點的雙曲線靠近Fi的一支，當巾<0時，表示以&、尸2為焦點的雙曲

線靠近芻的一支

因此，對照各個選項可知只有C符合題.

故選：C

設Fi(0,-n),F2(0,m),由題意得&(0,一切在y軸負半軸，根據復數的幾何意義得|z+ni|=|PQ|且

\z-mi\=\PF2\>

所以第一個方程表示到Fi、F2距離之和等于常數的點的軌跡；第二個方程表示到&、尸2距離之差等

于常數的點的軌跡.由此結合橢圓曲線的第一定義，可得本題的答案.

本題給出復數方程，要我們找出適合方程的圖形，著重考查了復數的幾何意義和圓錐曲線的定義等

知識，屬于基礎題.

3.答案：A

僅w2

解析：解：實數％,y滿足x+y22對應的可行域如下圖

(%—y+1<0

所示：

由+1=0解得4(1,2),z=3x+2y經過可行域的4時,

目標函數取得最大值.

當x=l,y=2時，z=3x+2y=7,

故z=3x+2y的最大值為7,

故選：A.

畫出已知約束條件對應的可行域，求出直接，代入目標函數，得到結果.

本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，其中利用角點法是解答線性規劃類小題最常用的方法,

一定要掌握.

4.答案：C

解析：

選項」中，《十"4-2="上"：.+2=?+與：40=46<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分條件，所以4錯；

選項3中，由得</或f°,，可以推出。4<生>但若。4<。5,貝肱

[q>l[0<q<l

數列有可能是擺動的等比數列，如：1,-1,1,-1,1,-1?…“，此時推不出外<%<生，

所以3錯；選項。中，當x0<0時，白=0)4>4)。=1=3%>4%，所以。錯.

故答案為C.

5.答案：B

解析：試題分析：由題設及圖知，此幾何體為一個四棱錐，其底面為一個對角線長為2的正方形，故

其底面積為可法二都1刈=第，由三視圖知其中一個側棱為棱錐的高，其相對的側棱與高及底面正方

形的對角線組成一個直角三角形，由于此側棱長為岳，對角線長為2,故棱錐的高為

3M前一警=等此棱錐的體積為:落敘雷=鬟故選艮

考點：由三視圖求體積.

6.答案：D

解析：解：函數的y=/的導數y=3產，在點P(I,I)處的切線斜率k=3,

???直線E與切線垂直，

二直線，的斜率〃=/

即?=一［，解得a=-l,

即/：—x—3y—2=0,即x+3y+2=0,

則P(l,l)到直線加勺距離為d=3詈=島=呼，

故選：D

求函數的導數，根據直線垂直的關系求出a,再由點到直線距離公式求解即可.

本題主要考查點到直線的距離的求解，涉及了導數的幾何意義與兩直線垂直的判定，根據導數的幾

何意義求出切線斜率是解決本題的關鍵.

7.答案：A

解析：

利用己知條件判斷導函數與原函數的關系，利用函數的單調性以及函數的極值，判斷選項即可.

本題考查函數的導數判斷函數的單調性以及函數的極值的判斷，函數的圖象與導函數的圖象的關系,

考查轉化思想以及數形結合的思想的應用，屬于中檔題.

解：函數f(x)的導函數/'(X)只有一個極值點，結合選項可知，導函數是二次函數，原函數是三次函

數；

導函數只有一個極值點，導函數為0的位置，原函數取得極值，

只有選項A滿足題意；

故選：A.

8.答案：B

解析：解：由橢圓二+匕=1，可得a=2,b-V3,c=1,

43

由^MF[F2的周長I=\MFy\+\MF2\+\F1F2\=2a+2c=4+2=6,

故選：B.

由橢圓的方程可知a=2,b=W，c=l,4M&F2的周長I=IMR|+|MF?I+IF#2I=2a+2c.

本題考查橢圓的標準方程，考查焦點三角形的求法，考查計算能力，屬于基礎題.

9.答案：A

解析：

本題考查不等式恒成立問題，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題.

根據對任意的修e[0,4],總存在孫e[1,4],使/(Xi)>g(X2)成立，由二次函數的值域求得可得g(x)

的最小值，可得一1<m(x-2)+3在xe[0,4]恒成立，進而根據一次函數的單調性可得關于m的不

等式組，解不等式組可得答案.

解：g(x)=x2-4x+3=(%-2)2-1,

當小6[1,4]時，g(x2)G[-1,3]，

則9(物)的最小值為一1，

可得-1<m(x-2)+3在xG[0,4]恒成立，

則一1<—2m+3且一1<27n+3,

解得m<2,m>—2,

即—2<m<2,

故選：A

10.答案:D

蝦觸騎瞥

解析：試題分析：根據新定義，：,躅而正視般部■，那么可知，魄=,百￡丁「,因

為對于任意正整數法，者B有外，丑與，趣但魏』成立，則可知

T?智.T臂:i.■浜劈-端嚶:，c

蕭出資"京一那”口一霖一可當〃=1,不等式成立，可知縫,喧瑟，當n=2時，

一聶'富一制學堂骸

限限

:您當n=3時，,n=4時，則%WL依次以后％將增大，可知結論為品，選。.

那么可知雕.的值為上，故選D

■轡

考點：考查了數列的新定義。

點評：解決該試題的關鍵是對于數列定義的理解和不等式恒成立的轉換，屬于中檔題。

|1.答案：1或一3

解析：解：等比數列｛斯｝中，

<13=9,前三項和S3=27,

,[?192=9

1%+arq+9=27’

整理，得2q2-q-i=o,

解得q=1或q=-5

故答案為：1或—

由已知得出=27,由此能求出q=1或q=4-

本題考查等比數列的公比的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用.

12.答案：②④

解析：解：圓心坐標為（—cos0,s）0）,圓的半徑為1

圓心到直線的距離d==|sin（。+<p）|<1（其中sinw=-^==,coscp--^==）

所以直線l與圓M有公共點，且對于任意實數鼠必存在實數9,使直線I與圓M相切，

故答案為：②④

根據圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r,然后求出圓心到已知直線的距離d,利用兩角和的正弦函

數公式化為一個角的正弦函數，與半徑r比較大小，即可得到直線與圓的位置關系，得到正確答案即

可.

本題要求學生會利用圓心到直線的距離與半徑比較大小來判斷直線與圓的位置關系，靈活運用點到

直線的距離公式及兩角和的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題.

13.答案：-192

nn

解析：解：a=J&cosxdx==1-（-1）=2,

~2~2

???二項式（2五-3）6的展開式的通項公式為7；+1=凄.（-1/-26-r.%3-r,

令3-7=2,求得丁=1,可得展開式中含％2項的系數為一6x25=-192,

故答案為：—192.

求定積分可得a=2,在二項式（2立-專產的展開式的通項公式中，令％的塞指數等于2,求得r的值，

可得展開式中含一項的系數.

本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數,

屬于基礎題.

14.答案：§

解析：解：由題意，每次抽出紅球的概率為總=最

所以彳?B(3,》，

故f的方差D(f)=np(l-p)=3x|x(l-i)=g.

故答案為：

先求出每次抽出紅球的概率，然后利用f?8(3,》，由方差的計算公式求解即可.

本題考查了二項分布的理解和應用，解題的關鍵是掌握二項分布的方差計算公式，屬于基礎題.

15.答案：75。或15。

解析：解：取8D中點為G,聯結EG,FG,

vBG=GD,AF=FD,

:.FG渭,同理可得EG￡券，

??.NFGE的大小或補角等于異面直線4B與CD所成角的大小，

即4FGE=30°或150°

又AB=CD,FG=EG

??.△FGE為等腰三角形，

4GFE=75°,

.??異面直線EF和AB所成角等于75。或15。.

故答案為：75。或15。.

取BD中點為G,聯結EG,FG,由已條件推導出NFGE的大小等于異面直線48與CD所成角的大小,

由此利用等腰三角形性質能求出異面直線EF和48所成角的大小.

本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養.

16.答案：W或f

44

解析：解：=y/2a=2bsinA^由正弦定理可得：yj2sinA=2sinBsinAisinAH0,

解得sinB=乎，B6（0,兀）.

44

故答案為：9或券

44

由&a=2bsinA）利用正弦定理可得：y/2sinA=2sinBsinA>sinA力0,解得sinB=弓，Be（0,兀）.

即可得出.

本題考查正弦定理、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.答案：4

解析：

本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積的定義，屬于基礎題.

W：|a|=V3,［與的夾角為*a1(2a-

則a?(2a-b)=2同—a-b=2xV32--\/3|hcos^=0>

可得b=4,

故答案為4.

18.答案：解：（1）由題意，電流I變化的周期7=生=蕓=：

31U7T5

(2)當t=0,1=5s譏0=0,

當一1=5s皿黑）=5s譏恭

當一1=5s皿器）=5s譏奈

L/30"、l-37r

當‘=高/r=5sm(——)=5sin—,

v200720

當t=4,/=5s譏黑=5s嗚，

解析：（1）根據正弦函數的周期公式即可求解.

⑵將「=°，親擊，急?弋入求得/的值即可?

本題考查y=Asin（MX+0）中參數的物理意義，屬于基礎題.

19.答案：（1）證明:

vPALCD,"48=90。，4B與CC相交，4Bu平面4BCD,CDu平面ABC。，

???PA1平面ABC。，

vBDu平面ABC。，

???PA1BD,

由AE—|71￡)—1,則ED—|i4￡>=1,

ED=BC=CD=1,又〃DC=90。，AD//BC,

四邊形BCDE為正方形，BELAD,BE=1,

乙BAD=4BDA=45°,乙ABD=90°,

^BDLAB,

XvPAdAB=A,PAu平面H4B,4Bu平面H4B,

???BD1平面P4B,又BDu平面PBD,

???平面P4B1平面PBD.

(2)解：VE-PDC=Vp-CDE=3^ACDE,P4

=ixixlxlx2=i.

323

解析：本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題.

(1)由P4_L4B,PA_LCD可得PAJ■平面4BC0,故24IB。，利用勾股定理的逆定理得出4B1BD,

故B￡>1平面248,于是平面P4B1平面PBD；

(2)VE-PDC=^P-CDE=]SACDE-P4即可求解.

20.答案：解：(1)證明：.??%1+1=岸而，

n+2

.a篦+1_2n+2即_2.V.

??n+2-n+2-2n+1

又a=2,

1+12

???數列｛含｝是首項、公比均為裁勺等比數列，且含=(》"；

(2)解：由(1)知：含=(3"，

n+1

"an=

乂Sn=2xg+3x++4x表+…+箸,

lsn=2x￡+3X或+…+/+翳?,

兩式相減得：衿=1+＞套+…+或一露=1+^^1—普=1一霜，

2

C°n+3

Sn=3——.

解析：(1)由題設條件推導出數列｛含｝相鄰兩項之間的關系式，即可證明結論；

(2)先利用(1)中求得的數列｛巖｝的通項公式求出與，再利用錯位相減求其前n項和即可.

本題主要考查等比數列的定義、通項公式及錯位相減法在數列求和中的應用，屬于中檔題.

21.答案：解：⑴由朦/，，得/—4x—4b=0.

???直線，與拋物線相切，

(-4)2-4x(-4b)=0,解得b=-1.

(2)由⑴已知4的坐標為(2,1),

設P(x,y).

???圓P經過4點且始終與拋物線C的準線相切，

???伊川=ly+1|

???J(x-2)2+(y—1)2=|y+1|

.,?圓心軌跡(％-2)2=4y是拋物線.