解直角三角形一、選擇題1.（2022?孝感，第8題3分）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC=a，BD=b，則?ABCD的面積是（）A．absinαB．absinαC．abcosαD．abcosα考點：平行四邊形的性質；解直角三角形．分析：過點C作CE⊥DO于點E，進而得出EC的長，再利用三角形面積公式求出即可．解答：解：過點C作CE⊥DO于點E，∵在?ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為α，AC=a，BD=b，∴sinα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，∴?ABCD的面積是：absinα×2=absinα．故選；A．點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及解直角三角形，得出EC的長是解題關鍵．2.（2022?泰州，第6題，3分）如果三角形滿足一個角是另一個角的3倍，那么我們稱這個三角形為“智慧三角形”．下列各組數據中，能作為一個智慧三角形三邊長的一組是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，考點：解直角三角形專題：新定義．分析：A、根據三角形三邊關系可知，不能構成三角形，依此即可作出判定；B、根據勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三個角分別是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能構成三角形，故選項錯誤；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故選項錯誤；C、底邊上的高是=，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，故選項錯誤；D、解直角三角形可知是三個角分別是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定義，故選項正確．故選：D．點評：考查了解直角三角形，涉及三角形三邊關系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．3.（2022?揚州，第8題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=（）（第2題圖）A．B．C．D．﹣2考點：全等三角形的判定與性質；三角形的面積；角平分線的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理專題：計算題．分析：連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據勾股定理求得CM的長，連接MN，過M點作ME⊥ON于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設NF=x，表示出CF，根據勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN．解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC與Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等邊三角形，∴MN=AM=AN=2，過M點作ME⊥ON于E，設NE=x，則CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故選A．點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理以及解直角三角函數，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．4.（2022?濱州，第11題3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，則BC的長為（）A．6B．C．8D．考點：解直角三角形分析：根據三角函數的定義來解決，由sinA==，得到BC==．解答：解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．故選A．點評：本題考查了解直角三角形和勾股定理的應用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，則sinA=，cosA=，tanA=．5.（2022?德州，第7題3分）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為（）A．4米B．6米C．12米D．24米考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．分析：先根據坡度的定義得出BC的長，進而利用勾股定理得出AB的長．解答：解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，根據勾股定理得：AB==6米，故選B．點評：此題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，勾股定理，難度適中．根據坡度的定義求出BC的長是解題的關鍵．二.填空題1．（2022?新疆，第13題5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，則AC=．（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）考點：解直角三角形．專題：計算題．分析：根據正切的定義得到tanB=，然后把tan37°≈和BC=32代入計算即可．解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以tanB=，即tan37°=，所以AC=32?tan37°=32×=24．故答案為24．點評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．2．（2022?舟山，第12題4分）如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為α度，AC=7米，則樹高BC為米（用含α考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析：根據題意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函數即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC?tanα=7tanα（米）．故答案為：7tanα．點評：本題考查了解直角三角形的應用，關鍵是根據仰角構造直角三角形，利用三角函數求解．3．（2022?浙江寧波，第17題4分）為解決停車難的問題，在如圖一段長56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個路段最多可以劃出17考點：解直角三角形的應用．分析：如圖，根據三角函數可求BC，CE，則BE=BC+CE可求，再根據三角函數可求EF，再根據停車位的個數=（56﹣BE）÷EF+1，列式計算即可求解．解答：解：如圖，BC=×sin45°=×≈1.54米CE=5×sin45°=5×≈3.5米BE=BC+CE≈，EF=÷sin45°=÷≈3.14米（56﹣）÷+1=÷+1≈16+1=17（個）．故這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位．故答案為：17．點評：考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算．4.（2022?株洲，第13題，3分）孔明同學在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂的仰角為20°（不考慮身高因素），則此塔高約為182米（結果保留整數，參考數據：sin20°≈，sin70°≈，tan20°≈，tan（第1題圖）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析：作出圖形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函數即可求得BC的長度．解答：解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×=182（米）．故答案為：182．點評：本題考查了解直角三角形的應用，關鍵是根據仰角構造直角三角形，利用三角函數求解．5.（2022?泰州，第16題，3分）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于1或2cm．（第2題圖）考點：全等三角形的判定與性質；正方形的性質；解直角三角形分析：根據題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據AM的長，利用銳角三角函數定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP′的長即可．解答：解：根據題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根據勾股定理得：AE==2cm，∵M為AE的中點，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由對稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm．故答案為：1或2．點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．6.（2022?濟寧，第12題3分）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，則AB的長為3+．考點：解直角三角形．分析：過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據含30度角的直角三角形求出CD，根據勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案為：3+．點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形性質等知識點的應用，關鍵是構造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．三.解答題1.（2022?安徽省,第18題8分）如圖，在同一平面內，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離（結果保留根號）．考點： 解直角三角形的應用．分析： 過B點作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根據三角函數求得BE，在Rt△BCF中，根據三角函數求得BF，在Rt△DFG中，根據三角函數求得FG，再根據EG=BE+BF+FG即可求解．解答： 解：過B點作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB?sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF?sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF?sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故兩高速公路間的距離為（25+5）km．點評： 此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算．2.（2022?廣東，第20題7分）如圖，某數學興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點在同一直線上）．請你根據他們測量數據計算這棵樹CD的高度（結果精確到）．（參考數據：≈，≈）考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．分析：首先利用三角形的外角的性質求得∠ABC的度數，得到BC的長度，然后在直角△BDC中，利用三角函數即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×=（米）．答：這棵樹CD的高度為米．點評：本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．3.（2022?珠海，第17題7分）如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達位于小島南偏東60°方向的B處．（1）求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離（結果用根號表示）；（2）若漁船以20海里/小時的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達小島M的航行時間（結果精確到小時）．（參考數據：≈，≈，≈）考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：（1）過點M作MD⊥AB于點D，根據∠AME的度數求出∠AMD=∠MAD=45°，再根據AM的值求出和特殊角的三角函數值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根據∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根據MD的值求出MB的值，最后根據路程÷速度=時間，即可得出答案．解答：解：（1）過點M作MD⊥AB于點D，∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，∵AM=180海里，∴MD=AM?cos45°=90（海里），答：漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離是90海里；（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，∵MD=90海里，∴MB==60，∴60÷20=3=3×=≈（小時），答：漁船從B到達小島M的航行時間約為小時．點評：本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．4.（2022?廣西賀州，第24題8分）如圖，一艘海輪在A點時測得燈塔C在它的北偏東42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達B處，此時燈塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離（結果精確到）；（2）求海輪在B處時與燈塔C的距離（結果保留整數）．（參考數據：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈，tan42°≈，tan35°≈，tan48°≈）考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：（1）過C作AB的垂線，設垂足為D，則CD的長為海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離；（2）在Rt△BCD中，根據55°角的余弦值即可求出海輪在B處時與燈塔C的距離．解答：解：（1）C作AB的垂線，設垂足為D，根據題意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，設CD的長為x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，則AD=x?tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，則BD=x?tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x?tan42°+x?tan55°=80，解得：x≈，答：海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離是海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海輪在B處時與燈塔C的距離是60海里．點評：本題考查了解直角三角形的應用：方向角問題，具體就是在某點作出東南西北，即可轉化角度，也得到垂直的直線．5．(2022年四川資陽，第19題8分)如圖，湖中的小島上有一標志性建筑物，其底部為A，某人在岸邊的B處測得A在B的北偏東30°的方向上，然后沿岸邊直行4公里到達C處，再次測得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求這個標志性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離．考點： 解直角三角形的應用-方向角問題．分析： 過A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，設AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即為A到岸邊BC的最短距離．解答： 解：過A作AD⊥BC于D，則AD的長度就是A到岸邊BC的最短距離．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，設AD=x，則CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：這個標志性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離為（6﹣2）公里．點評： 本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，難度適中，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．6．(2022年天津市，第22題10分)解放橋是天津市的標志性建筑之一，是一座全鋼結構的部分可開啟的橋梁．（Ⅰ）如圖①，已知解放橋可開啟部分的橋面的跨度AB等于47m，從AB的中點C處開啟，則AC開啟至A′C′的位置時，A′C′的長為m；（Ⅱ）如圖②，某校數學興趣小組要測量解放橋的全長PQ，在觀景平臺M處測得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在觀景平臺N處測得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放橋的全長PQ（tan54°≈，tan73°≈，結果保留整數）．考點： 解直角三角形的應用．專題： 應用題．分析： （1）根據中點的性質即可得出A′C′的長；（2）設PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得關于x的方程，解出即可．解答： 解：（I）∵點C是AB的中點，∴A'C'=AB=．（II）設PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==，∴NQ=，∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放橋的全長約為97m．點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是熟練銳角三角函數的定義，難度一般．7．（2022年云南省，第21題6分）如圖，小明在M處用高1米（DM=1米）的測角儀測得旗桿AB的頂端B的仰角為30°，再向旗桿方向前進10米到F處，又測得旗桿頂端B的仰角為60°，請求出旗桿AB考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題分析： 首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應利用其公共邊構造三角關系，進而可求出答案．解答： 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米答：旗桿AB的高度大約是10米．點評： 主要考查解直角三角形的應用，本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．8．（2022?四川自貢，第18題8分）如圖，某學校新建了一座吳玉章雕塑，小林站在距離雕塑米的A處自B點看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C的仰角為30°，求塑像CD的高度．（最后結果精確到米，參考數據：）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題分析：首先分析圖形：根據題意構造兩個直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共邊BE求得DE、CE，再根據CD=DE﹣CE計算即可求出答案．解答：解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=米，則CD=DE﹣CE=﹣≈米．故塑像CD的高度大約為米．點評：本題考查解直角三角形的知識．要先將實際問題抽象成數學模型．分別在兩個不同的三角形中，借助三角函數的知識，研究角和邊的關系．9．（2022·云南昆明，第20題6分）如圖，在數學實踐課中，小明為了測量學校旗桿CD的高度，在地面A處放置高度為米的測角儀AB，測得旗桿頂端D的仰角為32°，AC為22米，求旗桿CD的高度.（結果精確到米.參考數據：sin32°=，cos32°=，tan32°=）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題。分析：根據已知條件轉化為直角三角形中的有關量，然后選擇合適的邊角關系求得長度即可．解答：解：過點B作，垂足為E（如圖），在Rt△DEB中，，（米），（米）（米）答：旗桿CD的高度為米．點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是利用仰俯角的定義將題目中的相關量轉化為直角三角形BDE中的有關元素．10．（2022?浙江寧波，第21題8分）如圖，從A地到B地的公路需經過C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．（1）求改直的公路AB的長；（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米？（sin25°≈，cos25°≈，sin37°≈，tan37°≈）考點：解直角三角形的應用分析：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根據三角函數求得CH，AH，在Rt△BCH中，根據三角函數求得BH，再根據AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根據三角函數求得BC，再根據AC+BC﹣AB列式計算即可求解．解答：解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×=4.2千米AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×=千米，在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=÷tan37°≈÷=5.6千米∴AB=AH+BH=+=千米．故改直的公路AB的長14.7千米（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=÷sin37°≈÷=7千米則AC+BC﹣AB=10+7﹣=2.3千米答：公路改直后比原來縮短了2.3千米點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算．11.（2022?益陽，第18題，8分）“中國﹣益陽”網上消息，益陽市為了改善市區交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數據：∠BAD=°，∠BCA=°，CD=82米．求AB的長（精確到0.1參考數據：°≈，°≈，°≈；°≈，°≈，°≈．（第1題圖）考點：解直角三角形的應用．分析：設AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根據三角函數得到AB=（x+82），在Rt△ABD中，根據三角函數得到AB=4x，依此得到關于x的方程，進一步即可求解．解答：解：設AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC?tan∠BCA=（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD?tan∠BDA=4x．∴（x+82）=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈．答：AB的長約為546.7米點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是用數學知識解決實際問題．12.（2022?益陽，第21題，12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP=x．（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）設△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第2題圖）考點：相似形綜合題．分析：（1）過點C作CE⊥AB于E，根據CE=BC?sin∠B求出CE，再根據AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則△PCB必有一個角是直角．分兩種情況討論：①當∠PCB=90°時，求出AP，再根據在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，從而得到△ADP∽△CPB，②當∠CPB=90°時，求出AP=3，根據≠且≠，得出△PCB與△ADP不相似．（3）先求出S1=x?，再分兩種情況討論：①當2＜x＜10時，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根據S1=x?BM2代入計算即可．②當0＜x≤2時，S2=x（x2﹣x+），最后根據S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值．解答：解：（1）過點C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC?sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．（2）存在．若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則△PCB必有一個角是直角．①當∠PCB=90°時，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP與△CPB相似，此時x=2．②∵當∠CPB=90°時，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．則≠且≠，此時△PCB與△ADP不相似．（3）如圖，因為Rt△ADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=x?（）2=x?，①當2＜x＜10時，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結BM．則BM為△PCB外接圓的半徑．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）．②∵當0＜x≤2時，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x?+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴當x=時，S=S1+S2取得最小值x．點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的性質與判定、二次函數的最值、勾股定理，關鍵是根據題意畫出圖形構造相似三角形，注意分類討論．13.（2022?株洲，第17題，4分）計算：+（π﹣3）0﹣tan45°．考點：實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．分析：原式第一項利用平方根定義化簡，第二項利用零指數冪法則計算，最后一項利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果．解答：解：原式=4+1﹣1=4．點評：此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．14.（2022?株洲，第22題，8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AF＞BF）．（1）求證：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；銳角三角函數的定義分析：（1）根據角的平分線的性質可求得CE=EF，然后根據直角三角形的判定定理求得三角形全等．（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；解答：（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE=EF，在Rt△ACE與Rt△AFE中，，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，∴AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，∴BC===m，∴在RT△ABC中，tan∠B===，在RT△EFB中，EF=BF?tan∠B=，∴CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；∴tan∠CAE=．點評：本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數解直角三角形，根據已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵．15.（2022?株洲，第23題，8分）如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積（圖1）；（2）設∠AOB=α，當線段AB、與圓O只有一個公共點（即A點）時，求α的范圍（圖2，直接寫出答案）；（3）當線段AB與圓O有兩個公共點A、M時，如果AO⊥PM于點N，求CM的長度（圖3）．（第5題圖）考點：圓的綜合題；等邊三角形的性質；勾股定理；切線的性質；相似三角形的判定與性質；特殊角的三角函數值．分析：（1）連接OA，如下圖1，根據條件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面積．（2）如下圖2，首先考慮臨界位置：當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=0°；當線段AB所在的直線與圓O相切時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=60°．從而定出α的范圍．（3）設AO與PM的交點為D，連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、OD，進而求出PD、DM、AM、CM的值．解答：解：（1）連接OA，過點B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．∵AB與⊙O相切于點A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB?sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC?BH=××=．∴△ABC的面積為．（2）①當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=0°；②當線段A1B所在的直線與圓O相切時，如圖2所示，線段A1B與圓O只有一個公共點，此時OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，α的范圍為：0°≤α≤60°．（3）連接MQ，如圖3所示．∵PQ是⊙O的直徑，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM的長度為．點評：本題考查了等邊三角形的性質、相似三角形的性質與判定、直線與圓相切、勾股定理、特殊三角函數值等知識，考查了用臨界值法求角的取值范圍，綜合性較強．16．（2022年江蘇南京，第23題）如圖，梯子斜靠在與地面垂直（垂足為O）的墻上，當梯子位于AB位置時，它與地面所成的角∠ABO=60°；當梯子底端向右滑動1m（即BD=1m）到達CD位置時，它與地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的長．（參考數據：sin51°18′≈，cos51°18′≈，tan51°18′≈）考點：解直角三角形的應用分析：設梯子的長為xm．在Rt△ABO中，根據三角函數得到OB，在Rt△CDO中，根據三角函數得到OD，再根據BD=OD﹣OB，得到關于x的方程，解方程即可求解．解答：設梯子的長為xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB?cos∠ABO=x?cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD?cos∠CDO=x?cos51°18′≈．∵BD=OD﹣OB，∴﹣x=1，解得x=8．故梯子的長是8米點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算．17.（2022?泰州，第22題，10分）圖①、②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知踏板CD長為，CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，支架AC長為，∠ACD為80°，求跑步機手柄的一端A的高度h（精確到）．（參考數據：sin12°=cos78°≈，sin68°=cos22°≈，tan68°≈）考點：解直角三角形的應用分析：過C點作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根據三角函數可求CF，在Rt△CDG中，根據三角函數可求CG，再根據FG=FC+CG即可求解．解答：解：過C點作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，∠ACD為80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC?sin∠CAF≈，在Rt△CDG中，CG=CD?sin∠CDE≈，∴FG=FC+CG≈．故跑步機手柄的一端A的高度約為．點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是用數學知識解決實際問題．18．（2022?呼和浩特，第18題6分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（結果用非特殊角的三角函數及根式表示即可）考點：解直角三角形的應用－方向角問題．分析：首先根據題意得出∠MPA=∠A=65°，以及∠DBP=∠DPB=45°，再利用解直角三角形求出即可．解答：解：如圖，過點P作PD⊥AB于點D．由題意知∠DPB=∠DBP=45°．在Rt△PBD中，sin45°==，∴PB=PD．∵點A在點P的北偏東65°方向上，∴∠APD=25°．在Rt△PAD中，cos25°=．∴PD=PAcos25°=80cos25°，∴PB=80cos25°．點評：此題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數的定義得出相關角度是解決本題的關鍵．解直角三角形一、選擇題1.（2022?浙江杭州，第3題，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，則AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考點：解直角三角形分析：利用直角三角形兩銳角互余求得∠B的度數，然后根據正切函數的定義即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC?tanB=3tan50°．故選D．點評：本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系．2.（2022?浙江杭州，第10題，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEFD．4cos∠AGB=考點：軸對稱的性質；解直角三角形．分析：連接CE，設EF與BD相交于點O，根據軸對稱性可得AB=AE，并設為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據翻折的性質可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對各選項分析判斷利用排除法求解．解答：解：如圖，連接CE，設EF與BD相交于點O，由軸對稱性得，AB=AE，設為1，則BE==，∵點E與點F關于BD對稱，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四邊形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A選項結論正確；CF=BF﹣BC=﹣1，∴2BC=2×1=2，5CF=5（﹣1），∴2BC≠5CF，故B選項結論錯誤；∠AEB+22°=45°+22°=67°，在Rt△ABD中，BD===，sin∠DEF===，∴∠DEF≠67°，故C選項結論錯誤；由勾股定理得，OE2=（）2﹣（）2=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴4cos∠AGB===，故D選項結論錯誤．故選A．點評：本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，設出邊長為1可使求解過程更容易理解．3.（2022?江蘇蘇州,第9題3分）如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（）A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km考點：解直角三角形的應用-方向角問題分析：過點A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，則AB=AD=2．解答：解：如圖，過點A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即該船航行的距離（即AB的長）為2km．故選C．點評：本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，難度適中，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．4.（2022?山東臨沂,第13題3分）如圖，在某監測點B處望見一艘正在作業的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以40海里/小時的速度航行，航行半小時后到達C處，在C處觀測到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考點：解直角三角形的應用-方向角問題分析：如圖，根據題意易求△ABC是等腰直角三角形，通過解該直角三角形來求BC的長度．解答：解：如圖，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故選：C．點評：本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題．解題的難點是推知△ABC是等腰直角三角形．5．（2022?四川涼山州，第5題，4分）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，則坡面AB的長度是（A．15B．20mC．20D．10m考點：解直角三角形的應用－坡度坡角問題分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過解直角三角形即可求出斜面AB的長．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故選C．點評：此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力，熟練運用勾股定理是解答本題的關鍵．2.3.4.5.6.7.8.二、填空題1.（2022?上海，第12題4分）已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經過的路程為26米．考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題專題：應用題．分析：首先根據題意畫出圖形，根據坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案為：26．點評：此題考查了坡度坡角問題．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用，注意理解坡度的定義．2.（2022?山東濰坊，第17題3分）如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2米的CD和EF，兩標桿相隔52米，并且建筑物AB、標桿CD和EF在同一豎直平面內，從標桿CD后退2米到點G處，在G處測得建筑物頂端A和標桿頂端C在同一條直線上；從標桿FE后退4米到點H處，在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是米．考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．分析：根據AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG,EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解題．解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG∵CD=DG=2，AB=BG∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4∴BH=2AB∴BH=2BG=2GH∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=54，∴AB=BG=GH=54.故答案為：54點評：本題考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，考查了平行線定理，本題中列出關于GH、BH的關系式并求解是解題的關鍵．3．（2022?湖南懷化，第13題，3分）如圖，小明爬一土坡，他從A處爬到B處所走的直線距離AB=4米，此時，他離地面高度為h=2米，則這個土坡的坡角∠A=30°．考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．分析：直接利用正弦函數的定義求解即可．解答：解：由題意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案為：30．點評：本題考查了解直角三角形的應用，牢記正弦函數的定義是解答本題的關鍵．落千丈4．（2022?四川內江，第23題，6分）如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于點C．若OC=2，則PC的長是．考點：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定與性質．專題：計算題．分析：延長CP，與OA交于點Q，過P作PD⊥OA，利用角平分線定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用銳角三角函數定義求出QC的長，在直角三角形QDP中，利用銳角三角函數定義表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的長即可．解答：解：延長CP，與OA交于點Q，過P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案為：點評：此題考查了含30度直角三角形的性質，銳角三角函數定義，熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵．5.6.7.8.三、解答題1.（2022?四川巴中，第27題9分）如圖，一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6米，壩高20米，斜坡AB的坡度i=1：，斜坡CD的坡角為30°，求壩底AD的長度．（精確到米，參考數據：≈，≈．提示：坡度等于坡面的鉛垂高度與水平長度之比）°．考點：解直角三角形的應用．分析：過梯形上底的兩個頂點向下底引垂線，得到兩個直角三角形和一個矩形，利用相應的性質求解即可．解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點E，F，則四邊形BCFE是矩形，由題意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i為1：，在Rt△ABE中，BE=20米，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈（米）．故壩底AD的長度約為米．點評：本題考查了坡度及坡角的知識，解答本題的關鍵是構造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．2.（2022?山東棗莊，第21題8分）如圖，一扇窗戶垂直打開，即OM⊥OP，AC是長度不變的滑動支架，其中一端固定在窗戶的點A處，另一端在OP上滑動，將窗戶OM按圖示方向想內旋轉35°到達ON位置，此時，點A、C的對應位置分別是點B、D．測量出∠ODB為25°，點D到點O的距離為30cm．（1）求B點到OP的距離；（2）求滑動支架的長．（結果精確到1cm．參考數據：sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈，sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）考點：解直角三角形的應用分析：（1）根據三角函數分別表示出OE和DE，再根據點D到點O的距離為30cm可列方程求解；（2）在Rt△BDE中，根據三角函數即可得到滑動支架的長．解答：解：（1）在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE=，則+=30，解得BE≈．故B點到OP的距離大約為；（2）在Rt△BDE中，BD=≈．故滑動支架的長．點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是運用數學知識解決實際問題．3.（2022?山東濰坊，第21題10分）如圖，某海域有兩個海拔均為200米的海島A和海島B，一勘測飛機在距離海平面垂直高度為1100米的空中飛行，飛行到點C處時測得正前方一海島頂端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飛行×104米到達點D處，在D處測得正前方另一海島頂端B的俯角是600，求兩海島間的距離AB．考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．分析：首先過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，易得四邊形ABFE為矩形，根據矩形的性質，可得AB=EF，AE=BF．由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數即可求得CE與DF的長，繼而求得島嶼兩端A、B的距離．解答：如圖，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF上CD，交CD的延長線于點F，則四邊形ABFE為矩形，所以AB=EF，AE=BF，由題意可知AE=BF=1100—200=900，CD=19900．∴在Rt△AEC中，∠C=450,AE=900,∴在Rt△BFD中，∠BDF=600，BF=900，BF=900∴∴AB=EF=CD+DF－CE=19900+－900=19000+答：兩海島之間的距離AB是(19000+300√3）米點評：此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質．注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用．4.（2022?山東煙臺，第21題7分）小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30°，AC長米，釣竿AO的傾斜角是60°，其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離．考點：解直角三角形的應用．分析：延長OA交BC于點D．先由傾斜角定義及三角形內角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC?tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，再證明△BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=米，然后根據BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離．解答：延長OA交BC于點D．∵AO的傾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC?tan∠ACD=?=（米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等邊三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+=（米），∴BC=BD﹣CD=﹣3=（米）．答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為米．點評：本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，作出輔助線得到Rt△ACD是解題的關鍵．5．（2022?湖南懷化，第21題，10分）兩個城鎮A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現電信部門需在C處修建一座信號發射塔，要求發射塔到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內部（1）那么點C應選在何處？請在圖中，用尺規作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）（2）設AB的垂直平分線交ME于點N，且MN=2（+1）km，在M處測得點C位于點M的北偏東60°方向，在N處測得點C位于點N的北偏西45°方向，求點C到公路ME的距離．考點：解直角三角形的應用-方向角問題；作圖—應用與設計作圖分析：（1）到城鎮A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C．（2）作CD⊥MN于點D，由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分別在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的長，從而求得CD的長即可．解答：解：（1）答圖如圖：（2）作CD⊥MN于點D，由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==；∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，∴ND==CD；∵MN=2（+1）km，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km．∴點C到公路ME的距離為2km．點評：本題考查了解直角三角形的應用及尺規作圖，正確的作出圖形是解答本題的關鍵，難度不大．6.（2022?湖南張家界，第21題，8分）如圖：我漁政310船在南海海面上沿正東方向勻速航行，在A點觀測到我漁船C在北偏東60°方向的我國某傳統漁場捕魚作業．若漁政310船航向不變，航行半小時后到達B點，觀測到我漁船C在東北方向上．問：漁政310船再按原航向航行多長時間，離漁船C的距離最近？（漁船C捕魚時移動距離忽略不計，結果不取近似值．）考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：首先作CD⊥AB，交AB的延長線于D，則當漁政310船航行到D處時，離漁政船C的距離最近，進而表示出AB的長，再利用速度不變得出等式求出即可．解答：解：作CD⊥AB，交AB的延長線于D，則當漁政310船航行到D處時，離漁政船C的距離最近，設CD長為x，在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=，∴AD=x，在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，設漁政船從B航行到D需要t小時，則=，∴=，∴（﹣1）t=，解得：t=，∴t=，答：漁政310船再按原航向航行小時后，離漁船C的距離最近．點評：此題主要考查了方向角問題以及銳角三角函數關系等知識，利用漁政船速度不變得出等式是解題關鍵．7.（2022?江西撫州，第21題，9分）如圖1所示的晾衣架，支架主視圖的基本圖形是菱形，其示意圖如圖2.晾衣架伸縮時，點在射線上滑動，∠的大小也隨之發生變化.已知每個菱形邊長均等于20cm,且=20cm.圖圖1圖2=1\*GB2⑴當∠=60°時，求兩點間的距離；=2\*GB2⑵當∠由60°變為120°時，點向左移動了多少cm?(結果精確到0.1cm)=3\*GB2⑶設cm,當∠的變化范圍為60°~120°(包括端點值)時，求的取值范圍.(結果精確到0.1cm)(參考數據，可使用科學計算器)解析：(1)如圖1，∵每個菱形的邊長都是20㎝，且DE=20㎝,∴CE=DE,∵∠CED=60°，∴⊿CED是等邊三角形，∴CD=20cm,∴C、D兩點之間的距離是20cm.(2)如圖2，作EH⊥CD于H,在⊿CED中，CE=DE，∠CED=120°∴∠ECD=30°,∴EH=CE=10,∴CH=10,∴CD=20,∴點C向左移動了(20－20),∴點A向左移動了(20－20)×3≈43.9cm.(3)如圖1，當∠CED=60°時，∵ED=EG,∠CGD=30°，在Rt⊿CGD中，，∵CG=40,∴DG=20≈；如圖2，當∠CED=120°時，∠CGD=60°,∴DG=CG=20,∴20≤≤.8．（2022?山東聊城，第21題，8分）如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河大道和風景帶稱為我市的一道新景觀．在數學課外實踐活動中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點處，利用測角儀分別對東岸的觀景臺D進行了測量，分別測得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離約為多少米（精確到1米）．（tan60°≈，tan75°≈）考點：解直角三角形的應用．分析：如圖，過點D作DE⊥AC于點E．通過解Rt△EAD和Rt△EBD分別求得AE、BE的長度，然后根據圖示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相關線段的長度代入列出關于ED的方程﹣=100．通過解該方程求得ED的長度．解答：解：如圖，過點D作DE⊥AC于點E．∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．則ED=≈≈323（米）．答：觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離約為323米．點評：本題考查了解直角三角形的應用．主要是正切概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算．9.(2022年貴州黔東南)黔東南州22．（10分）某校九年級某班開展數學活動，小明和小軍合作用一副三角板測量學校的旗桿，小明站在B點測得旗桿頂端E點的仰角為45°，小軍站在點D測得旗桿頂端E點的仰角為30°，已知小明和小軍相距（BD）6米，小明的身高（AB）米，小軍的身高（CD）米，求旗桿的高EF的長．（結果精確到，參考數據：≈，≈）考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析： 過點A作AM⊥EF于M，過點C作CN⊥EF于N，則MN=．由小明站在B點測得旗桿頂端E點的仰角為45°，可得△AEM是等腰直角三角形，繼而得出得出AM=ME，設AM=ME=xm，則CN=（x+6）m，EN=（x﹣）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，繼而可求得旗桿的高EF．解答： 解：過點A作AM⊥EF于M，過點C作CN⊥EF于N，∴MN=，∵∠EAM=45°，∴AM=ME，設AM=ME=xm，則CN=（x+6）m，EN=（x﹣）m，∵∠ECN=30°，∴tan∠ECN===，解得：x≈，則EF=EM+MF≈+=（m）．答：旗桿的高EF為．點評： 本題考查了解直角三角形的問題．該題是一個比較常規的解直角三角形問題，建立模型比較簡單，但求解過程中涉及到根式和小數，算起來麻煩一些．10.（2022?遵義21．（8分））如圖，一樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：，山坡坡面上E點處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題；解直角三角形的應用-坡度坡角問題．專題：應用題．分析：過點E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點H，根據CE=20米，坡度為i=1：，分別求出EF、CF的長度，在Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．解答：解：過點E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：樓房AB的高為（35+10）米．點評：本題考查了解直角三角形的應用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知識，構造直角三角形是解題關鍵．11.（2022?十堰15．（3分））如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時后到達碼頭B處，此時，觀測燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是24海里．（結果精確到個位，參考數據：≈，≈，≈）考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：作BD⊥AC于點D，在直角△ABD中，利用三角函數求得BD的長，然后在直角△BCD中，利用三角函數即可求得BC的長．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于點D．則∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣35°=45°．在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，則BC=BD=10×=10≈10×=24（海里）．故答案是：24．點評：本題主要考查了方向角含義，正確求得∠CBD以及∠CAB的度數是解決本題的關鍵．12.（2022?婁底22．（8分））如圖，有小島A和小島B，輪船以45km/h的速度由C向東航行，在C處測得A的方位角為北偏東60°，測得B的方位角為南偏東45°，輪船航行2小時后到達小島B處，在B處測得小島A在小島B的正北方向．求小島A與小島B之間的距離（結果保留整數，參考數據：≈，≈）考點：解直角三角形的應用-方向角問題分析：先過點C作CP⊥AB于P，根據已知條件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根據輪船的速度和航行的時間求出BC的值，在Rt△PCB中，根據勾股定理求出BP=CP的值，再根據特殊角的三角函數值求出AP的值，最后根據AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：過點C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵輪船的速度是45km/h，輪船航行2小時，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45，∵∠CAP=60°，∴tan60°==，∴AP=15，∴AB=AP+PB=15+45=15×+45×≈100（km）．答：小島A與小島B之間的距離是100km．點評：本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．13.（(2022年河南)分）在中俄“海上聯合—2014”反潛演習中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為300．位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機B側得潛艇C的俯角為680.試根據以上數據求出潛艇C離開海平面的下潛深度.（結果保留整數。參考數據:sin680≈,cos680≈,,tan680≈.≈解：過點C作CD⊥AB,交BA的延長線于點D.則AD即為潛艇C的下潛深度．根據題意得∠ACD=300，∠BCD=680．設AD=x.則BD＝BA十AD=1000＋x.在Rt△ACD中，CD=……………4分在Rt△BCD中，BD=CD·tan688∴1000+x=x·tan688…………………7分∴x=∴潛艇C離開海平面的下潛深度約為308米。……914.（2022?江蘇徐州,第25題8分）如圖，輪船從點A處出發，先航行至位于點A的南偏西15°且點A相距100km的點B處，再航行至位于點A的南偏東75°且與點B相距200km的點C處．（1）求點C與點A的距離（精確到1km）；（2）確定點C相對于點A的方向．（參考數據：≈，≈）考點： 解直角三角形的應用-方向角問題．分析： （1）作輔助線，構造直角三角形，解直角三角形即可；（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC為直角三角形；然后根據方向角的定義，即可確定點C相對于點A的方向．解答： 解：（1）如右圖，過點A作AD⊥BC于點D．由圖得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50．∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC==100≈173（km）．答：點C與點A的距離約為173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2022=40000，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：點C位于點A的南偏東75°方向．點評： 考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，關鍵是熟練掌握勾股定理，體現了數學應用于實際生活的思想．15.（2022?江蘇鹽城,第23題10分）鹽城電視塔是我市標志性建筑之一．如圖，在一次數學課外實踐活動中，老師要求測電視塔的高度AB．小明在D處用高1.5m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，然后向電視塔前進224m到達E處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°．求電視塔的高度AB．（取，結果精確到0.1m）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題分析：設AG=x，分別在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的長度，然后根據DE=224m，求出x的值，繼而可求出電視塔的高度AB．解答：解：設AG=x，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣=224，解得：x≈．則AB=+=（米）．答：電視塔的高度AB約為195.3米點評：本題考查了解直角三角形的應用，關鍵是根據仰角構造直角三角形，利用三角函數求解，注意利用兩個直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的常用方法．16.(2022?年山東東營,第22題8分)熱氣球的探測器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（≈，結果保留小數點后一位）？考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析： 過A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據三角函數即可求得BD和CD，即可求解．解答： 解：過A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×=120m，BC=40=≈277.1m．答：這棟樓高約為277.1m．點評： 本題主要考查了仰角與俯角的計算，一般三角形的計算，常用的方法是利用作高線轉化為直角三角形的計算．17．（2022?四川遂寧，第22題，10分）如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：sin2A1+sin2B1=1；sin2A2+sin2B2=1；sin2A3+sin2B3=（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1．（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．考點：勾股定理；互余兩角三角函數的關系；解直角三角形．分析：（1）由前面的結論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數的定義得出sinA=，sinB=，則sin2A+sin2B=，再根據勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；（3）利用關系式sin2A+sin2B=1，結合已知條件sinA=，進行求解．解答：解：（1）1．（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．∵sinA=，sinB=，∴sin2A+sin2B=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴sinB==．點評：本題考查了在直角三角形中互為余角三角函數的關系，勾股定理，銳角三角函數的定義，比較簡單．18．（2022?四川瀘州，第22題，8分）海中兩個燈塔A、B，其中B位于A的正東方向上，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點C處測得燈塔A在西北方向上，燈塔B在北偏東30°方向上，漁船不改變航向繼續向東航行30海里到達點D，這是測得燈塔A在北偏西60°方向上，求燈塔A、B間的距離．（計算結果用根號表示，不取近似值）考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：根據方向角的定義以及銳角三角函數關系得出AN，NC的長進而求出BN即可得出答案．解答：解：如圖所示：由題意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，過點A作AF⊥FD，垂足為F，則∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，∴AF=FC=AN=NC，設AF=FC=x，∴tan30°===，解得：x=15（+1），∵tan30°=，∴=，解得：BN=15+5，∴AB=AN+BN=15（+1）+15+5=30+20，答：燈塔A、B間的距離為（30+20）海里．點評：此題主要考查了方向角以及銳角三角函數關系，得出NC的長是解題關鍵．19．（2022?四川內江，第20題，9分）“馬航事件”的發生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機到相關海域進行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機觀測