專題-2022-2023學年八年級數學上學期復習備考高分秘籍【人教版】專題2.2與三角形和多邊形有關角的綜合計算大題專練（培優(yōu)強化30題）一、解答題1．（2019·安徽·蚌埠第一實驗學校八年級期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分線交于P，則∠BPC的度數是______（2）類比探究：如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線和∠ACB的外角∠ACE的角平分線交于P，則∠BPC與∠A的關系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分線和∠ACB的外角∠BCE的角平分線交于P，請直接寫出∠BPC與∠A的關系是______．【答案】（1）110°；（2）∠BPC=12【分析】（1）根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可；（2）根據三角形外角的性質得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根據角平分線的定義解答；（3）根據（1）的結論然后用角分線的定義，計算即可．【詳解】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°?40，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC=180°?故答案為110°（2）∠BPC=1證明：∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△PBC的外角，∴∠ACE=∠ABC+∠A∠PCE=∠PBC+∠BPC，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=1∴12∴∠BPC=1∴∠BPC=1故答案為：∠BPC=1（3）由（1）得，∠BPC=90°?1故答案為：∠BPC=90°?1【點睛】本題考查的是三角形內角和定理的應用以及角平分線的定義，掌握三角形內角和等于180°和三角形外角性質是解題的關鍵．2．（2021·遼寧·大連市第十七中學八年級期中）小明在學習三角形的知識時，發(fā)現(xiàn)如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點F．(1)如圖，M為邊AC上一點，則BD，MF的位置關系是，并證明；(2)若M為邊AC反向延長線上一點，則（1）的結論還成立嗎？請畫出圖形說明理由．(3)若M為邊AC延長線上一點，則（1）的結論還成立嗎？請畫出圖形說明理由．【答案】(1)平行，理由見解析(2)不成立，理由見解析(3)不成立，理由見解析【分析】（1）根據角平分線的定義與四邊形的內角和定理求出∠ABD+∠AMF＝90°，又∠AFM+∠AMF＝90°，然后證明得到∠ABD＝∠AFM，然后根據同位角相等，兩直線平行可得BD∥（2）先證明∠ABC＝∠AME，再根據角平分線的定義可得∠ABD＝∠AMF，然后根據∠ABD+∠ADB＝90°得到∠AMF+∠ADB＝90°，從而得到BD⊥MF；（3）先證明∠ABC＝∠AME，再根據角平分線的定義可得∠ABD＝∠AMF，然后根據∠AMF+∠F＝90°得到∠ABD+∠F＝90°，從而得到BD⊥MF．（1）解：BD∥理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME＝360°﹣90°×2＝180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝12∠ABC，∠AMF＝12∠∴∠ABD+∠AMF＝12（∠ABC+∠AME）＝90又∵∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠ABD＝∠AFM，∴BD∥（2）解：不成立，BD⊥MF．如圖所示，理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠AME+∠C＝90°，∴∠ABC＝∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝∠AMF，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠AMF+∠ADB＝90°，∴BD⊥MF；（3）解：不成立，BD⊥MF，如圖所示，理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB＝∠AME+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝∠AMF，∵∠AMF+∠F＝90°，∴∠ABD+∠F＝90°，∴BD⊥MF．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，垂線的定義，平行線的判定，三角形的內角和定理，本題規(guī)律性較強，準確識圖，準確找出角度之間的關系是解題的關鍵．3．（2020·湖北荊門·八年級期中）生活中到處都存在著數學知識，只要同學們學會用數學的眼光觀察生活，就會有許多意想不到的收獲，下面兩幅圖都是由同一副三角板拼合得到的：(1)如圖1，請你計算出的∠ABC的度數．(2)如圖2，若AE∥BC，請你計算出∠AFD的度數．【答案】(1)∠ABC＝75°(2)∠AFD＝75°【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度數，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度數；（2）首先根據三角形內角和為180°，求得∠C的度數，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，即可求得∠AFD的度數．（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°【點睛】此題考查了三角形的內角和定理，三角形的外角的性質以及平行線的性質等知識．題目難度不大，注意數形結合思想的應用．4．（2021·重慶梁平·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分線，AD是高．(1)求∠BAE的度數；(2)求∠EAD的度數；(3)如圖，若∠C>∠B，直接寫出∠EAD、∠B、∠C的關系．【答案】(1)∠BAE=50°(2)∠EAD=10°(3)∠EAD=12(∠C-∠B【分析】（1）由∠B，∠C的度數利用三角形內角和定理即可求出∠BAC的度數，再根據角平分線性質即可求出∠BAE的度數；（2）由∠B，∠ADB的度數利用三角形內角和定理即可求出∠BAD的度數，再根據∠DAE=∠EAC﹣∠DAC代入數據即可得到結論；（3）猜想∠EAD=12(∠C-∠B)，重復（1）（2）的過程找出∠BAD和∠BAE（1）∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°；又∵AE是∠BAC的平分線，

∴∠BAE=12∠BAC（2）∵AD是邊BC上的高，∴∠ADC=90°，∴在△ADC中，∠C=50°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DAC=40°，由（1）知，∠BAE=∠CAE=50°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°，即∠EAD=10°．（3）∠EAD=12(∠C-∠B∵∠BAC=180-∠C-∠B且AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=12∠BAC=90°-12(∠C-∠∵∠BAD=90°-∠B，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=12(∠C-∠B【點睛】本題考查了三角形內角和定理角平分線的性質以及角的計算，解決此題的關鍵是熟練的運用上述性質．5．（2021·海南省直轄縣級單位·八年級期中）（1）如圖①，點P是△ABC內角的平分線BP與CP的交點，求證：∠BPC=90°+1（2）如圖②，點P是△ABC內角的平分線BP與外角平分線CP的交點，請直接寫出∠BPC與∠A的關系；（3）如圖③，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，請直接寫出∠BPC與∠A的關系．【答案】（1）見解析；（2）∠BPC=12【分析】（1）根據三角形內角和定理∠ABC+∠ACB=180°?∠A，根據角平分線的定義運算即可得出結論；（2）根據三角形的外角定理，得出∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC，再根據角平分線的定義運算即可得出結論；（3）根據平角的定義和三角形內角和定理推出，∠DBC+∠ECB的和，再根據角平分線的定義運算即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵BP和CP分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A∴∠PBC+∠PCB===90°?∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°?（2）∠BPC=1∵BP是∠ABC的平分線，CP是△ABC外角角平分線，∴∠PBC=12∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC∴∠PCD==∴∠PCD?∠PBC=∵∠PCD?∠PBC=∠BPC∴∠BPC=（3）∠BPC=90°?1∵BP和CP是△ABC外角角平分線，∴∠PBC=12∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A又∵∠DBC=180°?∠ABC，∠ECB=180°?∠ACB∴∠DBC+∠ECB=180°?∠ABC+180°?∠ACB=360°?(∠ABC+∠ACB)=360°?(180°?∠A)=180°+∠A∴∠PBC+∠PCB==∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°+【點睛】本題考查了雙內角角平分線模型，內外角角平分線模型，雙外角角平分線模型，主要運用了三角形內角定理，三角形外角定理和角平分線的定義，靈活運用定理并準確運算是本題的關鍵．6．（2021·廣西·靖西市教學研究室八年級期中）如圖，已知：AD平分∠BAC，點F是AD反向延長線上的一點，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°．求：∠B和∠F的度數．【答案】∠B＝40°；∠F＝10°【分析】根據AD平分∠BAC，可得∠BAC=80°，由三角形內角和定理可得∠B＝40°，再根據三角形外角的性質可得∠EDF＝80°，然后根據EF⊥BC，即可求解．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝40°，∴∠DAC＝40°，即∠BAC=80°，∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∴∠EDF＝∠B+∠1=40°+40°＝80°，∵EF⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．【點睛】本題主要考查了有關角平分線的計算，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形的性質，熟練掌握有關角平分線的計算，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．7．（2018·江西·八年級期中）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，與CD、AB分別相交于點M、N．①以線段AC為邊的“8字型”有_______個，以點O為交點的“8字型”有________個：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度數；③若角平分線中角的關系改為“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數量關系，并證明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C；【分析】（1）利用三角形內角和定理和對頂角相等即可證明；（2）①根據“8字型”的定義判斷即可；②由（1）結論可得△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，兩式相加再由角平分線的定義即可解答；③根據∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，由∠C+∠CAM=∠P+∠PDM可得3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，由∠B+∠BDN=∠P+∠PAN可得32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以線段AC為邊的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3個；以點O為交點的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4個；②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，∴∠C+∠B=2∠P，∴120°+100°=2∠P，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，∴∠CAM=13∠CAB，∠PAN=23∠CAB，∠BDN=23∠BDC，∠PDM=1△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=13∠BDC-13∠3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=23∠BDC-23∠32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB∴3（∠C-∠P）=32（∠P-∠B2∠C-2∠P=∠P-∠B，3∠P=∠B+2∠C；【點睛】本題考查了三角形內角和定理，等式的性質，角平分線的定義，對頂角的性質等知識；掌握等式的性質是解題關鍵．8．（2021·河北保定·八年級期中）在三角形紙片ABC中，點D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點C落在點C′(1)如圖1，當點C落在邊BC上時，若∠ADC′=62°(2)如圖2，當點C落在△ABC內部時，且∠BEC′=40°，∠AD(3)如圖3，當點C落在△ABC外部時，請直接寫出∠C'與∠BEC【答案】(1)31°(2)31°(3)∠【分析】（1）根據折疊可知，∠C=∠DC'C（2）根據∠BEC′=40°，∠ADC′=22°求出∠CDC'和∠CEC（3）用∠BEC′，∠ADC'分別表示出∠C'ED和∠(1)∵當點C落在邊BC上時，∠ADC'是∴∠ADC根據折疊可知，∠C=∠DC'∵∠ADC∴∠C=1故答案為：31°；(2)∵∠BEC′=40°，∠ADC′=22°，∴∠CEC∠CDC根據折疊可知，∠C=∠C∴∠C===31°；(3)∵根據折疊可知，∠CDE=∠C'DE∴∠C∠C∴∠=180°?=1【點睛】本題主要考查了折疊的性質，三角形內角和與外角的性質，靈活運用三角形內角和與外角的性質是解題的關鍵．9．（2021·北京市海淀外國語實驗學校八年級期中）在ΔABC中，∠A=70°(1)如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，則∠BOC=°；(2)如圖2，ΔABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于點O′，則∠BO(3)探究如圖3，ΔABC的內角∠ABC的平分線與其外角∠ACD的平分線相交于點O，設∠A=n°，則∠BOC的度數是．（用n【答案】(1)125°(2)55°(3)1【分析】（1）由三角形內角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數，再由角平分線的定義即可求得∠OBC+∠OCB的度數，從而由三角形內角和定理可求得∠BOC的度數；（2）由三角形外角的性質及三角形內角和定理可求得∠DBC+∠BCE，由角平分線的定義可求得∴∠O′BC+∠O′CB的度數，從而由三角形內角和定理可求得∠BO（3）由角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，由三角形外角的性質即可得∠A=2∠BOC，從而可得∠BOC．(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=110°．∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=125°．故答案為：125°．(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+70°=250°．∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，∴∠O′BC=12∠DBC∴∠O′BC+∠O′CB=1∠BO′C=180°?(∠O′BC+∠O′CB)=180°?125°=55°．故答案為：55°．(3)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∵∠A=∠ACE?∠ABC，∴∠A=2∠OCE?2∠OBC=2(∠OCE?∠OBC)=2∠BOC．∴∠BOC=1故答案為：12【點睛】本題考查了三角形內角和定理、三角形外角的性質、角平分線的定義等知識，靈活運用它們是解答本題的關鍵．10．（2021·重慶市榮昌初級中學八年級期中）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度數；(2)證明：∠BAC＝∠B+2∠E．【答案】(1)∠BAC=85°；(2)見解析【分析】（1）根據三角形的外角性質求出∠ECD，根據角平分線的定義求出∠ACE，再根據三角形的外角性質計算，得到答案；（2）根據角平分線的定義、三角形的外角性質計算，證明結論．(1)解：∵∠B=35°，∠E=25°，∴∠ECD=∠B+∠E=60°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=60°，∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°；(2)證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE．∵∠BAC=∠E+∠ACE，∴∠BAC=∠E+∠ECD，∵∠ECD=∠B+∠E，∴∠BAC=∠E+∠B+∠E，∴∠BAC=∠B+2∠E．【點睛】本題考查的是三角形的外角性質、三角形內角和定理，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．11．（2021·廣西·百色市田陽區(qū)第五初級中學八年級期中）一個零件形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應等于75°，∠B和∠C應分別是18°和22°，某質檢員測得∠BDC=114°，就斷定這個零件不合格，請你運用三角形的有關知識說明零件不合格的理由．【答案】不合格，理由見解析【分析】延長BD與AC相交于點E．利用三角形的外角性質，可得∠1=∠A+∠B，∠BDC=∠BEC+∠C，即可求解．【詳解】解：如圖，延長BD與AC相交于點E．∵∠1是△ABE的一個外角，∠A=75°，∠B=18°，∴∠1=∠A+∠B=75°+18°=93°，同理可得∠BDC=∠BEC+∠C=93°+22°=115°∵李師傅量得∠BDC=114°，不是115°，∴這個零件不合格．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質，熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．12．（2021·山東德州·八年級期中）閱讀填空，將三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（點P在△ABC內），如圖①所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經過點B和點C，我們來研究∠ABP與∠ACP是否存在某種數量關系．（1）特例探索：若∠A=50°，則∠PBC+∠PCB=度，∠ABP+∠ACP=度．（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關系是．（3）變式探索：如圖②所示，改變三角尺的位置，使點P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經過點B和點C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關系是．【答案】（1）90，40；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【分析】（1）由三角形內角和為180°計算△BPC和△ABC中的角的關系即可．（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的關系為∠ABP+∠ACP+∠A=90°．（3）由三角形外角的性質即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【詳解】（1）在△BPC中∵∠MPN=90°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°在△ABC中∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP∴∠A+∠PBC+∠ABP+∠ACP+∠BCP=180°∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°∴∠ABP+∠ACP=180°-90°-50°=40°（2）由（1）問可知∠A+∠PBC+∠ABP+∠ACP+∠BCP=180°又∵∠PBC+∠PCB=90°∴∠A+∠ABP+∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°（3）如圖所示，設PN與AB交于點H∵∠A+∠ACP=∠AHP又∵∠ABP+∠MPN=∠AHP∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN又∵∠MPN=90°∴∠A+∠ACP=90°+∠ABP∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【點睛】本題考查了三角形的性質以及三角尺的角度計算問題，三角板的角度分別為90°，45°，45°；90°，60°，30°兩種直角三角尺，三角形內角和是180°，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．13．（2021·安徽省六安皋城中學八年級期中）概念學習：已知△ABC，點P為其內部一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形，其內角與△ABC的三個內角分別相等，那么就稱點P為△ABC的等角點．理解應用（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應橫線內寫：“真命題”；反之，則寫“假命題”①內角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點；②任意的三角形都存在等角點．（2）如圖①中，點P是銳角三角形△ABC的等角點，若∠BAC=∠PBC，探究圖中么∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）①真命題；②假命題；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP【分析】（1）①根據等角點的定義，可知內角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點，從而可作出判斷；②等邊三角形不存在等角點，故可作出判斷；（2）根據∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC，即可得出三個角間的數量關系．【詳解】（1）①作內角分別為30°、60°、90°的三角形斜邊的中線，取中線的中點，則此點就是此直角三角形的等角點，故為真命題；故答案為：真命題；②任意三角形都存在等角點是假命題，如等邊三角形不存在等角點，故為假命題；故答案為：假命題；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP理由如下：∵∠ABP+∠BAP=180°?∠BPA，∠ACP+∠CAP=180°?∠CPA∴∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP=180°?∠BPA+180°?∠CPA=360°?(∠BPA+∠CPA)即∠ABP+∠BAC+∠ACP=360°?(∠BPA+∠CPA)∴∠BPC=360°?(∠BPA+∠CPA)=∠ABP+∠BAC+∠ACP∵∠BAC=∠PBC∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP∴∠BPC=∠ABC+∠ACP【點睛】本題主要考查三角形內角和定理的應用，解決問題的關鍵是理解等角的定義，根據等角的定義及三角形的內角和得出角的關系．14．（2021·安徽·六安市輕工中學八年級期中）已知，如圖，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于點H，D、E分別在CA、BA的延長線上，DB∥AH，∠D＝∠E．（1））求證：DB∥EC；（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°．求∠D的度數．【答案】（1）見解析；（2）50°【分析】（1）根據平行線的性質可得∠D＝∠CAH，根據角平分線的定義可得∠BAH＝∠CAH，再根據已知條件和等量關系可得∠BAH＝∠E，再根據平行線的判定即可求解；（2）可設∠ABC＝x，則∠ABD＝2x，則∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180°?4x，可得∠AHC＝175°?4x，可得175°?4x＝3x，解方程求得x，進一步求得∠D的度數．【詳解】（1）證明：∵DB∥AH，∴∠D＝∠CAH，∵AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH，∵∠D＝∠E，∴∠BAH＝∠E，∴AH∥EC，∴DB∥EC；（2）解：設∠ABC＝x，則∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，∴∠DAB＝180°?4x，∵∠DAB比∠AHC大5°∴∠AHC＝175°?4x，∵DB∥AH，∴∠AHC=∠DBC即：175°?4x＝3x，解得x＝25°，則∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°．【點睛】考查了三角形內角和定理，平行線的判定與性質，求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件．15．（2021·北京房山·八年級期中）已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一點，MN⊥BC于N．(1)如圖①，當點M與A重合時，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度數；(2)如圖②，當點M在線段AE上（不與A，E重合），用等式表示∠EMN與∠B，∠C之間的數量關系，并證明你的結論；(3)如圖③，當點M在線段AE的延長線上，連接MC，過點A做MC的垂線，交MC的延長線于點F，交BC的延長線上于點D．①依題意補全圖形；②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，則∠AMC＝°．（用含α，β，γ的式子表示）【答案】（1）∠EMN=20°；（2）∠EMN=【分析】（1）根據三角形內角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根據AE平分∠BAC，∠CAE＝12∠BAC＝30°，利用三角形內角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)；證法1:如圖，作AD⊥BC于D．根據AE平分∠BAC，可得∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)．根據AD⊥BC，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=12(∠C－∠B)．根據AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．證法2:根據AE平分∠BAC，得出∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)，根據三角形內角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C(3)①依題意補全圖形，當點M在線段AE的延長線上，連接MC，過點A作AD⊥MC交MC的延長線于點F，交BC的延長線上于點D，如圖；

②∠AMC＝γ?12β+12α．過A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B），根據MC⊥AD，得出∠CFD根據兩角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠【詳解】解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝12∠BAC∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，∴∠CMN＝10°，∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)．

證法1:如圖，作AD⊥BC于D．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠∵AD⊥BC，∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝12(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝12(∠C－∠∵AD⊥BC，MN⊥BC，∴AD//MN，∴∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．證法2:∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－12(∠C－∠B∴∠EMN＝90°－∠AEC＝12(∠C－∠B(3)①依題意補全圖形，當點M在線段AE的延長線上，連接MC，過點A作AD⊥MC交MC的延長線于點F，交BC的延長線上于點D．如圖；

②∠AMC＝γ?1過A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，∴MN∥AG，∴∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B∵MC⊥AD，∴∠CFD=∠CNM=90°，∵∠FCD=∠NCM，∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，∴∠AMC=γ°-12β°+12【點睛】本題考查三角形內角和，角平分線定義，平行線性質，角的和差，補全圖形，垂線定義，掌握三角形內角和，角平分線定義，平行線性質，角的和差，作圖語句，垂線定義是解題關鍵．16．（2021·廣西玉林·八年級期中）如圖：是一個大型模板，設計要求BA與CD相交成26°角，DA與CB相交成37°角，現(xiàn)小燕測得∠A=151°,∠B=66°,∠C=88°,∠D=55°，她就斷定這塊模板是合格的，這是為什么？【答案】合格，理由見解析【分析】延長DA，CB相交于點F，延長BA，CD相交于點E，然后根據三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，延長DA，CB相交于點F，延長BA，CD相交于點E，∵∠C+∠ADC=88°+55°=143°，

∴∠F=180°?∠C?∠ADC=37°，

∵∠C+∠ABC=88°+66°=154°，

∴∠E=180°?∠C?∠ABC=26°，

∴這塊模板是合格的．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握三角形內角和定理．17．（2021·廣東陽江·八年級期中）如圖，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形紙板ABC的兩條直角邊所在直線與∠O的兩邊分別交于D，E兩點．（1）如圖1，若直角頂點C在∠O的邊上，則∠ADO+∠OEB＝度；（2）如圖2，若直角頂點C在∠O的內部，求∠ADO+∠OEB的度數；（3）如圖3，若直角頂點C在∠O的外部，求∠ADO+∠OEB的度數．【答案】（1）120；（2）120°；（3）120°【分析】（1）由三角形外角性質可知∠OEB=∠ECO+∠O，即可得出∠ADO+∠OEB=∠ACB+∠O，即可求出答案；（2）連接OC，由三角形外角性質可知∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，即可得出∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO=∠ACE+∠DOE，即得出答案；（3）連接OC，由三角形外角性質可知∠ADO=∠ACO?∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，即可得出【詳解】解：（1）∵∠OEB=∠ECO+∠O，∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠ECO+∠O=∠ACB+∠O=90°+30°=120°．故答案為：120．（2）如圖，連接OC，∵∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，∠ACE=90°，∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO=(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC+∠DOC)=∠ACE+∠DOE=90°+30°=120°（3）如圖，連接OC∵∠ADO=∠ACO?∠DOC∴∠ADO+∠OEB=∠ACO?∠DOC+∠EOC+∠ECO=(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC?∠DOC)=∠ACE+∠DOE=90°+30°=120°【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，正確的連接輔助線并利用數形結合的思想是解答本題的關鍵．18．（2021·安徽省六安皋城中學八年級期中）如圖，在△ABC中，點D為∠ABC的平分線BD上一點，連接AD，過點D作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F．（1）如圖1，若AD⊥BD于點D，∠BEF=120°，求∠BAD的度數；（2）如圖2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD十∠C的度數（用含α和β的代數式表示）．【答案】（1）60°；（2）β-12α【分析】（1）根據平行線的性質和平角的定義可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根據角平分線的性質和平行線的性質可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根據三角形內角和定理可求∠BAD的度數；（2）過點A作AG∥BC，則∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，依此即可求解．【詳解】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，又∵∠BDA=90°，∴∠EDA=60°，∴∠BAD=60°；（2）如圖2，過點A作AG∥BC，則∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，則∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-12∠ABC=β-12【點睛】考查了三角形內角和定理，平行線的性質，角平分線的性質，準確識別圖形是解題的關鍵．19．（2022·全國·八年級專題練習）如圖①，已知線段AB，CD相交于點O，連接AC，BD，我們把形如圖①的圖形稱之為“8字形”．如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD，AB分別相交于M，N．試解答下列問題：(1)在圖①中，寫出一個關于∠A、∠B、∠C、∠D的關系的等式．(2)在圖②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度數；(3)在圖②中，若設∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，試問∠P與∠C，∠B之間存在著怎樣的數量關系（用α，β表示∠(4)如圖③，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數為．【答案】(1)∠A+∠C＝∠B+∠D，見解析(2)98°(3)∠P＝13（β+2α(4)360°【分析】（1）利用三角形內角和定理解決問題即可；（2）根據角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據三角形內角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B（3）與（2）的證明方法一樣得到∠P=13（2∠C+∠B（4）根據三角形內角與外角的關系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根據四邊形內角和為360°可得答案．（1）解：結論：∠A+∠C=∠B+∠D．理由：如圖中，∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠DOB=180°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．故答案為：∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B∵∠C=100°，∠B=96°，∴∠P=12（3）解：結論：∠P=13（β+2α理由：∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠∴∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=13∠BDC-13∠BAC，∠P-∠B=23∠BDC-2∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，∴∠P=13（∠B+2∠C∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=13（β+2α（4）解：∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案為：360°．【點睛】本題考查了三角形內角與外角的關系，以及多邊形內角和．也考查了角平分線的定義，關鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．20．（2022·全國·八年級課時練習）當光線經過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．(1)如圖①，若α＝90°，判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關系，并說明理由．(2)如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數量關系，并說明理由．(3)如圖③，若α＝110°，設鏡子CD與BC的夾角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經過n（n為正整數，且n≤3）次反射，當第n次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出γ的度數．（可用含有m的代數式表示）【答案】(1)EF//GH，理由見解析；(2)2∠α?∠β=180(3)90°+m或【分析】（1）利用同旁內角互補，兩直線平行加以證明；（2）利用三角形的外角性質證明即可；（3）分兩種情況畫圖討論：①當n=3時；②當n=2時．（1）解：EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，∵α=90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1+∠2+∠FEG=180°,∠3+∠4+∠EGH=180°,∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°，∴∠FEG+∠EGH=180∴EF//GH；（2）解：β=2α?180°．理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，∴∠2+∠3=180°?α，∵∠1=∠2,∠1=∠MEB，∴∠2=∠MEB，∴∠MEG=2∠2，∵∠3=∠4,∠4=∠MGB，∴∠3=∠MGB，∴∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，∴β=180°?(∠MEG+∠MGE)===180°－（3）解：90°+m或150°．理由如下：①當n=3時，如下圖所示，∵∠BEG=∠1=m，∴∠BGE=∠CGH=60°-m，∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2m，∠EGH=180°-2∠BGE=180°-2(60°-m)=60°+2m，∵EF//HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，∴∠GHK=360°-(180°-2m)-(60°+2m)=120°，∴∠GHC=120°÷2=30°，在△GCH中，γ=180°-(60°-m)-30°=90°+m．②當n=2時，如果在BC邊反射后與EF平行，由（1）知α=90°，與題意不符；則只能在CD邊反射后與EF平行，如下圖所示，∵EF//HK，∴∠HEF+∠EHK=180°．∵∠1+∠BEH+∠HEF+∠DHK+∠EHK+∠CHE=360°，∴∠1+∠BEH+∠DHK+∠CHE=180°，∴∠BEH+∠CHE=90°．∵α+γ+∠BEH+∠CHE=360°，α＝110°，∴γ=160°．綜上所述：γ的度數為：90°+m或160°．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定、多邊形的內角和，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質，注意分類討論思想的利用．21．（2022·全國·八年級專題練習）如圖1，四邊形ABCD中，點E在邊AB上，∠BCE與∠BEC互余，過點E作EF∥CD，交AD于點F．(1)若EF⊥CE，求證：∠AEF＝∠BCE；(2)如圖2，EG平分∠BEC交DC延長線于點G，∠BCD+∠ECD＝180°．點H在FD上，連接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．當∠D+∠AEF＝2∠G時，判斷線段CH與CE的大小關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠D＝∠BCG，理由見解析【分析】（1）根據EF⊥CE得出∠FEC=90°，進而根據已知得出∠BCE+∠BEC=90°，從而求解；（2）先證明∠ECD=∠BCG，然后設∠ECD=∠BCG=x，表示出∠BCE=180°?2x，∠BEC=2x?90°，進而表示出∠FEC=180°?∠ECD=180°?x，∠AEF=180°?∠FEC?∠BEC=90°?x，求出∠FEG=135°，∠G=45°，進而求出∠D=x，得出∠D=∠BCG．（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°．∵∠BCE與∠BEC互余，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEF＝∠BCE；（2）解：∵∠BCD+∠ECD＝180°，∠BCD+∠BEG＝180°，∴∠ECD＝∠BCG．設∠ECD＝∠BCG＝x，∴∠BCE＝180°﹣2x，∠BEC＝2x﹣90°．∵EG平分∠BEC，∴∠BEG＝∠GEC＝x﹣45°．∵EF∥CD，∴∠FEC＝180°﹣∠ECD＝180°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＝90°﹣x，∠FEG＝∠FEC+∠GEC＝180°﹣x+x﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣CFEG＝45°．∵∠D+∠AEF＝2∠G，∴∠D＝2∠G﹣∠AEF＝90°﹣（90°﹣x）＝x，∴∠D＝∠BCG．【點睛】本題考查了多邊形的內角和外角以及平行線的性質，解題的關鍵是熟練運用平行線的性質．22．（2022·全國·八年級專題練習）在五邊形ABCDE中，∠A=130°，∠B=110(1)如圖①，畫出五邊形ABCDE的所有對角線；(2)如圖②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度數；(3)如圖③，若CP，DP分別平分∠BCD與∠CDE的外角，試求出∠CPD的度數．【答案】(1)見解析(2)∠D=120°(3)∠CPD=100°【分析】（1）根據對角線的定義作出所有對角線即可；（2）先根據多邊形的內角和公式求得內角和，再求出∠C+∠D的度數，最后∠D?∠C=40°求得∠D即可；（3）先根據多邊形內角結合外角的定義求得∠DCF+∠CDG=160°，然后根據角平分線的定義、等量代換、角的和差解答即可．（1）解：如圖即為所求．（2）解：五邊形ABCDE的內角和為5?2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠C+∠D=540°?∠A?∠B?∠E=540°?130°?110°?100°=200°，又∵∠D?∠C=40°，∴∠D=120°．（3）解：五邊形ABCDE的內角和為5?2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠BCD+∠CDE=540°?∠A?∠B?∠E=540°?130°?110°?100°=200°，又∵∠BCD+∠DCF=180°，∠CDE+∠CDG=180°，∴∠DCF+∠CDG=360°?200°=160°，∵CP平分∠DCF，DP平分∠CDG，∴∠DCP=12∠DCF∴∠DCP+∠CDP=1又∵∠CPD+∠DCP+∠CDP=180°，∴∠CPD=180°?∠DCP?∠CDP=180°?80°=100°．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和、多邊形的外角、對角線以及角平分線的定義等知識點，靈活運用多邊形的內角和定理成為解答本題的關鍵．23．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數；(2)如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請直接寫出α，β所滿足的數量關系式；(3)如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關系，并說明理由．【答案】(1)105°(2)β-α=90°(3)BE∥DF，理由見解析【分析】（1）利用四邊形的內角和和平角的定義推導即可；（2）利用角平分線的定義，四邊形的內角和以及三角形的內角和轉化即可；（3）利用角平分線的定義以及平行線的判定與性質即可解答．（1）解：∵四邊形ABCD的內角和為360°，∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC=360°－（∠ABC+∠ADC），=α+β=105°；（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正確）．理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，∴12（α+β）+180°-β∴β-α=90°．故答案為β-α=90°（或α－β=－90°等均正確）；（3）解：BE∥DF．理由：如圖2，過點C作CP∥BE，則∠EBC=∠BCP，∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，∵α=β，∴∠MBC+∠NDC=2β，又∵BE、DF分別平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）=β∴∠FDC=β－∠EBC，又∵∠DCP=β－∠EBC，∴∠FDC=∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．【點睛】此題主要考查了平行線的性質及其判定、平角的定義，四邊形的內角和，三角形內角和，角平分線的定義，用整體代換的思想是解本題的關鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強訓練．24．（2022·全國·八年級課時練習）探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？(1)已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC＋∠ECD的數量關系．探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？(2)已知：如圖2，△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系．探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？(3)已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A＋∠B的數量關系．【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；(2)∠P＝90°+12∠A(3)∠P＝12（∠A+∠B【分析】（1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據三角形內角和定理整理即可得解；（2）根據角平分線的定義可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠（3）根據四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．（1）解：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A，理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；（2）解：∠P＝90°+12∠A∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PCD+∠PDC=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠ACD＝180°﹣12（180°﹣∠A＝90°+12∠A（3）解：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠BCD＝180°﹣12（360°﹣∠A﹣∠B＝12（∠A+∠B【點睛】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，四邊形的內角和定理，熟練掌握角平分線的定義及外角性質是解題的關鍵．25．（2022·全國·八年級課時練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)：小紅在數學課上學習了外角的相關知識后，她很容易地證明了三角形外角的性質，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，于是，愛思考的小紅在想，四邊形的外角是否也具有類似的性質呢？如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．∵四邊形ABCD的內角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數量關系是_________________；（2）總結歸納：如果我們把∠1，∠2稱為四邊形的外角，那么請你用文字描述上述的關系式；（3）知識應用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數；（4）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且∠CDP＝13∠CDN，∠CBP＝13∠CBM，求∠【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四邊形的相鄰的兩個外角的和等于和它不相鄰的兩個內角的和；（3）65°；（4）30°【分析】（1）根據兩個等式，利用等式性質得出∠1，∠2與∠A，∠D的數量關系；（2）仿照三角形的外角定理求解；（3）根據（1）結論，先確定∠MDA與∠DAN的和，再根據角平分線的性質，可以確定∠EDA與∠DAE的和，從而求∠E的度數；（4）先確定∠CDN與∠CBM之和，再確定∠CDP與∠CBP之和，進而確定∠ADC與∠ABP之和，再根根四邊形內角和，從而求∠P的度數．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD的內角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D，故答案為：∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）結論為：四邊形的相鄰的兩個外角的和等于和它不相鄰的兩個內角的和；（3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°，∵AE，DE分別是∠NAD和∠MDA的平分線，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°，∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°；（4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝180°，∵∠CDP＝13∠CDN，∠CBP＝13∠∴∠CDP+∠CBP＝13（∠CDN+∠CBM∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，即∠ADP+∠ABP＝240°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．【點睛】本題考查考查了三角形的綜合題，閱讀題目，理解題意是解題的關鍵．26．（2022·全國·八年級課時練習）已知MN//PQ，點B、C在MN上（B在C左側），A在PQ上，連接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于點E．(1)求∠AEB的度數；(2)若將圖1中的線段AC沿PQ向右平移到DC如圖2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于點E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，請你直接寫出∠DEB的度數：(3)若將圖1中的線段AC沿PQ向左平移到DC如圖3所示位置，其它條件與（2）相同，猜想此時∠DEB的度數又是多少．（不需要證明）【答案】(1)∠AEB=140°(2)∠DEB=140°(3)∠DEB=50°【分析】（1）先證明∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,再求解∠PAE=12×140°＝70°，可得∠BAE=∠PAE?∠PAB=10°,再求解∠ABE（2）先證明∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,可得∠PDC=140°,由DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∠ADE=1（3）先證明∠ABC=60°,∠QDC=40°,結合角平分線的定義可得∠ADE=20°,∠ABE=∠EBC=30°,如圖，過E作EK∥PQ，證明∠ADE=∠DEK=20°,再證明∠KEB=∠EBC=30°,（1）解：∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,∴∠PAC=180°-40°=140°，而AE平分∠PAC，∴∠PAE=12∴∠BAE=∠PAE?∠PAB=70°?60°=10°,∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=30°，在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，（2）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,∴∠PDC=140°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=1∴∠DEB=360°?120°?70°?30°=140°.（3）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∠ABC=60°,∠QDC=40°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=如圖，過E作EK∥∴∠ADE=∠DEK=20°,∵MN∥∴KE∥∴∠KEB=∠EBC=30°,∴∠DEB=∠DEK+∠KEB=20°+30°=50°.【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，三角形的內角和定理的應用，四邊形的內角和定理的應用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質與多邊形的內角和定理解決問題是解本題的關鍵．27．（2022·全國·八年級課時練習）閱讀并解決下列問題：（1）如圖①，ΔABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，則∠BDC=（2）如圖②，五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=72°，求圖①

圖②【答案】（1）120°；（2）144°【分析】（1）先根據三角形內角和及角平分線求出∠CBD+∠BCD=60°，然后再根據三角形內角和求出∠BDC的度數即可．（2）首先根據AE∥BC得出∠A+∠B=180°，然后根據五邊形內角和求出∠AED+∠BCD=288°，由角平分線的性質進而得出∠DEF+∠DCF=144°，再根據四邊形內角和即可求出【詳解】（1）∵BD，CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴60°+2∠CBD+2∠BCD=180°，∴∠CBD+∠BCD=60°，∵∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，∴∠BDC=120°．（2）∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，設∠AEF=∠DEF=α，∠BCF=∠DCF=β，∵AE∥BC∴∠A+∠B=180°，∵五邊形的內角和為540°，∴∠AED+∠D+∠BCD=540°?180°=360°，即2α+72°+2β=360°，

∴α+β=144°，∵∠EDC=72°，

∴∠EFC=360°?∠D?α+β【點睛】本題考查了多邊形的內角和、平行線的性質及角平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握多邊形內角和的求法及靈活運用角平分線的性質．28．（2022·湖北省直轄縣級單位·八年級期末）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們容易證明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？(1)嘗試探究：如圖2，已知：∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC＋∠ECB－∠A180°．（橫線上填＜、＝或＞）(2)初步應用：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案：∠P=．(3)解決問題：如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請利用上面的結論探究∠P與∠BAD、∠CDA的數量關系．【答案】(1)＝(2)∠P＝90°－12∠(3)∠P＝180°－12∠BAD－12∠【分析】（1）根據三角形外角的性質得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，兩式相加可得結論；（2）根據角平分線的定義得：∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，根據三角形內角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結論：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°?12（3）根據平角的定義得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分線得：∠3=12∠EBC=90°?12∠1，∠4=12∠FCB=90°?1(1)∠DBC+∠ECB-∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，故答案為：=；(2)∠P=90°-12∠A理由是：∵BP