2021年初中學業模擬考試

數學試題

本試卷共8頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將學校、姓名、考試號、座號填寫在答題卡和

試卷規定位置，并涂寫考試號.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆涂黑答題卡對應題目的答案標號；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，字體工整、筆跡清晰，寫在答題卡各題目指

定區域內；如需改動，先劃掉原來答案，然后再寫上新答案.嚴禁使用涂改液、膠帶紙、

修正帶修改.不允許使用計算器.

4.保證答題卡清潔、完整，嚴禁折疊，嚴禁在答題卡上做任何標記.

5.評分以答題卡上的答案為依據.不按以上要求作答的答案無效.

一、選擇題：本題共12小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的

選項選出來.每小題5分，共60分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分.

1、下列運算正確的是

A.-a2b+2a2b=a2bB.2a-a=2C.3a2+2a2=5a4D.2a+b=2ab

2、如圖是手提水果籃抽象的幾何體，以箭頭所指的方向為主視圖方向，則它的俯視圖為

3、如圖，在6X4的方格紙中，格點三角形甲經過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是

A.格點MB.格點N

4、一組數據4,5,3,4,4的中位數、眾數和方差分別是

A.3,4,0.4C.4,4,0.4D.4,3,0.4

5、如圖，四邊形A5C。的對角線E,F,G,H分別是AO,AB,BC,CO的中點,

若在四邊形A5C。內任取一點，則這一點落在圖中陰影部分的概率為

B

6、已知正比例函數》的圖象與反比例函數垃的圖象相交于點A(2,4),下列說法正確的是

Q

A.反比例函數以的解析式是>2=--

X

B.兩個函數圖象的另一交點坐標為(2,-4)

C.當xV-2或0VxV2時，ji<j2

D.正比例函數山與反比例函數山都隨x的增大而增大

7、已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=Q的一個根為T,二次函數y=ax2+bx+c的圖象的頂

點坐標為(1,4),則關于x的不等式ox2+c>(2-*)x-1的解為

A.xV-1或x>3B.xV-2或x>2C.-l<x<3D.-2<x<2

8、如圖，半徑為3的。4經過原點O和點C(0,2),8是y軸左側。A優弧上一點，貝!JtanNO5c

為

y

9,某品牌的飲水機接通電源就進入自動程序：開機加熱到水溫100℃,停止加熱，水溫開始下

降，此時水溫(°C)與開機后用時(min)成反比例關系，直至水溫降至30C,飲水機關機.飲

水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序.若在水溫為30C時，接通電源后，水溫y("C)

和時間x(min)的關系如圖所示，水溫從100℃降到35C所用的時間是

10、如圖，直線kAix+5與x軸、了軸相交于P,。兩點，與》=’■的圖象相交于4(-2,機)，

x

B(1,")兩點，連接。4,OB.下列結論：①心+心＜0;②不等式公x+6＞勺■的解集是x＞-2

X

或OVxVl；③S、AOP=SW;④機+；〃=0.其中正確的結論是

A.①③B.②③④C.①③④D.(2X4)

H、如圖，在菱形ABC。中，按以下步驟作圖：

①分別以點C和點。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點;

2

②作直線MN,且MN恰好經過點4,與CZ)交于點E,連接3E.

則下列說法中，錯誤的是

A.NABC=60°B.若A8=4,貝IJ5E=4療

a

C.SAABE=2SAADED.sin/CBE=——

14

12、如圖，在△ABC中，AB=CB,以AZ?為直徑的。。交AC于點。.過點C作C尸〃A3,在

C尸上取一點E,使。E=C。，連接AE.對于下列結論：?AD=DC；②△CB4s△c/JE；③冊

=AD；④AE為。。的切線，正確的結論是

c

A.①②B.①②③C.①④D.①@④

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，只要求填寫最后結果.

13、分解因式：x2-8x-9=.

14、若m+n=Lmn=2,則工+」的值為.

mn

15、如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第n

(n是大于0的整數)個圖形需要黑色棋子的個數是_____.

2

16、關于x的一元二次方程a(x-h+1)+k+2=0(a>0)的解是xi=-5,x2=l,則不等式

a(x+h-2)2+k<-2的解集為

17、如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點O(0,0),點A(5,0),點B

(0,3).以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC得到矩形ADEF,點O,B,C的對應點分別

為D,E,F.記K為矩形AOBC對角線的交點，則△KDE的最大面積為

三、解答題：本大題共7小題，共70分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

18、(本題滿分8分)⑴計算：(x-3)(3+x)-(x2+x-1)；

3

(2)解方程：x-2=—x+1.

2

19、（本題滿分8分）如圖，N1=N2,AD=AE,NB=NACE,且B、C、D三點在一條直線

上.

（1）求證：AABD絲與AACE；

（2）如果NB=60。，試說明線段AC、CE、CD之間的數量關系，并說明理由.

20、（本題滿分10分））某校八（1）班同學為了了解2018年某小區家庭月均用水情況，隨機調

查了該小區部分家庭，并將調查數據進行如下整理，請解答以下問題:

月均用水量X頻數頻率

（戶）

0V爛560.12

5V爛10120.24

10<x<15m032

15V爛2010n

20V爛2540.08

25<x<3020.04

(1)本次調查采用的調查方式是(填“普查”或“抽樣調查”)，樣本容量是一；

(2)補全頻數分布直方圖；

(3)若將月均用水量的頻數繪成扇形統計圖，則月均用水量“15〈爛20”的圓心角度數是一；

(4)若該小區有5000戶家庭，求該小區月均用水量超過20t的家庭大約有多少戶？

21、(本題滿分10分)汽車盲區是指駕駛員位于駕駛座位置，其視線被車體遮擋而不能直接觀

察到的區域.如圖，6.ABC.△FED分別為汽車兩側盲區的示意圖，已知視線PB與地面BE

的夾角NPBE=43。，視線PE與地面5E的夾角NPE5=20。，點A,尸分別為PB,PE與車窗

底部的交點，AF//BE,AC,FD垂直地面BE,A點到B點的距離AB=1.6m.(參考數據：

sin43°u0.7,tan43°~0.9,sin20°=0.3,tan20°~0.4)

(1)求盲區中OE的長度；

(2)點M在上，MD=L8m,在M處有一個高度為0.3/n的物體，駕駛員能觀察到物體

嗎？請說明理由.

22、(本題滿分10分)如圖，。。與RtAABC的斜邊AB相切于點D,與直角邊AC相交于E、

F兩點，連結DE,已知NB=30。，。。的半徑為12,弧DE的長度為47r.

(1)求證：DE/7BC；

(2)若AF=CE,求線段BC的長度.

23、(本題滿分12分)(1)問題解決：如圖(1),AD是等邊三角形△ABC的中線，將BC邊所

在直線繞點D順時針旋轉30。，交邊AB于點M,交射線AC于點N,試證明：△AMN^ADMA；

(2)問題變式：如圖(2),AD是AABC的中線，將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉a角，

交邊AB于點M,交射線AC于點N,設AM=xAB,AN=yAC(x,y#0).求證：x+y=2xy；

(3)問題拓展：如圖(3),AD是△ABC的中線，當G是AD上任意一點時(點G不與A重

合)，過點G的直線交邊AB于交射線AC于點N。設AG=nAD,AM，=x，AB,AN，=y，AC

(x。yYO),試探究x，、y，之間的數量關系？并說明理由.

24^(本題滿分12分)如圖，已知二次函數^=6!，+歷什0(a<0,c>0)與x軸交于點A、B,

與y軸交于點C,且以A8為直徑的圓經過點仁

(1)若點A(-2,0),點B(8,0),求ac的值；

(2)若點A(xi,0),B(X2,0),試探索ac是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，

請說明理由；

(3)若點D是圓與拋物線的交點(O與A、5、C不重合)，在(1)的條件下，坐標軸上

是否存在一點P,使得以P、B、C為頂點的三角形與△C5。相似？若存在，請直接寫出點P

坐標；若不存在，請說明理由.

2021年初中學業模擬考試數學參考答案及評分標準

選擇題(每小題5分，共60分)

1-12：AABCACDDBCBD

填空題(每小題4分，共20分)

13、(x+1)(x-9)14、；15、n(n+2)16、0<x<630+3V34

4

三.解答題（本題共7小題，共70分）

18解：（1）原式=x2-9-x2

x+1.................................................2分

=-x-

8........................................................4分

(2)

3

x—x=2+l,........................................................2分

2

.....3分

x=-

6..............................................................4分

19、解：(1)證明：VZ1=Z2,：.Zl+ZCAD=Z2+ZCAD,即NB4Z>=NCA￡,.......1

分

在△ABD與△ACE中，

'NB=/ACE

BAD=NCAE，...................................3分

AD=AE

：./\ABD^^ACE

(A4S)；.................................................4分

(2)由⑴AABOdACE可得：BD=CE,AB=AC,

?：NB=60°,AAABC是等邊三角形，：.AB=BC=

AC,................................6分

：.BD=CE=BC+CD=

AC+CD.........................................................7分

即CE-

AC+CD.....................................................................8

分

20解：(1)抽樣調查

50；....................................................................................................................4分

(2)補全的頻數分布直方圖如圖所示:

...........6分

(3)

72°；......................................................................................................................................................8

分

(4)5000x(0.08+0.04)=5000x0.12=600(戶)，

答：該小區月均用水量超過201的家庭大約有600

戶.......................................10分

21、解：(1)'JFDLEB,ACLEB,J.DF//AC,

'."AF//EB,.?.四邊形ACDF是平行四邊

形，.............................................1分

VZACD=90°,四邊形ACDF是矩形，：,DF=

AC,.........................................................2分

在RtAACB中，VZACB=90°,：.AC=AB?sin430句.6x0.7=1.12

Cm),.............................................3分

：.DF=AC=1.12

(zn),.............................................................................................................................4分

在RSOEF中，VZFDE=90°,tanZE=——，

DE

0.4

(m)；.................................................................................................................................5分

(2)如圖所示：過點M作

NMLED,............................................................................................................6分

；ED=2.8m,MD=1.8加，.?.￡"=Im,FZ)=AC=1.12m,可得：MN〃F。..................7

分

:AEMNS^EDF,...----=——，

FDED即

NM1八八

——=——，....................................8分

1.122.8

解得：MN—

0.4......................................................................................................................................................9分

V0.4>0.3,；.在何處有一個高度為0.3m的物體，駕駛員不能觀察到物

體..................10分

22(1)證明：連接OD、

OE..................................................................................................................................1分

VAD是。O的切線，.,.OD1AB

.,.ZODA=90°,.......................................................................................2分

又弧DE的長度為47t，.\4n=----------,

180

n=60...........................................................................................3分

AAODE是等邊三角形，AZODE=60°,

ZEDA=30°,...........................................................................4分

.*.ZB=ZEDA,

；.DE〃BC.....................................................................................................................................5分(2)連

接FD,...........................................................................................................................................................6

分

：DE〃BC,.*.ZDEF=ZC=90°,；.FD是。0的直徑，

由(1)得：ZEFD=-ZEOD=30°,FD=24,/.EF=12V3.........................................................................7

2

分

又；/EDA=30°,DE=12,

AE=4A/5,..........................................................................................8分

又：AF=CE,；.AE=CF,

CA=AE+EF+CF=205...................................................................................9分

fAC6

又tanZABC=tan30°=-----------,

BC3

.?.BC=60.................................................................................................10分

23、證明：(1)如圖1,

A

VAABC是等邊三角形，AD是等邊三角形△ABC的中線，/MAD=30。，ZACD=60°..............1

分

?.,將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉30。，，NCDN=30。,DCN=120°,ANANM=30°,............2

分

/ANM=NMAD,.........................................................................................................................

.......3分

又ZAMD=ZNMA,

.".△AMN^ADMA；................................................................................................4分

(2)如圖2,作CF〃AB交MN于點F........................................................................................................5

分

圖(2)

ACFN^AAMN

.NCCF

...............................................................................................6分

；AD是△ABC的中線，/.BD=CD,

：CF〃AB,/DBM=/DCF,ZDMB=ZDFC,

rZDMB=ZDFC

在小CFD和ABMD中,<ZDBN=ZDCF>/.△CFD^ABMD,/.BM=CF........................................7

BD=CD

分

.AN-ACBMAB-AM.yAC-ACAB-xABy-11-x

>.-----------=------=------------,.?-------------=-------------,艮Arl------=------

ANAMAMyACxAByx

x+y=2xy；

8分

(3)x\y之間的數量關系為:nx'+ny'=2x'y'.9

分

理由如下：如圖3,過點D作MN的平行線，交直線AB于點M,交直線AC于點N,10

xry，x

設AM=xAB,AN=yAC,—=n=一,即x=—,y=—

xynn

112

由(2)知x+y=2xy—I=——即

x'y'n

nx'+ny'=2x'y'.12分24、解：(1)設圓心為點M,

VA(-2,0),B(8,0),：.M(3,0),0M的半徑為5,

：.OC^^MC2-OM2=4,：.C(0,4),

)4a-2b+4=0

將A(-2,0),B(8,0),C(0,4)代入得164a+88=4=0

1

??a=~一，c=4,

4

1;3分

(2)ac的值是定值，為-1,4

分

理由：??,點A(制，0),B(X2,0),：.OA="xi，03=12，OC=c,

VZOAC+ZOCA=90°,ZOCB+ZOCA=90°,：.ZOAC=ZOCB,

VZAOC=ZBOC=90°,

.AOOC2

??-----=-----,??OC=OA?OB,

OCOB

,?

??C=-XI9X2f

c

令y=0時，0=〃/+灰+。，.*.xiex2=—,