2022年湖南省湘西州中考數學試卷

一、選擇題（本大題10小題，每小題4分，共40分，請將每個小題所給四個選項中唯一正確選項的代號

填涂在答題卡相應的位置上）

1.在實數-5,0,3,1中，最大的實數是（）

3

A.3B.0C.-5D.A

3

2.如圖是由5個大小相同的正方體搭成的幾何體，則這個幾何體的主視圖是（）

3.據統計，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州學業水平考試九年級考生報名人數約為35000人，其中數

據35000用科學記數法表示為（）

A.35X10：'B.0.35X105C.350X102D.3.5X10’

4.下列書寫的4個漢字中，可以看作軸對稱圖形的是（）

漫我

中.華

5.“青年大學習”是共青團中央為組織引導廣大青少年，深入學習貫徹習近平新時代中國特色社會主義思

想的青年學習行動.某校為了解同學們某季度學習“青年大學習”的情況，從中隨機抽取5位同學，經

統計他們的學習時間（單位：分鐘）分別為：78,80,85,90,80.則這組數據的眾數為（）

A.78B.80C.85D.90

6.一個正六邊形的內角和的度數為（）

A.1080°B.720°C.540°D.360°

7.下列運算正確的是（）

A.3a-2a=aB.（a，）

C.2遙-遍=2D.（a-1）2=a2-1

8.要使二次根式怎石有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2C.*W2D.x22

9.如圖，菱形/靦的對角線IC、即相交于點0,過點。作力AL48于點〃，連接。/,0//=A,若菱形A8C0

的面積為32a，則繆的長為（）

A.4B.4禽C.8D.8M

10.如圖，在RtZ\4?C中，N/=90°,M為8。的中點，〃為48上一點，過點。作CG〃4?,交4y的延長線

于點G,若仍=6,則四邊形/OG〃周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分，請將正確答案填寫在答題卡相應的橫線上）

11.2022的相反數是.

12.如圖，直線a〃6，點。、/分別在直線a、6上，ACLBC,若Nl=50°,則/2的度數為

14.因式分解：，+3m=.

15.在一個不透明的袋中，裝有五個除數字外其它完全相同的小球，球面上分別標有1、2、3、4、5這5

個數字.從袋中任意摸出一個小球，則球面上數字為奇數的概率是.

16.在平面直角坐標系中，已知點0（-3,5）與點0（3,加-2）關于原點對稱，則〃=.

17.閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數學定理，運用它可以解決一類

已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是這樣描述的：在中，N/、

乙B、/C所對的邊分別為a、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這

兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：-2bccosA

Z/na'c，-2accosB

c—a+lf-2azlcosC

現己知在中，49=3,4C=4,/4=60°,則8C=.

18.已知二次函數y=-/+4x+5及一次函數尸-x+6,將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸

下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象(如圖所示)，當直線y=-廣6與新圖象有4個交點時，b

的取值范圍是.

三、解答題(本大題共8小題，共78分，每個題目都要求在答題卡的相應位置寫出計算、解答或證明的主

要步驟)

19.(8分)計算：A/16-2tan45°+|-3|+(n-2022)

20.(8分)解不等式組：［3x46+x①

Ix-l43(x+1)②

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得.

(II)解不等式②，得.

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

-4-3-2-101234

(W)所以原不等式組的解集為.

21.(8分)如圖，在矩形46(/中，￡為18的中點，連接位并延長，交物的延長線于點?

(1)求證：△457%△做C

(2)若￡?=4,/尸=30°,求儀'的長.

22.(10分)如圖，一次函數y=a肝1(a#0)的圖象與x軸交于點出與反比例函數y=區的圖象在第一象

x

限交于點6(1,3),過點6作aLx軸于點C

(1)求一次函數和反比例函數的解析式.

23.(10分)4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發,

讓人滋養浩然正氣”.某校響應號召，開展了“讀紅色經典，傳革命精神”為主題的讀書活動，學校對本

校學生五月份閱讀該主題相關書籍的讀書量進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取的學生的讀書量(單

位：本)進行了統計.根據調查結果，繪制了不完整的統計表和扇形統計圖.

(1)本次調查共抽取學生多少人？

(2)表中a的值為,扇形統計圖中“3本”部分所對應的圓心角B的度數為.

(3)已知該校有3000名學生，請估計該校學生中，五月份讀書量不少于“3本”的學生人數.

讀書量1本2本3本4本5本

人數10人25人30人a15人

24.(10分)為了傳承雷鋒精神，某中學向全校師生發起“獻愛心”募捐活動，準備向西部山區學校捐贈籃

球、足球兩種體育用品.己知籃球的單價為每個100元，足球的單價為每個80元.

(1)原計劃募捐5600元，全部用于購買籃球和足球，如果恰好能夠購買籃球和足球共60個，那么籃球

和足球各買多少個？

(2)在捐款活動中，由于師生的捐款積極性高漲，實際收到捐款共6890元，若購買籃球和足球共80個，

且支出不超過6890元，那么籃球最多能買多少個？

25.(12分)如圖，在Rt△力比'中，N8=90°,4E平分NBAC交BC干點、E,。為絲上一點，經過點從E

的。。分別交AB、AC于點D、F,連接勿交小于點M.

(1)求證：a1是。。的切線.

(2)若"'=2,sinC=3,求的長.

5

26.(12分)定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月

牙線”，如圖①，拋物線Gy=f+2x-3與拋物線處尸aV+2a產c組成一個開口向上的“月牙線”，拋

物線G和拋物線G與x軸有著相同的交點/(-3,0)、6(點占在點/右側)，與y軸的交點分別為優

H(0,-1).

(1)求拋物線G的解析式和點G的坐標.

(2)點M是x軸下方拋物線G上的點，過點M作用Ux軸于點兒交拋物線C于點。，求線段,則與線

段例/的長度的比值.

(3)如圖②，點后是點"關于拋物線對稱軸的對稱點，連接如，在x軸上是否存在點凡使得△笈%是

以房為腰的等腰三角形？若存在，請求出點廠的坐標；若不存在，請說明理由.

一、選擇題（本大題10小題，每小題4分，共40分，請將每個小題所給四個選項中唯一正確選項的代號

填涂在答題卡相應的位置上）

1.在實數-5,0,3,1中，最大的實數是（）

3

A.3B.0C.-5D.A

3

【分析】利用實數大小比較的法則將各數按從小到大排列后即可得出結論.

【解答】解：將各數按從小到大排列為：-5,0,1,3,

3

最大的實數是3,

故選：A.

【點評】本題主要考查了實數大小的比較，利用實數大小比較的法則將各數按從小到大排列是解題的關

鍵.

2.如圖是由5個大小相同的正方體搭成的幾何體，則這個幾何體的主視圖是（）

正面

【分析】根據主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形即可.

【解答】解：從正面看該組合體，一共有三列，從左到右小正方形的個數分別為1、3、1.

故選：C.

【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握主視圖的畫法是正確判斷的關鍵.

3.據統計，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州學業水平考試九年級考生報名人數約為35000人，其中數

據35000用科學記數法表示為（）

A.35X10：'B.0.35X1（/C.350X102D.3.5X10'

【分析】科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中lW|a|V10,〃為整數.確定〃的值時，要看把

原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值》10時，n

是正整數；當原數的絕對值<1時，〃是負整數.據此解答即可.

【解答】解:35000=3.5X101.

故選：D.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中

〃為整數，表示時關鍵要確定a的值以及〃的值.

4.下列書寫的4個漢字中，可以看作軸對稱圖形的是（）

<我

A.B,

中華

C.ID.L

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：A,B,〃選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對稱圖形；

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

5.“青年大學習”是共青團中央為組織引導廣大青少年，深入學習貫徹習近平新時代中國特色社會主義思

想的青年學習行動.某校為了解同學們某季度學習“青年大學習”的情況，從中隨機抽取5位同學，經

統計他們的學習時間（單位：分鐘）分別為：78,80,85,90,80.則這組數據的眾數為（）

A.78B.80C.85D.90

【分析】一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數，根據概念解答即可.

【解答】解：這組數據中80出現2次，出現的次數最多，

所以這組數據的眾數是80,

故選：B.

【點評】本題主要考查眾數，求一組數據的眾數的方法：找出頻數最多的那個數據，若幾個數據頻數都

是最多且相同，此時眾數就是這多個數據.

6.一個正六邊形的內角和的度數為（）

A.1080°B.720°C.540°D.360°

【分析】利用多邊形的內角和定理解答即可.

【解答】解：一個正六邊形的內角和的度數為：（6-2）X1800=720°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了多邊形的內角和，利用多邊形的內角和定理解答是解題的關鍵.

7.下列運算正確的是（）

A.3a-2a=aB.（a）2=a

C.2代-遍=2D.（a-1）2=a-1

【分析】從根據合并同類項的法則計算判斷即可：氏根據累的乘方運算法則計算判斷即可；G根據二

次根式的加減運算法則計算判斷即可；以根據完全平方公式計算即可.

【解答】解：從原式=a,正確，符合題意；

B、原式=a'，錯誤，不合題意；

a原式=收，錯誤，不合題意；

D、原式=a,-2a+l,錯誤，不合題意；

故選：A.

【點評】此題考查的是完全平方公式、合并同類項、塞的乘方與積的乘方、二次根據的加減法，掌握它

們的運算法則是解決此題的關鍵.

8.要使二次根式總。■有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2C.x^2D.x22

【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數是非負數即可得出答案.

【解答】解：；3x-620,

；.x22,

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數是非負數是解題的

關鍵.

9.如圖，菱形/式》的對角線/，、勿相交于點。，過點〃作以叱48于點〃，連接力/,必=4,若菱形/靦

的面積為32日，則切的長為（）

A.4B.473C.8D.8禽

【分析】（1）在Rt△應羽中先求得外的長，根據菱形面積公式求得力C長，再根據勾股定理求得必長.

【解答】解：；

:"BHQ9Q。,

?..四邊形486?是菱形，

：.OB=OD,OC=OA=1.^,ACVBD,

：.OII=OB=OD=L^Q（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），

：.0D=4,BD=8,

由，■AOBDMBZF得，

/X8?AC=32代，

：.AC=8\[^,

CD=VOC2+OD2=8，

故答案為：c.

【點評】本題考查了菱形性質，直角三角形性質，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是先求得切的長.

10.如圖，在中，N4=90°，材為8。的中點，〃為4?上一點，過點，作偌〃49,交的延長線

于點G,若〃^8,48=6,則四邊形4口〃周長的最小值是（）

A

MC

B

G

A.24B.22C.20D.18

【分析】通過證明蛇△。布可得加=CG,可得四邊形/C0/的周長即為/班/367/,進而可確定當物/

,46時，四邊形力創的周長有最小值，通過證明四邊形月她為矩形可得價的長，進而可求解.

【解答】W：-：CG//AB,

：.NB=ZMCG,

是歐的中點，

在△8眼和△&,始中，

，ZB=ZMCG

,BM=CM，

ZBMH=ZCMG

(ASA),

：.W=GM,BH=CG,

?.36=6,AC=8,

，四邊形4Q7/的周長=AC+CG^-A/f^G//=A^-AC+GH=14+GII,

：.當G〃最小時，即秘54?時四邊形47G〃的周長有最小值，

：//=90°,MHLAB,

：.GH//AC,

四邊形ICG//為矩形，

.,.陽=8,

四邊形4a弟的周長最小值為14+8=22,

故選：B.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質，確定。/的值是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，共32分，請將正確答案填寫在答題卡相應的橫線上)

11.2022的相反數是-2022.

【分析】直接利用只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，即可得出答案.

【解答】解：2022的相反數是：-2022.

故答案為：-2022.

【點評】此題主要考查了相反數，正確掌握相反數的定義是解題關鍵.

12.如圖，直線a〃4點G/分別在直線a、6上，ACLBC,若Nl=50°,則N2的度數為40°.

B

2c

【分析】利用平行線的性質定理和垂直的意義解答即可.

【解答】解：如圖,

B

9：ACA.Ba

???N2+N3=90°,

■:a//b,

???N1=N3=5O°.

???N2=90°-Z3=40°.

故答案為：40。.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，垂直的意義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

13.計算：1.

X-lX-1

【分析】由于兩分式的分母相同，分子不同，故根據同分母的分式相加減的法則進行計算即可.

【解答】解：原式=二1

故答案為：1.

【點評】本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減.

14.因式分解：消+3小=m（加3）.

【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.

【解答】解：原式=/〃（〃升3）.

故答案為：m（研3）.

【點評】此題考查的是提公因式法分解因式，能夠得到公因式是解決此題的關鍵.

15.在一個不透明的袋中，裝有五個除數字外其它完全相同的小球，球面上分別標有1、2、3、4、5這5

個數字.從袋中任意摸出一個小球，則球面上數字為奇數的概率是3.

一5一

【分析】用袋中奇數的個數除以數的總個數即為所求的概率.

【解答】解：?.?共有5個數字，這5個數字中是奇數的有：1、3、5共3個,

...從中任摸一個球，球面數字是奇數的概率是3.

5

故答案為：3.

5

【點評】本題考查了用列舉法求概率，解題的關鍵是熟練掌握概率公式，一般地，如果在一次試驗中，

有〃種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件1包含其中的"種結果，那么事件4發生的概

率為尸（/）=如且0〈尸（4）<1.

n

16.在平面直角坐標系中，已知點P（-3,5）與點0（3,2）關于原點對稱，則m=-3.

【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x,y）,關于原點的對稱點是（-X,-y）,即求關于原點的對

稱點時，橫、縱坐標都變成原數的相反數.

【解答】解：根據兩個點關于原點對稱，則橫、縱坐標都是原數的相反數，

得勿-2=-5,

m=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題主要考查了平面直角坐標系內兩點關于原點的對稱點時，橫、縱坐標都變成原數的相反數,

難度適中.

17.閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數學定理，運用它可以解決一類

已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是這樣描述的：在△48C中，N4

4B、/C所對的邊分別為a、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這

兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：a2—lf+c:-2bccosA

lf=a2+c-2accosB

c'—a2+tf-2aAeosC

現己知在中，49=3,4C=4,/4=60°,貝（j

【分析】從閱讀可得：-2AB-AOCOsA,將數值代人求得結果.

【解答】解：由題意可得，

BG=A戌+AC-2AB?AC'cosA

=32+42-2X3X4?cos60°

=13,

:.BC=〃,

故答案為：y/13-

【點評】本題考查了閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數值等知識，解決問題的關鍵是公式的具體情景

運用.

18.已知二次函數y=-丁+4戶5及一次函數y=-x+b,將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸

下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象(如圖所示)，當直線尸-廣，與新圖象有4個交點時，b

的取值范圍是.

【分析】解方程-丁+4戶5=0得4(-1,0),B(5,0),再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為y

=(x+1)(x-5),即y=7-4x-5(-然后求出直線y=-x^b經過點>1(-1,0)時b的

值和當直線p=-戶b與拋物線y=f-4x-5(-1WXW5)有唯一公共點時6的值，從而得到當直線y

=-廣。與新圖象有4個交點時，6的取值范圍.

【解答】解：如圖，當尸0時，-步+4/5=0,解得小=-1,上2=5,則4(-1,0),B(5,0),

將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為夕=(矛+1)(x-5),

即y=x-4x-5(-1WxW5),

當直線y=~A+6經過點4(-1,0)時，1+6=0,解得b=-1；

當直線y=-廣6與拋物線尸V-4x-5(-1WxW5)有唯一公共點時，方程x-\x-5=-吐6有相等

的實數解，解得人=-2i,

4

所以當直線y=-戶6與新圖象有4個交點時，b的取值范圍為-21<b<-1.

4

故答案為：

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=af+6底c(a,b,c是常數，aAO)與x軸

的交點坐標問題轉化為解關于X的一元二次方程.也考查了二次函數圖象與幾何變換.

三、解答題(本大題共8小題，共78分，每個題目都要求在答題卡的相應位置寫出計算、解答或證明的主

要步驟)

19.(8分)計算：Vl6-2tan45°+-3|+(-2022)

【分析】先計算開方、絕對值、零指數基、特殊的三角函數值，再合并即可.

【解答】解：原式=4-2X1+3+1

=4-2+3+1

=6.

【點評】此題考查的是實數的運算，掌握其運算法則是解決此題的關鍵.

①

20.(8分)解不等式組:(3x46+x

Ix-l<3(x+1)②

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得后3.

(II)解不等式②，得X2-2.

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來;

IIIIIIIII>

一4一3—2—101234

(IV)所以原不等式組的解集為-2<后3.

【分析】按照解?元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

【解答】解:(3x46+x①

Ix-l43(x+1)②

(I)解不等式①，得;<3,

(II)解不等式②，得X2-2,

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來:

(IV)所以原不等式組的解集為-2WxW3,

故答案為：(I)xW3；

(II)在-2；

(III)數軸表示見解答；

(IV)-2WA<3.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組

是解題的關鍵.

21.（8分）如圖，在矩形46切中，6為46的中點，連接應并延長，交的的延長線于點反

(1)求證：/\AE恒XBEC.

（2）若切=4,N尸=30°，求〃l的長.

【分析】（1）先根據矩形性質得出然后證得/尸=/8龍，再根據/MS即可證明：△AEEXBEC；

（2）根據矩形的性質得出N9=90°,然后根據/產=30°得出g25即可解答.

【解答】（1）證明：???四邊形/版是矩形,

：.AD//BC,

：./F=/BCE,

是四中點,

：.AE=EB,

,/4AEF=4BEC,

：./\AEF^/\BEC(A4S)；

(2)解：；四邊形/閱9是矩形,

AZP=90°,

：34,/尸=30°,

2G9=2X4=8,

即"1的長為8.

【點評】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定

和性質等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

22.（10分）如圖，一次函數夕=2肝1（aWO）的圖象與x軸交于點4與反比例函數尸區的圖象在第一象

x

限交于點8（1,3）,過點6作SULx軸于點C.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式.

(2)求△4?。的面積.

【分析】(1)利用待定系數法解答即可；

(2)利用直線的解析式求得點1坐標，利用坐標表示出線段。，園的長度，利用三角形的面積公式解

答即可.

【解答】解：(1)???一次函數y=a肝1(aWO)的圖象經過點6(1,3),

a=2.

，一次函數的解析式為尸2a1,

?.?反比例函數y=K的圖象經過點6(1,3),

X

???4=1X3=3,

...反比例函數的解析式為尸旦.

X

(2)令y=O,則2戶1=0,

?\x=—

2

：.A(-A,0).

2

OA=1.

2

?.?比2*軸于點GB(1,3),

：.0C=1,BC=3.

/.AC-^--LI=W-.

22

△力6c的面積=工X0OBC=9.

24

【點評】本題主要考查了待定系數法確定函數的解析式，一次函數圖象的性質，一次函數圖象上點的坐

標的特征，反比例函數的性質，反比例函數圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長

度是解題的關鍵.

23.（10分）4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發,

讓人滋養浩然正氣”.某校響應號召，開展了“讀紅色經典，傳革命精神”為主題的讀書活動，學校對本

校學生五月份閱讀該主題相關書籍的讀書量進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取的學生的讀書量（單

位：本）進行了統計.根據調查結果，繪制了不完整的統計表和扇形統計圖.

（1）本次調查共抽取學生多少人？

（2）表中a的值為20,扇形統計圖中“3本”部分所對應的圓心角P的度數為108°

（3）已知該校有3000名學生，請估計該校學生中，五月份讀書量不少于“3本”的學生人數.

讀書量1本2本3本4本5本

人數10人25人30人a15人

【分析】（1）由2本人數及其所占百分比可得總人數；

（2）用總人數分別減去其它讀書量人數即可得出a的值；用3600乘“3本”所占百分比即可得出扇形

統計圖中“3本”部分所對應的圓心角B的度數；

（3）總人數乘以樣本中“讀書量”不少于3本的學生人數所占百分比即可.

【解答】解：（1）抽樣調查的學生總數為：254-25%=100（人），

答：本次調查共抽取學生100人；

（2）a=100-10-25-30-15=20；

扇形統計圖中“3本”部分所對應的圓心角6的度數為：360°X型=108°,

100

故答案為:20；108°；

（3）3000X30+20+15=1950（人），

100

答：估計該校學生中，五月份讀書量不少于“3本”的學生人數為1950人.

【點評】本題考查了扇形統計圖的綜合運用以及用樣本估計總體，從統計圖中得到必要的信息是解決問

題的關鍵，扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

24.（10分）為了傳承雷鋒精神，某中學向全校師生發起“獻愛心”募捐活動，準備向西部山區學校捐贈籃

球、足球兩種體育用品.已知籃球的單價為每個100元，足球的單價為每個80元.

(1)原計劃募捐5600元，全部用于購買籃球和足球，如果恰好能夠購買籃球和足球共60個，那么籃球

和足球各買多少個？

(2)在捐款活動中，由于師生的捐款積極性高漲，實際收到捐款共6890元，若購買籃球和足球共80個，

且支出不超過6890元，那么籃球最多能買多少個？

【分析】(1)設原計劃籃球買x個，則足球買y個，根據：“恰好能夠購買籃球和足球共60個、原計劃

募捐5600元”列方程組即可解答；

(2)設籃球能買a個，則足球(80-a)個，根據“實際收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答.

【解答】解：(1)設原計劃籃球買x個，則足球買y個，

根據題意得：卜4V=60,

I100x+80y=5600

解得：卜“O.

ly=20

答：原計劃籃球買40個，則足球買20個.

(2)設籃球能買a個，則足球(80-a)個，

根據題意得：100a+80(80-a)W6890,

解得：aW24.5,

答：籃球最多能買24個.

【點評】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式的應用，解決本題的關鍵是根據題意列出方程組

和不等式.

25.(12分)如圖，在RtZs/比■中，/8=90°,AE平分NBAC交BC干點、E,〃為｛。上一點，經過點4、E

的。。分別交被“于點〃、F,連接勿交然于點M

(1)求證：8c是。。的切線.

(2)若CF=2,sinC-旦，求熊的長.

5

【分析】(1)連接OE,方法一：根據角平分線的性質及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出/雙'=

90°即可;

方法二：根據角平分線的性質和等腰三角形的性質得出NO￡U=90°即可；

(2)連接即根據三角函數求出和半徑的長度，再利用三角函數求出力總的長即可.

【解答】(1)證明：連接應；

方法一：?:AE平分/BAC交BC于點、E,

：.ZBAC=2Z0AE,

,:乙FOE=2乙OAE,

：.ZFOE=ABAC,

???OE//AB,

VZ5=90°,

???OELBC,

又;絲是。。的半徑，

???歐是。。的切線；

方法二「：AE平分/BAC交BC于點、E,

：.ZOAE=ZBAE,

‘：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

:"BAE=/OEA,

：.0E〃AB,

'：ZB=90°,

???OELBC,

又???利是。。的半徑，

???8C是。〃的切線；

(2)解：連接

A

1BE