專題19平行四邊形與多邊形（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1認識多邊形】 1【考點2多邊形的對角線】 3【考點3多邊形的內角和】 4【考點4多邊形的外角和】 4【考點5平面鑲嵌】 5【考點6平行四邊形的性質】 7【考點7平行四邊形的判定】 9【考點8利用平行四邊形的判定與性質求解】 10【考點9利用平行四邊形的判定與性質證明】 11【考點10平行四邊形的判定與性質的應用】 13【要點1多邊形的概念】平面內，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.【要點2正多邊形的概念】各個角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.【考點1認識多邊形】【例1】（2022·上海楊浦·統考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對稱圖形 B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．邊數大于3的正多邊形的對角線長都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形【變式1-1】（2022·河北·模擬預測）已知正n邊形的周長為60，邊長為a（1）當n=3時，請直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長與邊數同時增加7后，假設得到的仍是正多邊形，它的邊數為n+7，周長為67，邊長為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數，a與b一定不相等．”你認為這種說法對嗎？若不對，請求出不符合這一說法的n的值．【變式1-2】（2022·湖北武漢·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，我們把橫縱坐標均為整數的點稱為格點，若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．例如：圖中△ABC的與四邊形DEFG均為格點多邊形．格點多邊形的面積記為S，其內部的格點數記為N，邊界上的格點記為L，已知格點多邊形的面積可表示為S=N+aL+b（a，b為常數），若某格點多邊形對應的N=14，L=7，則S=（

）A．16.5 B．17 C．17.5 D．18【變式1-3】（2022·山西臨汾·統考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數學家皮克（如圖1）發現的一個計算點陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點．一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形．有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一下圖形邊線上的點的數目及圖內的點的數目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內部的點數，b任務：（1）如圖2，是6×6的正方形網格，且小正方形的邊長為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點多邊形的面積是_______．（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19，且邊界上的點數b是內部點數a的3倍，則a+b=______．（3）請你在圖3中設計一個格點多邊形．要求：①格點多邊形的面積為8；②格點多邊形是一個軸對稱圖形．【要點3多邊形的對角線】連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.從一個n邊形的某個頂點出發，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成（n-2）個三角形，共有12n（n﹣【考點2多邊形的對角線】【例2】（2022·吉林長春·校聯考一模）如圖所示的五邊形木架不具有穩定性，若要使該木架穩定，則要釘上的細木條的數量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2022·陜西渭南·統考三模）如果過某多邊形的一個頂點的對角線有5條，則該多邊形是______邊形．【變式2-2】（2022·陜西西安·二模）若一個正多邊形的半徑與它的邊長相等，則過該正多邊形的一個頂點的對角線有______條．【變式2-3】（2022·江蘇南通·?？寄M預測）連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．（1）對角線條數分別為、、、．（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數n的值；如果不可以，請說明理由．（3）若一個n邊形的內角和為1800°，求它對角線的條數．【要點4多邊形的內角和】n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．【考點3多邊形的內角和】【例3】（2022·福建廈門·校考一模）一個多邊形除了一個內角外，其余各內角的和為2010°，則這個內角是（

）A．20° B．120° C．150° D．200°【變式3-1】（2022·江蘇徐州·統考中考真題）正十二邊形每個內角的度數為．【變式3-2】（2022·廣西玉林·統考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是(

)A．4 B．23 C．2 【變式3-3】（2022·上?！そy考中考真題）有一個正n邊形旋轉90°后與自身重合，則n為（

A．6 B．9 C．12 D．15【要點5多邊形的外角和】在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.【考點4多邊形的外角和】【例4】（2022·河北石家莊·統考二模）如圖，六邊形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點A．55° B．56° C．57° D．60°【變式4-1】（2022·云南昆明·統考一模）小麗利用學習的數學知識，給同伴出了這樣一道題：假如從點A出發，如圖所示，沿直線走6米后向左轉θ，接著沿直線前進6米后，再向左轉θ……如此走法，當她第一次走到A點時，發現自己走了72米，θ的度數為（

）A．30° B．32° C．35° D．36°【變式4-2】（2022·河北·統考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數分別為α，β，則正確的是（

）A．α?β=0 B．α?β<0C．α?β>0 D．無法比較α與β的大小【變式4-3】（2022·貴州安順·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為2的正六邊形OABCDE繞點O順時針旋轉n個45°，得到正六邊形OAnBnCnDnEA．?3,?3 B．?3,?3 C．3,?【考點5平面鑲嵌】【例5】（2022·廣西貴港·統考一模）單獨使用下面形狀的五種地地磚：①等邊三角形②正方形③正五邊形④正六邊形⑤正八邊形.能鑲嵌（密鋪）地面的是（

）A．③④⑤ B．①②④ C．②④⑤ D．①③④【變式5-1】（2022·山東濟寧·統考二模）小芳家房屋裝修時，選中了一種漂亮的正八邊形地磚．建材店老板告訴她，只用一種八邊形地磚是不能密鋪地面的，便向她推薦了幾種形狀的地磚．你認為要使地面密鋪，小芳應選擇另一種形狀的地磚是(

)A． B． C． D．【變式5-2】（2022·河北·統考三模）用4個全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1，用n個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則n的值為__________．【變式5-3】（2022·山東淄博·統考一模）如圖，是某廣場用地板鋪設的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚，從里向外的第一層包括6個正方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，以此類推，第9層中含有正三角形個數是_____．【要點6平行四邊形的性質】（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【考點6平行四邊形的性質】【例6】（2022·遼寧朝陽·統考中考真題）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【變式6-1】（2022·廣東廣州·統考中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD=22，則△BOC的周長為________【變式6-2】（2022·遼寧·統考中考真題）在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點P為射線CD上的動點（點P不與點D重合），連接AP，過點P作EP⊥AP交直線BD于點E．(1)如圖①，當點P為線段CD的中點時，請直接寫出PA，PE的數量關系；(2)如圖②，當點P在線段CD上時，求證：DA+2DP＝DE；(3)點P在射線CD上運動，若AD＝32，AP＝5，請直接寫出線段BE的長．【變式6-3】（2022·貴州貴陽·統考中考真題）小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點M在AD邊上，且BA=BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得(1)問題解決：如圖①，當∠BAD=60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則AMAN(2)問題探究：如圖②，當∠BAD=45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數，并求出此時(3)拓展延伸：當∠BAD=30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根據題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．【要點7平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【考點7平行四邊形的判定】【例7】（2022·山東臨沂·統考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對角線BE上的兩點，添加下列條件中的一個：①BM=EN；②∠FAN=∠CDM；③AM=DN；④∠AMB=∠DNE．能使四邊形AMDN是平行四邊形的是__________（填上所有符合要求的條件的序號）．【變式7-1】（2022·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式7-2】（2022·寧夏·中考真題）如圖，是邊長為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點在格點上．建立平面直角坐標系，使點A、B的坐標分別為2,1和?1,3．(1)畫出該平面直角坐標系xOy；(2)畫出線段AB關于原點O成中心對稱的線段A1(3)畫出以點A、B、O為其中三個頂點的平行四邊形．（畫出一個即可）【變式7-3】（2022·內蒙古鄂爾多斯·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2經過A（?12，0），B（3，72）兩點，與y(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；(3)拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【考點8利用平行四邊形的判定與性質求解】【例8】（2022·寧夏銀川·?？既＃┮阎喝鐖D，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P從點B出發，沿BC向點C勻速運動，速度為1cm/s，過點P作PD∥AB，交AC于點D．同時，點Q從點A出發，沿AB向點B勻速運動，速度為2cm/s．當一個點停止運動時，另一個點也停止運動，連接PQ．設運動時間為t（s）（(1)當t為何值時，四邊形ADPQ為平行四邊形？(2)設四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S四邊形ADPQ:S△PQB【變式8-1】（2022·福建泉州·統考模擬預測）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，將△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度α（45°<α≤90°）得到△ADE，點B、C的對應點分別是D(1)用含α的代數式表示∠AGC的度數；(2)當AE∥BD時，求【變式8-2】（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=2,AD=3，點E為邊BC上一點，將△DCE沿DE翻折，點C的對應點為點F，過點F作DE的平行線交AD于點G，交直線BC于點H．若點G是邊AD的三等分點，則【變式8-3】（2022·湖北鄂州·統考中考真題）如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ=60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=243，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．2413 B．2415 C．1213 D．1215【考點9利用平行四邊形的判定與性質證明】【例9】（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集團（總校）校聯考模擬預測）如圖在正六邊形ABCDEF中，P是AB邊上一點，PM∥AF交EF于M，PN∥BC交(1)求∠MPN的度數；(2)記AB=a，PM=m，PN=n．求證：m+n=3a；(3)連結FD，MN，若PNPM=5【變式9-1】（2022·重慶·?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線(1)基本尺規作圖：過點B作BE⊥AC于點E，再在AC上截取CF=AE．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接DE、DF、BF，猜想四邊形BEDF的形狀，將下面的推理過程補充完整．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，______，∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，AB=DC∴△ABE≌△CDF（

），∴BE=DF，∠BEA=∠DFC．∴∴__________________．∴四邊形DEBF是______________．【變式9-2】（2022·浙江溫州·溫州市第三中學校考模擬預測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AD，BC為邊向外構造等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，BD．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形．(2)若AD與BE交于點G，且AD=BD，∠DFB=45°，BG=2，求△BDG【變式9-3】（2022·浙江溫州·統考二模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠ACB的平分線分別交AB于點D．交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線，交CE的平行線AF于點F．(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形．(2)若tan∠CAB＝23，AF＝5，求四邊形ADEF【考點10平行四邊形的判定與性質的應用】【例10】（2022·河南駐馬店·統考模擬預測）鄭州的發展離不開火車技術的進步，鄭州北站是全亞洲最大的貨運鐵路編組站，最早的火車靠燃燒化學燃料推動蒸汽機為火車提供前進的動力，這時火車被稱為蒸汽機車，下圖是為蒸汽機車提供動力的車輪組，將其簡化后得到圖1，MN為活塞連桿，會從發動機FGDE中伸出縮回做往復運動，N