2023年1月聯考數學真題

一、問題求解

1.某工廠生產一批零件，支配10天完成任務，實際提前2天完成任務，則每天的產量比

支配平均提高了()。

(A)15%(B)20%(C)25%(D)30%(E)35%

答案：C

解析：設共生產x個零件，則堂=(W)xlO=；=25%

10

2.甲乙兩人同時從A點動身，沿400米跑道同向勻速行走，25分鐘后乙比甲少走一圈，

若乙行走一圈須要8分鐘，甲的速度是(單位：米/每分鐘)()。

(A)62(B)65(C)66(D)67(E)69

答案：C

解析：設甲的速度匕，由已知乙速度為匕=等=50翁；，瑪=25,從而匕=66奈

3.甲班共有30名同學，在一次滿分為100分的考試中，全班的平均成果為90分，則成

果低于60分的同學至多有()個。

(A)8(B)7(C)6(D)5(E)4

答案：B

解析:設，X],無2，…，X30分別為30個人的成果，則X1+%2+…+%30=2700分。

若尤則出是可能的,

X]+x2H------F7<420,+x94------Fx30>2280

但若則是不行能的

Xi+x2+—+x8<480,*9+Xw+…+x30>2220

4.某工程由甲公司60天完成，由甲、乙兩公司共同承包須要28天完成，由乙、丙兩公

司共同承包須要35天完成，則由丙公司承包該工程須要的天數為()。

(A)85(B)90(C)95(D)100(E)105

答案：E

解析：設工程量為1,甲每天完成去，乙每天完成L丙每天完成士

60xy

T+1_1

貝/學:,因此工=2_+2__2_=二_

1_|_1_2_y60352810S

、工y35

5?已知4)=品筋+再矗m+…+西』，則-8)=()。

(A)—(B)—(C)—(D)—(E)一

910161718

答案：E

1111

解析：〃8)=嬴行+而+…+右石=一五+五一元+…+石

18918-18

6.甲乙兩商店同時購進了一批某品牌的電視，當甲店售出15臺時乙售出了10臺，此時

兩店的庫存比為8:7,庫存差為5,甲乙兩店總進貨量為()。

(A)75(B)80(C)85(D)100(E)125

答案：D

%-15_8

解析：設甲商店購進x臺，乙商店購進y臺，聲=亍得，x=55,y=45

.（%-15）-（y-10）=5

7.如圖1,在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,DE//BC,已知梯形BCDE的面積為3,則

DE長為（）

(A)V3(B)V3+1(C)4V3-4(D)等(E)&+1

答案：E

解析：由已知△ABCS/\ADE,因此任=叫，

43

由于：x4x3—：xAExDE=3,貝恥2=竽，從而DE=^

8.點(0,4)關于直線2x+y+l=0的對稱點為()。

(A)(2,0)(B)(-3,0)(C)(-6,1)(D)(4,2)(E)(-4,2)

答案：E

y°-4=1

xo-o_2得與=_4,%=2

2.殛+空±+i=o

{22

9.在(/+3X+1)6的綻開式中，x2的系數為()。

(A)5(B)10(C)45(D)90(E)95

答案：E

解析：（M+3x+l）5的一般項為麾/（4+3菖（憶=0,1,234,5）,.+3）及

Clx2（x+3產中含有爐項,其項數為讖+9鬣=95

10.有一批水果要裝箱，一名嫻熟工單獨裝箱須要10天，每天酬勞為200元；一名一般

工單獨裝箱須要15天，每天酬勞為120元。由于場地限制，最多可同時支配12人裝箱，若

要求在一天內完成裝箱任務，則支付的最少酬勞為（）。

（A）18007C（B）1840元（C）1920元（D）I960元（E）2000元

答案：C

（%4-V<12

解析：設嫻熟工人x人，一般工人y人，則求條件下，200x+120y的最小值

由%：：）對；）得*26,取*=6,y=6時（用窮舉法）

酬勞最少為200X6+120x6=1920元

11.將體積為4ncm3和32ncn?的兩個實心金屬球熔化后鑄成一個實心大球，求大球的

表面積()。

2222

(A)32ncm2(B)36ncm(C)38ncm(D)40ncm(E)42Jicm

答案：B

解析：設大實心球半徑為R,則^兀收=36/rcm3

從而R=3cm,表面積S=4n■32=36rrcm2

12.已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=l,且過點(-1,1),則()?

(A)b=-2,c=-2(B)b=2,c=2(C)b=-2,c=2(D)b=-l,c=l(E)b=l,c=l

答案：A

解析：由已知—g=l,b=—2o又因為1=(—1)2+2+c,得c=—2

13.已知｛斯｝為等差數列。若Ct2與的0是方程一-10*-9=0的兩個根，貝1帽5+€17=()。

(A)-10(B)-9(C)9(D)10(E)12

答案：D

+a=

解析：a5+a7=a2ioiO

14.已知10件產品中有4件一等品，從中任取2件，則至少有1件一等品的概率為()。

(A)-(B)-(C)-(D)-(E)-

33151515

答案：B

解析：所求概率為1一名=1一啜=:

Cf0453

15.確定兩人從A地動身經過B,C沿逆時針方向行走一圈回到A地的方案(如圖2)。若

A地動身時，每人均可選大路或山道，經過B,C時，至多有一人可以更改道路，則不同的

方案有()。

（A）16種（B）24種（C）36種（D）48種（E）64種

答案：C

解析：分三個步驟：第一個步驟兩人從A到B：共有2X2=4種

其次個步驟兩人從B到C：共有兩人均不變或僅有一人變，3種

第三個步驟兩人從C到A：共有兩人均不變或僅有一人變，3種

從而不同方案有4x3x3=36種

二、條件充分性推斷

22-2

16.已知平面區域￡>j={(x,y)|x2+y<9}D2={(x,y)|(x-x0)+(y7o)09},則D14

覆蓋區域的邊界長度為8”。

229

(1)XO+yo=(2)Xo+yo=3

答案：A

22

解析：兩圓心距為d=7x0+y0

由條件(1),d=3,如圖3所示圓心角a=120。。D?覆蓋區域的邊界長度為2x2irx

3—2〉等=8冗。即條件(1)是充分的

令麗=6,y()=-3，則d=,36+9>6。即兩圓相離，因此條件(2)不充分。

17.p=mq+l為質數。

(1)m為正整數，q為質數(2)m、q均為質數

答案：E

解析：取m=3,q=5,則知答案比為E

18.4ABC的邊長為a,b,c,則aABC為直角三角形。

(1)(c2-a2-b2)(a2-b2)=0(2)Z\ABC的面積為：ab

答案：B

解析：取a=b=c=l,則知條件(1)不是充分的。

由于AABC的面積為gab,即表明a,b肯定是干脆三角形的兩直角邊長，從而條件(2)

充分

19.已知二次函數/'(x)=ax2+bx+c,則方程/'(x)=0有兩不同實根。

(1)a+c=O(2)a+b+c=O

答案：A

解析：題干要求b?-4ac>0(由己知a40)

由條件(1)，a=—c,b2—4ac=b2+4c2>0,即條件(1)充分。

取b=2,a=c=—1,則b?—4ac=0,即條件(2)不充分。

20.檔案館在一個庫房安裝了n個煙火反應報警器，每個報警器遇到煙火勝利報警的概率

為P，該庫房遇煙火發出報警的概率達到0.999.

(1)n=3,p=0.9(2)n=2,p=0.97

答案：D

解析：由條件(1),1-x(0.9)°x(1-0.9)3=1-0.001=0.999

由條件(2),1-C^X(0.97)°X(1-0.97)2=1-0.0003=0,9997>0.999

即兩個條件都是充分的。

21.已知a,b是實數，則|a|Wl,|b|<1,

(1)|a+b|<1(2)|a-b|<1

答案：C

解析：取a=3,b=-2,則知條件(1)不充分

取a=3,b=2,則知條件(2)不充分

聯合條件(1)和條件(2),則有依+t+令

因此2(小+廬)<2,即M+FWL則必有|a|W1,且|b|41

22.設x,y,z,為非零實數，則織至善=1。

-x+y-2z

(1)3x-2y=0(2)2y-z=0

答案：C

解析：條件（1）和條件（2）單獨都不充分，聯合條件（1）和條件（2）

2%+3y-4z_三+3-8

則有:%=尸

,z-2y-x+y-2z--+1-4

23.某單位年終共發了100萬元獎金，獎金金額分別是一等獎1.5萬元、二等獎1萬元、

三等獎0.5萬元，則該單位至少有100人。

（1）得二等獎的人數最多（2）得三等獎的人數最多

答案：B

解析：設獲得一等獎，二等獎，三等獎人數分別為x,y,z,未得獎人數為q。

則有1.5x+y+0.5z=100萬元

題干要求推出x+y+z+q>100A

由條件（1）,可設y=40,x=38,z=6,q=0

則，40+38+6+0=84<100人

因此條件（1）不充分。

由條件（2）,由于x+y+z=100-0.5（x-z）,而x-z<0

從而x+y+z>100,x+y+z