大招8和比與項(xiàng)比公式

大招總結(jié)

結(jié)論1：若兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝和｛2｝的前n項(xiàng)和分別為S”和T?，則消=

（5+%i）（2“T）

$2“一|=_________2________=4（2〃T）=4

證明:

&-i（々+：,i）（2”T）2（2〃-1）b?

2

An-\-B

結(jié)論2:若兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝和｛2｝的前”項(xiàng)和分別為S,和T

n丁Cn+D

An+B_（An+B）kn

則-證明：設(shè)」?=

hC（2/M-1）+Z）Cn+DiCn+D\kn

mTn

22

Sn=Akn+Bkn,S,^=Ak（n-D+Bk（n-\）,a,,=8,,-S^=k\_A（2n-l）+B~\同理，

A（2n-1）+B

bm=Tm-Tm_]=k[C（2fn-1）+D],.-.^=

C（2/n-l）+D

典型例題

例1.兩個(gè)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和之比為小衛(wèi)，則它們的第7項(xiàng)之比為0

2〃-1

A.45:13

B.3:1

C.80:27

D.2:1

解：設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列分別為｛%｝、｛〃｝，它們的前〃項(xiàng)和分別為S“、Tn,則

S?_5>+10,生_13^_75_3

工—2”］，一廠西一刀一石一,

故選B.

例2.設(shè)S,、T分別是等差數(shù)列｛4｝、｛勿｝的前〃項(xiàng)和，若關(guān)q=端n工*),則善=()

nnGN

%

4A

9

B.—

19

解:方法1:由題意得，船q=五J7;15"、7；分別是等差數(shù)列｛《｝、｛2｝的前〃項(xiàng)和，所以不妨設(shè)

S”=〃2工="（2〃+1）,

所以〃5=55-54=25-16=9,/?6=7；-7；=6x13-5x11=23,

貝佟=2,故選D.

%23

a7x5-1Q

方法2:根據(jù)結(jié)論2,廣不甚訶=云

例3.若兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝,｛"｝,的前〃項(xiàng)和分別為S,和卻且＞景|，則$=（）

A-1

70

D.--

59

D-I

解：方法1:依題意，可設(shè),=如（3鹿+2）,7；=切（2〃+1）,又當(dāng)〃..2時(shí)，有

%=S"-S,z=k(6n-\),bm(4n-l)，，得==^，故選。

n：：：；"、

cZ|§I/]X1D工ID

3〃+2，根據(jù)結(jié)論尹羽；力:;嗡故選c

方法2:j=

Tn2n+1

是等差數(shù)列，若4=3%，則'=（）

例4.設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.,且

S9

9

5-

A.

B.5

9-

c.5

3

27

D.T

q1

解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前〃項(xiàng)和Sn=na,+^n（〃一1）”,.?.、=4+/（〃一1”也為等差數(shù)歹山

5(4+%)=5%,$9=%詈^=9%,又

：.數(shù)列｛a,｝為等差數(shù)列，.-.S5

2

..43=3。5=—=—,故選C.

S99%93

T,若對(duì)任意自然數(shù)〃都有鼠=生且，則

例5.設(shè)等差數(shù)列｛4｝、｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S.、n

Tn4/1-3

的值為

4+44+優(yōu)

解由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得

。3+4_a\+a\\_246_S||_2x11-319

“91生”91四--------=—.故答

么+偽4+均乙+%4+,瓦+瓦]瓦+瓦12b67]14x11-341

i19

案為—.

41

自我檢測(cè)

1.設(shè)等差數(shù)列｛4｝、也｝的前幾項(xiàng)和分別為S“、Tn,若對(duì)任意自然數(shù)〃都有些=表1,則考

的值為0

19

A.

41

3

B.

7

7

C.

15

￡

D.

3

解：等差數(shù)列｛a"｝、｛2｝的前"項(xiàng)和分別為S,、7；,對(duì)任意自然數(shù)”都有

S?_2n-3.牝_2牝一4+%_品「2x11-3=19

Tn4〃-3…42b6hi+bl[5色+配）&4x11-341.故.

2.兩個(gè)等差數(shù)列,它們前〃項(xiàng)和之比為止?，則兩個(gè)數(shù)列的第9項(xiàng)之比是（）

2/7-1

5

A.

3

8

B.

5

8

C.

3

7

D.

4

解：設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列分別為｛。“卜｛d｝,它們前〃項(xiàng)和分別為S“、7；,則由題意,

%S75x17+38八

*=上=--------=故選C.

bg〃2x17-13

3.數(shù)列{4},{bH}為等差數(shù)列,前〃項(xiàng)和分別為S”,卻若，=等2，則？=()

b?

41

A.

26

23

B.

U

11

C.

7

ii

D.—

6

S”_3〃+2

因?yàn)閧4},{2}為等差數(shù)列且所以

13（〃]+〃亙）

%_2/_q+。13_2_S]3_3x13+241

故選A.

百一西一4+九一13佃+%）一%-2x1326

2

4.已知等差數(shù)列{4},ww060su的前〃項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)于任意的自然數(shù)〃，都有3=勺三

〃+1

則生+45+&=()

4+414+b]

A.3

B.6

數(shù)列{%},{"}均為等差數(shù)列，

...%.上y.+^=也+%=N=2x&=2x4x11-8=6,故選B

々+41々+42b62b6b6工]11+1

5.已知數(shù)列{%},{〃}均為等差數(shù)歹U,其前〃項(xiàng)和分別為S?,Tn，且*=片5，若￡.二對(duì)

任意的nGN*恒成立,則實(shí)數(shù)X的最大值為()

A-i

B.0

C.―2

D.2

因?yàn)閿?shù)列｛4｝,｛4｝均為等差數(shù)列，且首吃空，所以

匕=幺=山0=邑曰=12-2(2〃-1)='=2一2單調(diào)遞減，當(dāng)"—時(shí),

b

n2〃bx+h2n_l弓12〃—1+3n+\n+l

%=—一一2>-2,若%..九對(duì)任意的“eN*恒成立,則％,-2,即；I的最大值-2.故選C.

b,n+lbn

6.己知等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,等差數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為7；,若今=答1則

?=()

b..

a2〃+3

A.------

〃+1

n10;7-5

B.-------

5n-3

C8，L3

.4/1-2

12/?-7

D.-------

671-4

等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S”，等差數(shù)列出｝的前W項(xiàng)和為

一+%1（2〃T）（4+%T）

TS”=6〃-1.a”=2_2_§2,16（2〃_1）-112n-7

"Z-3〃一1…瓦-4+1一（2〃一1）（乙+%T）—3（2〃一1）一1一6〃一4，

22

故選D.

7.己知等差數(shù)列｛an｝和｛%｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和7；,若年=今(產(chǎn)，則使得JT為整數(shù)的

正整數(shù)"共有()個(gè)

A.3

B.4

C.5

D.6

等差數(shù)列｛%｝和｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為S"和7；,若

（2〃-1）—+%,1）

a?=5〃+23=也==2=hnzL

b?〃+12d仿+處.|（2〃-1）（伉+―,1）Q.I

2

52,1_5〃+23_10〃+46_5（2鹿一1）+51故S“5〃+515（〃+3）+3636

Tln_x〃+12〃+2（2〃-1）+3'Tn〃+3"+3〃+3

當(dāng)〃=1,3,6,9,15,33時(shí),行為整數(shù)故選D.

8.已知等差數(shù)列｛an｝,｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為S“和&且〉受、，則/=()

6

A.

7

12

B.

17

c.18

25

16

D.

21

｛4｝和也｝的前”項(xiàng)和分別為S“和7；,且是=方］

方法1:因?yàn)榈炔顢?shù)列,所以可設(shè)

S.=kn（n+5）,T“=kn（2n-1）,k工0.所以a.=S,-S.=\Sk,bb=Tb-T5=2}k,所以

幺=g.故選A.

47

.,.S〃+5%(2x7—1)+56,,.

方法2:"=--------,2=4--------4—=一，故選A.

Tn2/1-142X(2X6-1)-17

9.設(shè)等差數(shù)列｛an｝,圾｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,,7；,若＞號(hào)詈，則使戶Z的〃的個(gè)數(shù)為

0

A.3

B.4

C.5

D.6

等差數(shù)列｛?,,｝和｛〃,｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且關(guān)=箋，，則

%，2a“_3（2〃-1）+33=3"+15=3?12一%匚2則

T

b“224+用“Tm-\2〃—1+3n+\n+V'bn''

〃+1=1,2,3,4,6,12,.*.n=11,5,3,2,1,0,nGN\n

10.等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃與7；,若對(duì)一切自然數(shù)〃，都有j=上L,則

3九+1

曾等于

,

q2力

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝和低｝的前"項(xiàng)和分別為S“與7；,且都有去彳，所以

4_2c%_6+61_

包2b64+如

=￡=做答案％

+4J

11.設(shè)s,是等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和，若絲=W,則鼠=

%11

U(4+4i)

由等差數(shù)列的性質(zhì)：4+%=24,4+%=2/，故&=—―廠=%=1,故答案

S55(%+%)5%

2

為：L

12.等差數(shù)列｛q｝、｛d｝的前"項(xiàng)和分別為S,,、T,，若&=等士，則詈=

2〃+34]

方法1：由/二別二1=切!3〃-1,,得用=（3“_1）伍7；=（2〃+3）切,,數(shù)列

Tn2n+3kn\2n+3）

4_6x6-4="3.2故答案

｛。”｝、｛包｝是等差數(shù)列，二。“=6kn-^k,bn=4kn+k,：.

4x11+145

j32

為一.

45

方法2：根據(jù)結(jié)論啜=奇雜

13