2021屆山東省臨沂市高考數學模擬試卷（3月份）（一模）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.若MUU,NaU,且MUN,則（）

A.MC\N=NB.MUN=MC.QNUCyMD.CyMaQN

2.若i為虛數單位，圖中網格紙的小正方形的邊長是1,復平面內點Z表示復

數z,那么復數捻對應的點位于復平面內的―

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.無窮等差數列｛an｝的首項為劭，公差為d,前n項和為S“（〃€N,）,則“劭+d>0”是“｛SJ為

遞增數列”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4,某校0名高三學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，由圖中數據估計此次數學

成績平均分為（）

a

A.0B.0C.0D.0

5.設正方形ABCD的邊長為1,則|荏一而+前|等于（）

A.0B.V2C.2D.2V2

6.從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四

項不同工作，若其中小張不能從事前兩項工作，其余四人均能從事這四項工作，則不同的選派

方案共有（）

A.36種B.12種C.48種D.72種

2\x<0

7.12、設函數f（x）=，_2ox+a+l（其中—2Wa<-1），若存在區間［陽川，使函數

----------,x>0

.x

y（x）的定義域和值域均為［搐,％］,則I冽-劃的最大值是（）

A.叢B.3C.12D.2s

8.已知橢圓C與雙曲線X2一片=1的焦點相同，且橢圓C上任意一點到兩焦點的距離之和為10,則

4

橢圓C的離心率等于

3345

A.—B.—C.—D.—

5454

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.下列命題正確的是（）

A.如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行

B.存在與兩條異面直線同時平行的平面

C.若4ea,AE6,Bea,Be0,則an0=4B

D.若A,B,Cea,A,B,C6°,則a,￡重合

10.設｛a.｝是無窮數列，An=an+an+1,（n=1,2,...）,則下面給出的四個判斷中,正確的有（）

A.若｛an｝是等差數列，則｛4工是等差數列

B.若｛4J是等差數列，則｛an｝是等差數列

C.若｛an｝是等比數列，則｛4J是等比數列

D.若｛4J是等差數列，貝1」｛。2工都是等差數列

11.將函數/（乃=3s譏（2x+弓）的向左平移5個單位長度得到g（x）的圖象，則下列判斷正確的是（）

A.函數g（x）在區間上單調遞增

B.函數g（x）在區間［-也引上單調遞減

C.函數g（x）圖象關于直線％=工對稱

D.函數g（x）圖象關于點?,0）對稱

12.如圖，已知正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為a,E是棱CD上的動點廁下列結論中正確的有（）

A.EB11ADr

B.二面角E-4B1-4的大小為?

C.三棱錐4-8道北體積的最小值為

D.DiE〃平面4道避力

三、單空題(本大題共3小題，共15.0分)

13.已知函數，(2%-1)=4x+3(xeR),若/(a)=15,則實數a的值為.

14.已知函數/(x)=/+(a-1)/+ax,若曲線f(x)在x=1處的切線恰好平分圓C：x2+y2—

4y=0的周長，則實數a的值為.

15.已知線性回歸方程y=1+bx,若元=2,歹=9，則。=?

四、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.方程工+區=1(魏題＜￡｛1,2,3,4，…,2013｝)的曲線中，所有圓面積的和等于，離心率最小

閾凝

的橢圓方程為.

五、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數/(x)=^3sinxcosx-cos2%——,x€R.

(1)求函數〃尤)的最小值和最小正周期.

(2)已知△ABC內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(l,sin4)與

n=(2,sinB)共線，求a,b的值.

18.公差不為0的等差數列｛aj中，已知的=4且房=的的0,其前n項和為Sn,

(1)求數列｛%｝的通項公式

(2)求治的最大值及取得最值時的n值.

19.在一個盒子里裝有6枝圓珠筆，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.

(1)從盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；

(2)從盒子里任取3枝，設0為取出的3枝里一等品的枝數，求0的分布列及數學期望.

20.如圖，在四棱錐A-8CDE中，平面ADE1平面BCDE,在A/4DE中,

AD=AE=V5-。為DE的中點，四邊形8CDE是等腰梯形，BC=

2DE=4,CD=BE=V5.

(I)求異面直線AD與BC所成角的正弦值；

(II)求證：平面20B1?平面40C；

(HI)求直線4C與平面40B所成角的正切值.

21.已知拋物線C：x2=2py(p>0),過其焦點F作斜率為1的直線交拋物線C于兩點，且線段的中

點的橫坐標為2.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過拋物線C上非頂點的任一點M作拋物線的切線?與直線y=-1交于點N,問：在y軸上是否存在

定點P，使得麗?(而-而)=0?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

22.已知函數/(x)=ax-Znx,g(x~)=ln(x2-2x+a),

⑴若a=0,求尸(x)=/(x)+g(x)的零點；

(2)設命題P：/(x)在［￡］單調遞減，q：g(x)的定義域為R,若pAq為真命題，求a的范圍.

參考答案及解析

1.答案：c

解析：解：根據已知條件，M,N,U三個集合的關系可用Uenn圖表示如下:

由圖可看出：Mn/V=M,M\JN=N,QNUQM，二C是正確的.

故選C.

用Uenn圖表示M,N,U這三個集合的關系，即可對這三個集合進行交、并、補的運算，從而找出正

確選項.

考查交集、并集、補集的概念及運算，用Venn圖表示集合從而找集合關系的方法.

2.答案：D

解析：解：由圖知，z=2+i,

z2+i(2+i)(l-i)3-i31.

.**----=-----=------------=-----=--------1,

1+i1+i(l+i)(l-i)222

則對應的點的坐標為(|,-》，位于復平面內的第四象限.

故選：D.

由圖求得z,代入捻后利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查了復數的代數表示法及其幾何意義，考查了復數代數形式的乘除運算，是基礎題.

3.答案：B

解析:

本題考查了數列的函數特征和充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎題.

根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.

解：等差數列｛an｝的首項為由,公差為d,

前n項和為5n=nax+

則%+i=(n+1)的+

2

則Sn+1—S九

n(n+l)d

=(n+l)at+-----------九Q1-

=Qi+nd,

若{S"為遞增數列，ai+nd>o,

??S2-S、=%+d>0,

:.%+nd>0能推出由4-d>0

但+d>0不能推出%+nd>0,

故"的+d>0"是“{S"為遞增數列”必要不充分條件.

故選：B.

4.答案:C

解析：試題分析：由頻率分布直方圖知□,故此次數學成績的平均分為叵］，故選C.

考點：1.頻率分布直方圖；2.平均數

5.答案：C

解析：解：正方形4BC0的邊長為1,貝力荏一元+就產=?而+而產

=I網2+|宿2+2赤刀=12+12+12+12=4，

.-.\AB-BC+AC\=2^

故選：C.

利用向量的運算法則和模的計算公式即可得出

熟練掌握向量的運算法則和模的計算公式是解題的關鍵.

6.答案：D

解析：解：根據題意，分2步進行分析：

①，在小張之外的4人中任選2人，安排翻譯、導游工作，有&=12種安排方法，

②，在剩下的3人中任選2人，安排禮儀、司機工作，有掰=6種安排方法，

則有12X6=72種不同的選派方案；

故選：D.

根據題意，分2步進行分析：①，在小張之外的4人中任選2人，安排翻譯、導游工作，②，在剩下

的3人中任選2人，安排禮儀、司機工作，由分步計數原理計算可得答案.

本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題.

7.答案：D

解析:

問題轉化為方程/(乃=》有兩個相異的正實數根m,n,再由一元二次方程根與系數關系和配方法求

n-?n的最大值.

解：?:當xWO時，/(x)=2X>0,

不存在區間［m,n］U(-co,0］使得函數/'(x)的定義域和值域均為

a+1

當%>0時，f(x)=-2a+---,

X

,:-2工CLV—1,

Aa+1<0,

???/(%)在(0,+8)上是增函數.

若存在區間使函數f(x)的定義域和值域均為［加詞，

則心所*

,/(?)=?

即方程/(%)=%有兩個相異的正實數根m，n,

I1

-2a+---二x有兩個正根.即％2+2ar-(a+1)=0有兩個互已的正根m,n.

x

???m+n=—2a,mn=—a—1.

工洗+理)2—4加加二2302+?+］=2(a+#+宗

,**—2WaV—1,

???當a=—2時，|m-n|取得最大值2(-2+-)2+-=2J3.

故選D

8.答案：C

解析：本題考查橢圓的性質及雙曲線的性質，培養了學生分析問題與解決問題的能力.

解：由題意可設橢圓C的方程為二十二二1（。＞匕＞0）,

￡h'

又由定義可得2a=10,即a=5,而0=J1+4=、熱，

后

it—---------

5

故選無正確答案，或者題目錯誤。

9.答案：BC

解析：解：對于4如果一條直線不在平面內，

則這條直線就與這個平面平行或直線與平面相交，故A錯誤；

對于8：根據線面平行的判定，存在兩條異面直線同時平行于同一個平面，故B正確；

對于C：根據公理3：如果兩個平面有一個公共點，

那么它們還有其他公共點，且這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線，故C正確；

對于。：若4,B,C三點共線，則a與/?平面不一定重合，故。錯誤；

故選：BC.

對于4：直接利用反例說明問題，即可判斷4是否正確；對于B：根據線面平行判定，即可判斷B是否

正確；對于C：根據公理3,即可判斷C是否正確；對于D：利用4,B,。三點共線，即可判斷。是否

正確.

本題考查的知識要點：線面平行的判定和性質的應用，主要考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.

10.答案：AD

解析：解：4若｛斯｝是等差數列，設公差為d,則當nN2時，An-=an+an+1--an=

an+i-an-1=2d,為常數，則｛4n｝是等差數列,故A正確，

8..若｛An｝是等差數列，設公差為d,則當nN2時，An-An_T=an+an+1-an_r-an=an+1-

Q九一1=2d,

即｛an｝的偶數項成等差數列，奇數項成等差數列，則整體｛an｝不一定是等差數列，故8錯誤,

C.若｛即｝是等比數列，設公比為q,則當q=—l時，An=an+an+1=O,則｛4J不是等比數列，故

C錯誤，

。若｛4"｝是等差數列，設公差為d,則當7122時，。2?1-—。2?1-2=2d,則｛&2?｝都是

等差數列，故。正確，

故選：AD.

利用等差數列的通項公式以及等差數列的定義分別進行驗證即可.

本題主要考查等差數列等比數列的通項公式以及定義，利用定義進行驗證是解決本題的關鍵，是基

礎題.

11.答案：ACD

解析：解：函數/0)=35譏(2%+9的向左平移三個單位長度得到9(乃=35譏(2%+兀+9=

一3s出(2%+$的圖象，

對于4由于XC哈勺,則2x+.e[沾]，所以函數g(x)在區間己方上單調遞增，故A正確；

對于B：由于％€[-也丁則2x+ge[0,可，所以函數g(x)在區間[一,常上先減后增，故B錯誤;

對于C：當時，9(工)=3,故C正確；

對于D：當x=W時，9($=°，故0正確；

故選：ACD.

直接利用三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用判斷4、8、C、。的結論.

本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用，主要考查學生的運

算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

12.答案：ABD

解析：解：在正方體4BCD-中，C。J_平面則CO1

"%/

又141。，A^ODC=D,.-.AD11平面DA1B1C,得Z。11BE,；[\\

即EB1—正確；X/叉9*

二面角￡一41多一4的大小即二面角。一41當一4的大小，可得二面_________]1/

AB

角E——4的大小為全故8正確；

設n&D=。，則三棱錐4一名。道的體積V=[SAOEBJAD19

???。/為定值，.?.當E到OB1距離最小時，三棱錐A—/D1E的體積最小，此時E與。重合，

23

S?B、OD—|xix&axa=則三棱錐A—B】DiE的體積的最小值V=1x^axy/2a=^a>

故C錯誤；

由平面。口。1。〃平面A&BiB,可得0速〃平面占&84故。正確.

故選：ABD.

由直線與平面垂直的性質判斷4求出二面角的平面角判斷B；求出三棱錐4-BiQE體積的最小值

判斷C；由面面平行的性質判斷D.

本題考查正方體的結構特征，考查空間中點、線、面間的距離及空間中角的求法，考查運算求解能

力，是中檔題.

13.答案：5

解析：解：根據題意，函數/(2x-1)=4%+3,EP/(2x-l)=2(2%-1)+5,

則/(x)=2x+5,

若f(a)=15,則/(a)=2a+5=15,解可得a=5；

故答案為：5.

根據題意，由函數的解析式可得f(2x-1)=2(2x-1)+5,即可得f(無)=2%+5,可得函數的解析

式，據此分析可得答案.

本題考查函數值的計算，注意函數解析式的定義，屬于基礎題.

14.答案：一3

解析：

先利用導數求出f(x)在x=1處的切線方程，然后根據切線平分圓的周長，即切線過圓心，將圓心代

入切線方程，即可解得a.

本題考查了導數的幾何意義及切線方程的求法，同時還考查了圓的弦的性質.屬于基礎題，注意計

算須準確.

解：圓C：即為％2+(y-2)2=4,故圓心為(0,2).

又((x)=3x2+2(a—l)x+a,?,-/(1)=2a,/'(I)=3a+1.

故切線方程：y-2a=(3a+l)(x-1).

將(0,2)代入得：a=-3.

故答案為：—3.

15.答案：4

解析：解：將元=2,9=9代入線性回歸方程可得9=1+2b,.??=4

故答案為：4

將元=2,y=9代入線性回歸方程，即可求解.

本題考查線性回歸方程，考查計算能力，屬于基礎題.

16.答案：物嫁施^0根

?%，+_J=1和，_+1

加裁獨整wn醐僻

解析：試題分析：由公式解竹密斗蜉由……哥燎=*(池旬，(2n+D,所有圓面積的和等于危(

匾

f#劈上臂也一署哪愣)=醐凝懈加；

橢圓的離心率最小，即a,匕最為接近，所以離心率最小的橢圓方程為工+上=1和工_+

醐晦黛陋SKIS

lo

考點：本題主要考查數列的求和公式，橢圓的幾何性質，圓面積計算公式。

點評：中檔題，對于數列的求和公式膽甘密斗警)也……曷,W(2n+l),記憶清楚則題目

不難，否則，推導公式要從頭做起。

17.答案：

【小題2】

【小題1】

(a=V3.

/(X)的最小值為-2,最小正周期為7T

lb——2-\/3.

解析：解、題!■】/<(%)=V3sinxcosx—cos2%—=—sin2x—cos2x—1-1.

222

所以/(%)的最小值為-2,最小正周期為m

【小題2】因為/(C)=sin(2C一一1=0,

即sin(2C-=1'

又因為0<C<兀，-ZL<2C-ZL<—,所以2c—三=工,

66662

故c=2L

3

因為?n與?i共線，所以sinB—2sinA=0,

由正弦定理一―=/一，得。=2a.①

sinAsinB

因為c=3,由余弦定理，

得9=小+/—2abcos—,

3

即小+b2-ah=9,②

聯立①②，解得a=V3.

b=2A/3.

18.答案：解：(1)設等差數列公差為d,dHO,

由的=4月.忌=得(4+6d/=4(4+9d),解得d=一1，

???則。?=4-i(n-1)=-1n+y

(2)令斯=—：?!+藍工0,可解得九313,

.,.等差數列｛an｝的前12項為正數，第13項為0,從第14項開始為負值，

???數列的前12項或13項和最大，

13(4+0)

S12=S13=2=26

解析：(1)由通項公式和已知可得d的方程，解方程易得通項公式；

(2)解不等式an=-"+號W0,易得5｝的前12項為正數，第13項為0,從第14項開始為負值，可

得答案.

本題考查等差數列的性質和求和公式，屬基礎題.

19.答案：⑴回；(2)分布列見解析，□.

解析：試題分析：⑴先求出從6枝圓珠筆中任取3支的事件的總數4再求出恰有1枝是三等品的事件

的總數8,用B除以4即是所求的概率；（2）先判斷區1的所有可能的取值，再求出0取每個值時

對應的概率，根據分布列的列法將所求的概率與對應的□的值分別填入表格，列出分布列，根據

分布列中的0的值及其對應的概率以及公式0求數學期望.

試題解析：（1）區I.2分

S4分

（2）回5分

□.□S>S□'

0S..9分

所以S的分布列是：

□10分

回.12分

考點：1.隨機事件的概率；2.離散型隨機變量及其應用；3.離散型隨機變量的分布列與數學期望

20.答案：解：（I）如圖所示，四邊形BCDE是等腰梯形，所以DE〃BC；

所以乙4CE就是異面直線4。與BC所成的角，......（2分）

在△4DE中，AD=AE,

又。為DE的中點，所以4。IDE；

在△40。中，AD=V5M0=2，

所以異面直線4。與BC所成角的正弦值為等；…（5分）

（H）由（I）知，A0A.DE,........（6分）

因為平面力DE1平面BCED,平面ADED平面BCED=DE,且4。u平面從困

所以4。_L平面BCED...............（7分）

所以。。14。；................（8分）

在AOBC中，BC=4,易得0B=0C=2或,所以C01B。，

又因為40nB0=0,所以COJL平面40B；...........（9分）

又C。u平面40C,

所以平面力OBJ■平面40C；....................................（10分）

（皿）由（n）知CO1平面AOB,

所以直線4c與平面4。8所成角就是4a4。；........（11分）

在RtA/lOC中，OC=2y[2,AO=2.所以tan4c4。=或，

所以直線4c與平面AOB所成角的正切值為&...................（13分）

解析：（I）找出N4DE是異面直線4。與BC所成的角，在三角形中求