衡陽(yáng)市八中2024屆高三第2次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：本試卷滿分為150分，時(shí)量為120分鐘一?單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1Ax0x2,Bxx2AB1.若集合，則（）x0x1x1xA.C.B.D.x0x2xx0x或12i2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()4343550,1,,A.B.C.D.55x)(xx)，有2f(x)f(x)0，則x213.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的，21121（ff(2)fff(2)ffff(2)A.B.D.f(2)ffC.的公差為，前項(xiàng)和為，則d0是SnS”的（n）anSS2nS2n4.已知等差數(shù)列dn“”“3nA充分不必要條件C充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件5.某校高三有1000人參加考試，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105，σ2)，且成績(jī)優(yōu)良（不低于120分）的人數(shù)為360，則此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)及格（不低于90分）的人數(shù)約為（）A.360B.640C.720D.780x22y21a3的左、右焦點(diǎn)分別為F1F2，A為上頂點(diǎn)，若1F的面積為3，則26.橢圓，a3F的周長(zhǎng)為（）12A.8B.7C.6D.5第1頁(yè)/共6頁(yè)axxfx0（其中ea使得恒成fxaxe7.設(shè)函數(shù)x立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）11e,,AeB.21ee2,,C.D.28.如圖，在三棱錐S中，SASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是S2，則三棱錐外接球的表面積是（）43A.12πB.4πC.43πD.π3二多選題（本大題共小題，每題分，共20分）?459.已知向量ab(2,4)，則下列結(jié)論正確的是（）.|2ab10B.A.(ab)aC.向量a,b的夾角為D.b在a方向上的投影向量是10a4的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，1，annSn01nn1aa10.設(shè)等比數(shù)列7，則下列選項(xiàng)正確的是（）1a0為遞減數(shù)列1SaSA.B.nT1nn時(shí)，的最小值為4047C.當(dāng)n時(shí)，T最小D.當(dāng)n，則（）fxcos2x2sinx11.已知函數(shù)62A.函數(shù)在區(qū)間fx,上單調(diào)遞增第2頁(yè)/共6頁(yè)B.直線x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸fx23C.函數(shù)fx2最多有8個(gè)根，且這些根之和為8πfxax2πD.方程l:ykx2交軸于點(diǎn)P，圓yM:x22y1，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分212.已知直線別為A，B，直線AB與交于點(diǎn)C，則（）15A.若直線l與圓M相切，則k15B.當(dāng)k2時(shí)，四邊形的面積為219C.直線AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)74Q,0CQ為定值D.已知點(diǎn)，則三填空題（本大題共題，每小題分，共20分）?4513.在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)e2.71828．小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有______個(gè)．1fxxae14.曲線xf0yxa垂直，則______.在點(diǎn)處的切線與直線215.底面ABCD為菱形且側(cè)棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若CG3FBEG的體積為_(kāi)_________..則三棱雃x軸的直線l:yay2xy2x1和的圖像交于點(diǎn)A，B，若函數(shù)16.設(shè)a0，平行于分別與函數(shù)y2x的圖像上存在點(diǎn)C，滿足為等邊三角形，則a_________．四?解答題（本大題共6小題，共70分）第3頁(yè)/共6頁(yè)，ABAC1且cb．317.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為2（1）求角A的大小；3（2）設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且，求a的長(zhǎng)度．218.某工藝品加工廠加工某工藝品需要經(jīng)過(guò)a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序31212加工合格率分別為，，．三道工序都合格的工藝品為特等品；恰有兩道工序合格的工藝品為一等4品；恰有一道工序合格的工藝品為二等品；其余為廢品．（1）求加工一件工藝品不是廢品的概率；（2）若每個(gè)工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠虧損100元，記一件工藝品經(jīng)過(guò)三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．B=90°，AB22，ACD為等邊三角形，O為AC邊的19.在圖1中，為等腰直角三角形，EC2BE中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將ACD進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得4．．（1）證明：平面（2）求二面角EFAC的余弦值．滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列．已知數(shù)列中，19，點(diǎn)An1n2Anan20.若數(shù)列nan,an1在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，其中n為正整數(shù)，（1）證明：數(shù)列a1是“平方遞推數(shù)列，且數(shù)列a1為等比數(shù)列；nna,ab,a*bba1,c2n4db*c的前項(xiàng)和d，求數(shù)列n（2）設(shè)，定義，且記nnnnnnnb,ab,S．n第4頁(yè)/共6頁(yè)x22y221ab0的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F，A，Bb，1，點(diǎn)21.已知雙曲線C:abM在線段AB上，且滿足3，直線OM的斜率為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程.（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Qx兩點(diǎn)，在軸上是否存在與不同的定點(diǎn)，使得FEEPFQEQFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1x，a0.fxxax22.已知函數(shù)（1）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；fx（2）若恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)x.12fxt,t,ttt2tx,xx1231312fxfx0（ⅰ）證明：；12m1memnmmnnnn1（ⅱ）若，且，證明：.ttt123第5頁(yè)/共6頁(yè)衡陽(yáng)市八中2024屆高三第2次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：本試卷滿分為150分，時(shí)量為120分鐘一?單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1Ax0x2,Bxx2AB1.若集合，則（）x0x1x1xA.C.B.D.x0x2xx0x或【答案】A【解析】【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求兩個(gè)集合的交集.x1x1，1解得1x1，則B【詳解】不等式x2Ax0xABx0x1，又，所以故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)12i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()435543550,1,,A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).2i2i112i2ii【詳解】，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．5故選：Af(x)f(x)xx)(xx)，有2210，則3.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的，12121（ff(2)fff(2)fB.A.第1頁(yè)/共27頁(yè)f(2)fffff(2)D.C.【答案】A【解析】f1f2x1x2[0∞)(x≠x)<0f(x)在[0∞)1212ff(2)f(2)f，選A.點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小，要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進(jìn)行的公差為，前項(xiàng)和為，則d0是SnS”的（n）anSS2nS2n4.已知等差數(shù)列dn“”“3nA.充分不必要條件C.充分必要條件【答案】CB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】n【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)公式，分別從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以andnn2n(2nnnSSnad21d1d，3n2n12222n(2nn(nnnSS2nad1d1d，2nn1222SS(SS)n2d所以，3n2n2nn若等差數(shù)列的公差d0SSSS，則n2d0，所以，故充分性成立；3n2n2nnanSSSSSS(SS)n2d0，所以，故必要性成立，d0若，則3n2n2nn3n2n2nn所以“d0”是“故選：C.SSSS”3n2n2nn5.某校高三有1000人參加考試，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105，σ2)，且成績(jī)優(yōu)良（不低于120分）的人數(shù)為360，則此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)及格（不低于90分）的人數(shù)約為（）A.360B.640C.720D.780【答案】B【解析】第2頁(yè)/共27頁(yè)【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)可解.360640P(X90)P(X120)P(X90)1P(X90)【詳解】因?yàn)?，所以，所以此次?0001000640試數(shù)學(xué)成績(jī)及格（不低于90分）的人數(shù)約為1000故選：B640.1000x22y21a3的左、右焦點(diǎn)分別為F1F2，A為上頂點(diǎn)，若1F的面積為3，則26.橢圓，a3F的周長(zhǎng)為（）12A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓的半焦距為，由條件利用表示△F的面積，由條件列方程求，再由關(guān)系求a,b,cccc12AF，由此可求21F的周長(zhǎng).2aAF，根據(jù)橢圓定義求1x22y21a3的半短軸長(zhǎng)為，半焦距為，bc【詳解】設(shè)橢圓a31SFFbc3，AF12的面積12則b2由題知c3，所以c1，abAFAF2a42c2，2FF2c2，由橢圓的定義知，又1212所以△F的周長(zhǎng)為426.12故選：C.axxfx0（其中ea使得恒成fxaxe7.設(shè)函數(shù)x立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）11e,,A.B.e21ee2,,C.D.2【答案】A第3頁(yè)/共27頁(yè)【解析】exxxex)(a)0gx,h(x)ygx和函數(shù)yhx(axxxxyaya下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，即可得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,)，fxexx由fx0(axex)axx0，所以(a)(a)0，，得xxxex令g(x),h(x)，xxygx和函數(shù)yhx的圖象，一個(gè)在直線yaya上方，一個(gè)在直下方，等價(jià)由題意知，函數(shù)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，x1xg(x)(x0)g(x)，得由，xx2x0,e時(shí)，gxgx所以當(dāng)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，x(e,)gxgx當(dāng)時(shí)，ee1egxg(e)g(x)，沒(méi)有最小值，所以exexxexe(xx由h(x)(x0)，得h(x)，xx2x2xhxhx上單調(diào)遞增，當(dāng)m0時(shí)，在x)hxhx在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無(wú)最小值，不合題意，hxhxhx單調(diào)遞減，m0時(shí)，在x上當(dāng)x)hxhx上在單調(diào)遞增，h(x)hme所以，1h1ge所以即e，e11m(,)．所以，即m的取值范圍為e2e2第4頁(yè)/共27頁(yè)故選：A．8.如圖，在三棱錐S中，SASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是S2，則三棱錐外接球的表面積是（）43A.12πB.4πC.43πD.π3【答案】A【解析】【分析】利用二面角SB的正切值求得SB，由此判斷出2BS,,，且兩兩垂直，由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)E是AC的中點(diǎn)，連接EB,ESSASC,ABBC，由于，ACSE,ACBESB所以，所以是二面角的平面角，所以2，sinSEBcosSEBtanSEB3.由得3sin2SEBSEB12在SAC中，SE22SA2AE22226，2，2SEBEcosSEB2，2在中，BEAB2AE2222在△SEB中，由余弦定理得：SBSE22BE2所以，由于SASCAC22，所以由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線長(zhǎng)為23.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則R3，所以外接球的表面積為BS,,兩兩垂直.4R2π，2第5頁(yè)/共27頁(yè)故選：A.二多選題（本大題共小題，每題分，共20分）?459.已知向量ab(2,4)，則下列結(jié)論正確的是（）.A.(ab)a|2ab10B.C.向量a,b的夾角為D.b在a方向上的投影向量是10a4【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)向量的數(shù)乘以及加法坐標(biāo)公式，結(jié)合模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)向量夾角公式，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)投影的定義，結(jié)合向量數(shù)乘的幾何意義，可得答案.ab1aba31130aba【詳解】對(duì)于A，，由，則，故A正確；242，2ab422225，故B錯(cuò)誤；對(duì)于B，2abab123410，a2210b224252對(duì)于C，，，則ab102a,b，即向量a,b的夾角為，故C正確；ab102524ab10aaa對(duì)于D，b在a方向上的投影向量是2，故D錯(cuò)誤.10a故選：AC.的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，1，annSn01nn1aa10.設(shè)等比數(shù)列7，則下列選項(xiàng)正確的是（）1a0第6頁(yè)/共27頁(yè)為遞減數(shù)列1SaSA.B.nT1nnC.當(dāng)n時(shí)，T最小D.當(dāng)時(shí)，的最小值為4047n【答案】BC【解析】a20241，判斷BT的意義，結(jié)合ABn【分析】首先討論數(shù)列的單調(diào)性，判斷A選項(xiàng)的判斷，再判斷C；結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，以及AB選項(xiàng)的判斷，即可判斷D.a0aa7a07a0，【詳解】A.由條件可知，，與，同號(hào)，所以，則11a1q0，則公比q0而若0q1，數(shù)列單調(diào)遞減，則07,1，那么71，與已知矛盾，若q1，則0aaa1，則那么71，與已知矛盾，17q，才存在，使1，所以等比數(shù)列q1aaa只有當(dāng)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；7nB.因?yàn)椋瑔握{(diào)遞增，所以1，1a0anaSS1，即S1S則，故B正確；C.因?yàn)閝1，且a1，所以當(dāng)n時(shí)，n最小，故C正確；aa11，1a21，D.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，7T1nn時(shí)，的最小值為4046，故D錯(cuò)誤.所以當(dāng)故選：BC，則（）fxcos2x2sinx11.已知函數(shù)62A.函數(shù)在區(qū)間fx,上單調(diào)遞增B.直線x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸fx23C.函數(shù)的值域?yàn)閒x2最多有8個(gè)根，且這些根之和為8πfxax2πD.方程【答案】BCD第7頁(yè)/共27頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性作出圖象即可解決問(wèn)題.fxcos2x2sinx,xR【詳解】，f(x)cos(2x)2|sin(x)2x2|sinxf(x)，y則f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.f(x)2(x)2sin(x)2x2sinxf(x)，f(x)T.f(x)2(x)2sin(x)2x2x又222f(x)2(x)2sin(x)2x2x且，222f(x)f(x)，即f(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，222kx,kZ故直線都是f(x)的對(duì)稱軸.22x時(shí)，sinx0當(dāng)，13f(x)2x2sinx2sin2x2sinx12(sinx2)，則221232令tsinx，則可看成由yt)2tsinx與復(fù)合而成的函數(shù)，f(x)tsinx,x單調(diào)遞增，2x1t132yt)2當(dāng)，則，單調(diào)遞增，則f(x)單調(diào)遞增；62262113x,，則t,12yt)2當(dāng)且，單調(diào)遞減，則f(x)單調(diào)遞減；2232f(x)f(0)f()f(x)f().26fxcos2x2sinx,x2π的大致圖象.結(jié)合以上性質(zhì)，作出函數(shù)第8頁(yè)/共27頁(yè)62選項(xiàng)A，函數(shù)在區(qū)間fx,上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，直線x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故B項(xiàng)正確；fx23232選項(xiàng)C，當(dāng)x[0,]時(shí)，函數(shù)fx的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，，由函?shù)周期Tπfx故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，如圖可知，方程fxaxi,8)最多有8個(gè)根，設(shè)為，不妨設(shè)ixxxx，1238x2π時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x當(dāng)對(duì)稱，8x(xx)(xx)(xx)(xx)428則，i18273645i1即這些根之和為8π，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.l:ykx2交軸于點(diǎn)P，圓yM:x22y1，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分212.已知直線別為A，B，直線AB與交于點(diǎn)C，則（）15A.若直線l與圓M相切，則k15B.當(dāng)k2時(shí)，四邊形的面積為219C.直線AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)第9頁(yè)/共27頁(yè)74Q,0CQ為定值D.已知點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】，進(jìn)而求出P0,4【分析】根據(jù)圓心到直線距離等于半徑建立等式，解出即可判斷；根據(jù)求出kAkPM，根據(jù)相切可得四邊形面積等于兩個(gè)全等的直角三角形面積和，根據(jù)三角形面積公式即可求出結(jié),M,B,P果；根據(jù)相切可知四點(diǎn)共圓，且為直徑，求出圓的方程即可得弦所在的直線方程，進(jìn)而判斷C；根據(jù)直線AB過(guò)定點(diǎn)及可得90，即在以CMN為直徑的圓上，求出圓的方程可發(fā)現(xiàn)圓心為點(diǎn)Q，即可判斷D.4k1k【詳解】解：對(duì)于A，若直線l與圓M相切，則圓心到直線的距離1，215解得k，所以A正確；15P0,4時(shí)，，，k2M2,0PM16425，對(duì)于B，當(dāng),PB為圓的兩條切線，所以PAMPBM90，因?yàn)?119，所以四邊形的面積S2△AMPA1PM所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋琈0，且PAM，P2kPBM90,M,B,P所以四點(diǎn)共圓，且為直徑，44k2所以該圓圓心為，半徑為k1k2，2所以圓的方程為：x12yk21k，2因?yàn)锳B是該圓和圓M的相交弦，所以直線AB的方程為兩圓方程相減，即x12yk2x22y21k21，AB:2x230化簡(jiǎn)可得：，第10頁(yè)/共27頁(yè)32所以直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N,0，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所?0，32N,0上，所以90AB因?yàn)樵谥本€32，，MNM2,0N,0即點(diǎn)C在以為直徑的圓上，因?yàn)?74,014所以圓心為，半徑為，4227，圓心為Q,0，416741xy2所以圓的方程為：141CQ因?yàn)辄c(diǎn)C在該圓上，所以故選：ACD為定值，所以D正確．4三填空題（本大題共題，每小題分，共20分）?4513.在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)e2.71828．小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有______個(gè)．【答案】36【解析】【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解．【詳解】如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，兩個(gè)2捆綁看作一個(gè)元素與7，1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)8插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2，兩個(gè)8均為相同元素，A33C2436那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有．故答案為：36.1fxxae14.曲線xf0yxa垂直，則______.在點(diǎn)處的切線與直線2【答案】1【解析】第11頁(yè)/共27頁(yè)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和垂直關(guān)系可知f02，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.1fx在f0垂直，f02yx【詳解】處的切線與直線，2又xxxa1exf0a12a1.，，解得：fxexae故答案為：1.15.底面ABCD為菱形且側(cè)棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若CG3FBEG的體積為_(kāi)_________..則三棱雃838333【答案】【解析】##【分析】先證明四邊形為平行四邊形，可得BF2，進(jìn)而證明EA//平面，進(jìn)而利用FBEGEBGFVABGF求解即可.ACBD相交于點(diǎn)O，交EG于點(diǎn)P，，連接【詳解】連接，連接ADHE//，由已知可得：平面平面BCGF平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面EH//FGEF//為平行四邊形，所以，同理可得：，所以四邊形的中點(diǎn)，所以P為EG的中點(diǎn)，O為AC所以O(shè)P//AE，所以4，所以BF2.1S△4所以.2EA//FB,FBBCGF,女平面，因?yàn)樗云矫鍱A//，平面所以點(diǎn)A到平面的距離等于點(diǎn)到平面E的距離，為23.第12頁(yè)/共27頁(yè)13833所以FEVAS△23.833故答案為：.【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積的時(shí)候，要注意利用圖形的特點(diǎn)，看把哪個(gè)點(diǎn)當(dāng)成頂點(diǎn)更好計(jì)算.x軸的直線l:yay2xy2x1和的圖像交于點(diǎn)A，B，若函數(shù)16.設(shè)a0，平行于分別與函數(shù)y2x的圖像上存在點(diǎn)C，滿足為等邊三角形，則a_________．6【答案】32【解析】,BAB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)互化關(guān)系求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，及的坐標(biāo)即可求解作答.【詳解】直線l:ya，由2xa，得xlog2a，Aa,a，即點(diǎn)2xa1a，得，即點(diǎn)2Blog2aa，于是AB1，由2x13，得CDAB，CD如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，由正，213顯然點(diǎn)C不可能在直線l上方，因此點(diǎn)Ca,a)，而點(diǎn)C在函數(shù)y2x的圖象上，222第13頁(yè)/共27頁(yè)3223123aa22a，即a36則，解得a3，222422226所以a3.26故答案為：32四?解答題（本大題共6小題，共70分），ABAC1且cb．317.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為2（1）求角A的大??；3（2）設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且，求a的長(zhǎng)度．2A【答案】（1），3（2）a=7【解析】1）由三角形的面積公式，向量的數(shù)量積公式列方程，兩方程相除，可求出出角A的大?。籺anA31a2c244（2）在ABC中由余弦定理得a，2b22c2，在△ABM中由余弦定理得31a22231a2b244cosAMC可求出的值.在△ACM中由余弦定理得0a31a222【小問(wèn)1詳解】3因?yàn)椤鰽BC的面積為，213所以bcsinA，即bcsinA3，22因?yàn)锳BAC1，所以bcA1，第14頁(yè)/共27頁(yè)bcsinAbccosA33，所以因?yàn)椋胻anAA0,，所以A3【小問(wèn)2詳解】A，所以bcsin3，得bc2，因?yàn)?3在ABC中，由余弦定理得a2b2c2bcAb2c22，311在△ABM中，，a,c，2223144a2c2AM2BM2AB2cos由余弦定理得，2AMBM31a2223112在△ACM中，，CMBCa,ACb，2231a2b22CM2244由余弦定理得，2CM31a222因?yàn)樗裕?，3131a44a2c22b2440，所以31312a2a222231a2231a2c2b20，得b2c22所以所以，2231a2a22，得a27，22所以a=7第15頁(yè)/共27頁(yè)18.某工藝品加工廠加工某工藝品需要經(jīng)過(guò)a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序31212加工合格率分別為，，．三道工序都合格的工藝品為特等品；恰有兩道工序合格的工藝品為一等4品；恰有一道工序合格的工藝品為二等品；其余為廢品．（1）求加工一件工藝品不是廢品的概率；（2）若每個(gè)工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠虧損100元，記一件工藝品經(jīng)過(guò)三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；2（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】1）三道工序都不合格為廢品，求事件的概率，利用對(duì)立事件，求不是廢品的概率；（2）由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列，由公式求數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】記“加工一件工藝品為廢品”為事件A，311422161PA111則，1516PA1PA則加工一件工藝品不是廢品的的概率．【小問(wèn)2詳解】由題意可知隨機(jī)變量X的所有可能取值為-100，-20，100，300，1100PX，16311111111520PX，，422422422163113111117PX100422422422163113PX300，42216則隨機(jī)變量X的分布列為：XP-100-201003001573161573175100300EX20100故．161616162第16頁(yè)/共27頁(yè)B=90°，AB22，ACD為等邊三角形，O為AC邊的19.在圖1中，為等腰直角三角形，EC2BE中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將ACD進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得4．．（1）證明：平面（2）求二面角EFAC的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析3（2）2【解析】FOAC，即可證明；1）由等邊三角形三線合一，得出，再由勾股定理逆定理得出（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，由面面夾角的向量法計(jì)算即可；方法二：作EMAC，垂足為M，ENAFNEEFAC，則二面角的平面角為作，垂足為N，連接，首先由線面垂直得出ENM，在△中，求出cosENM即可．【小問(wèn)1詳解】證明：連接OB，為等腰直角三角形，B=90°因?yàn)樗?，AB22，AC4，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，1所以AC2，2AFACFC4，在等邊三角形中，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)OAC所以，則FOAFAO223，2又4，第17頁(yè)/共27頁(yè)所以22FB2，即，，OB平面，因?yàn)樗設(shè)，AC平面．平面【小問(wèn)2詳解】是等腰直角三角形，90，OAC中點(diǎn)，方法一：因?yàn)闉檫吽設(shè)BAC，由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建，，立空間直角坐標(biāo)系，42,,0則A2,0，EF0,0,23，，3348AE,,0AF0,2,23所以，，33，設(shè)平面FAE的法向量為nx,y,z2y23z0AFn0，得，令，得3,1，z1n23,由483AEn0x3y01,0,0易知平面的一個(gè)法向量為m，設(shè)二面角EFAC的大小為θ，第18頁(yè)/共27頁(yè)mn3則|cos，2mn由圖可知二面角EFAC為銳角，3所以二面角EFAC的余弦值為．2方法二：作EMAC，垂足為M，作，垂足為N，連接EN，，平面因?yàn)槠矫妫裕珹CFOO，AC,平面，又因?yàn)樗訣M平面ACF，又平面，所以EMAF，MMN,EM又，，平面，所以AF平面，又EN平面所以，AFC，AEFAF，又平面平面所以二面角EFAC的平面角為ENM，EMECCM23因?yàn)镋M∥，所以，BC412所以，，333238RtAMNFAC60AMAO，2在中，，38433所以sin60，324243383所以ENEM22，333所以ENM，即二面角EFAC余弦值為．22第19頁(yè)/共27頁(yè)滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列．已知數(shù)列中，19，點(diǎn)An1n2Anan20.若數(shù)列nan,an1在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，其中n為正整數(shù)，（1）證明：數(shù)列a1是“平方遞推數(shù)列，且數(shù)列a1為等比數(shù)列；nna,ab,a*bba1,c2n4db*c的前項(xiàng)和dnn（2）設(shè)，定義，且記，求數(shù)列nnnnnnb,ab,S．n【答案】（1）證明見(jiàn)解析n*2n4且nN,S（2）nn25nn4且nN.*【解析】【分析】(1)根據(jù)“平方遞推數(shù)列”的定義和等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明a,ab,a*bdb*cdS(2)由的新定義和，可得出表達(dá)式，再分段求前n項(xiàng)和即可.b,ab,nnnnn【小問(wèn)1詳解】a,a在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，n1a2n2a，n點(diǎn)nn1n11n是“平方遞推數(shù)列．1,a1n2因?yàn)閍110，1對(duì)aa2兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lga111，2lgan1nn1n是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．a(chǎn)1∴數(shù)列n【小問(wèn)2詳解】由（1）知ban12n12n1，n第20頁(yè)/共27頁(yè)由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，bcnnn4時(shí)，bcnn4時(shí)，bc當(dāng)；當(dāng)．nnna,ab,a*b2n1,n，nNd**,db*c又由，得b,ab,nnnn2nn，nN12nn4且nN*Sbn2n1；當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，n112*Sb123456nn4且nNn(n2n4)241n5n21，22n*2n4且nN,S綜上，nn25nn4且nN.*x22y221ab0的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F，A，Bb，1，點(diǎn)21.已知雙曲線C:abM在線段AB上，且滿足3，直線OM的斜率為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程.（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Qx兩點(diǎn)，在軸上是否存在與不同的定點(diǎn)，使得FEEPFQEQFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.y2【答案】（1）x21312E,0（2）存在，【解析】1，3，直線OM的斜率為1，求得a,b,ca,b之間的關(guān)系式，解得1）由的值，進(jìn)而求出雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由等式成立，可得EF為EP,EQ的斜率之和為0，整理可得參數(shù)的值，即求出E的坐標(biāo)．的角平分線，可得直線【小問(wèn)1詳解】c2a2b2c0，所以Fc,0，，，Aa,0Bb設(shè)第21頁(yè)/共27頁(yè)313Ma,b，因?yàn)辄c(diǎn)M在線段AB上，且滿足因?yàn)橹本€OM的斜率為1，所以，所以點(diǎn)31311313bab1，所以3，a31因?yàn)?，所以ca1，解得a1，b3，c2.y2所以雙曲線Cx21.的方程為3【小問(wèn)2詳解】x假設(shè)在軸上存在與不同的定點(diǎn)，使得FEEPFQEQFP恒成立，EPFQEQFP當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，E在x軸上任意位置，都有；當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，直線l的方程為x2，Et,033直線l與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，則kk0且，33設(shè)，，Qx,y2Px,y1122yx21，得k1y1290k，322210，36k360，2由x212k9yyyy所以因?yàn)?，?221221k1kEPFQEQFPkk0，，，即，所以EF平分第22頁(yè)/共27頁(yè)1y21y20，即02y2tyy0有，得，1t2t12tky22t1212912k12所以0k0，解得t，由.2k2tk21k1212EPFQEQFPE,0綜上所述，存在與F不同的定點(diǎn)E，使得恒成立，且.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，要強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、