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小學五年級下冊數學奧數知識點講解第9課《數學游戲》試題附答案

第九講數學游戲

游戲對策問題因常與智力游戲相結合，因此具有很大的趣味性.又由于解

題方法靈活，技巧性強，所以對開闊解題思路，提高分析問題解決問題的能力

是很有益處的。

例1在一個3X3的方格紙中，甲乙兩人輪流（甲先）住方格紙中填寫1、3、

4、5、6、7、8、9、10九個數中的一個，數不能重復.最后甲的得分是不計中

間行的上下兩行六個數之和，乙的得分是不計中間列的左右兩列六個數之和，

得分多者為勝.請你為甲找出一種必勝的策略。

例2在4X4的方格紙上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游

戲，由甲開始，二人交替地移動這粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移

動一格，誰把石子移到右上角誰勝.問甲能取勝嗎？如果要取勝，應采取什么

亦法？

例3甲乙兩人玩下面的游戲：有兩堆玻璃球，一堆8個，另一堆9個，甲乙兩人

輪流從中拿取，每次只能從同一堆中拿，個數（〉0）不限.規定拿到最后一個

球的人為輸.問如果甲先拿，他有無必勝的策略？

答案

第九講數學游戲

游戲對策問題因常與智力游戲相結合，因此具有很大的趣味性.又由于解

題方法靈活，技巧性強，所以對開闊解題思路，提高分析問題解決問題的能力

是很有益處的。

例1在一個3X3的方格紙中，甲乙兩人輪流（甲先）住方格紙中填寫1、3、

4、5、6、7、8、9、10九個數中的一個，數不能重復.最后甲的得分是不計中

間行的上下兩行六個數之和，乙的得分是不計中間列的左右兩列六個數之和，

得分多者為勝.請你為甲找出一種必勝的策略。

分析把題中的九個格標上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、

io

HS□

EH回

ES

甲的得分為：a+b+c+g+h+i

=（a+c+g+i）+（b+h）；

乙的得分為：a+d+g+c+f+i

=（a+c+g+i）+（d+f）

要想使甲的得分高于乙的得分，必須且只需使b+h〉d+f.要想使b+h〉d

+f,甲有兩種策略：一是增強自己的實力一一使b、h格內填的數盡可能地

大；二是削弱對方的實力一一使d、f格內填的數盡可能地小.下面分兩種情況

進行討論：取勝的總策略是“增強自己，削弱對方''兩者兼顧。

為了使敘述方便起見，我們分別用（甲2）和（a5）分別表示“甲第二

輪”和“在加填數字5"，其余如（乙1）,（甲1,biO）等含義類同。

一、甲首先使b、h處填的數盡可能大.譬如，（甲1,biO）。

1.乙為了不輸，（乙1）必須在例填數.（否則，即如（乙1）不在例填

數，（甲2）在例填余下來的最大數后，無論（乙2）怎么填，最后總有b+h

>10+8=18>16=9+7>d+f,甲勝）.這樣，必須（乙1,hl）.（乙當然在h

處填最小數）

2.（甲2）不能在冊或f處填數.（否則，如（甲2,dx）,x為任一數，則

（乙2）在血填余下來的最大數后，d+f>3+9=12>11=10+1=b+h,

乙勝）.當然（甲2）填9,譬如（甲2,eg）.（以后，只要甲不填錯，即只要

把余下數中的最小者填入d或f,就不會輸了）

3.顯然，（乙2,d8）,乙就不會輸了.因此不分勝負（此時（甲3）必須

（f3））o

同樣，若（甲1,hlO）,只要乙應對正確，乙就不會輸。

因此，只有

二、甲首先使d、f處填的數盡可能?。ú庞锌赡鼙貏伲?譬如，（甲1,

dl）。

L若（乙1）不在f處填數時，（甲2）在f處填余下來的最小數，則最后必

有

b+h>3+5=8>5=1+4>d+f,甲勝。

2.若（乙1,flO）（乙當然在f處填最大數），則（甲2,b9）,最后必有

b+h>9+3=12>U=l+10=d+f,甲勝.

因此，只要（甲1,dl）,且以后甲每次應對正確，則甲必勝。

解：甲第一輪采用削弱對方策略，把1填入d格（或用）內，以后無論乙

怎樣填，甲第二輪“隨機應變”，只要把盡可能大的數填入b或h格內，或者把

盡可能小的數填入潞（或d格）內（在乙沒有在f或d格內填數的情況下），甲

都能獲勝。

例2在4X4的方格紙上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游

戲，由甲開始，二人交替地移動這粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移

動一格，誰把石子移到右上角誰勝.問甲能取勝嗎？如果要取勝，應采取什么

辦法?

分析見右圖，采用倒推法.甲要取勝，就必須使乙在移動最后一次石子

后，石子落在再移動一次就能移到右上角的那些方格中，即.而移動一

次石子，石子必定落在這三個方格之一的方格只有㈢1和①2,即61和①2必須

由甲來占領。

?4?48

3（二區036

Hiij?3?7?2

8a

這樣，如一開始分析的那樣，就必須使乙在某一次移動石子后，石子落在

再移動一次就能移到①1或①2的那些方格中，即一4~G）9.而從哪些方格（除

了和⑦2外）中移動一次石子，石子必定落在一「一9之一中呢？只有用

①3.因此甲第一次移動石子就必須把石子從左下角移到①3中。

這樣，所有的格子被分成“勝位”（⑤3）和“負位”（：

一「一9）.自然，上圖中的e。和一U也是負位.即，誰占據勝位，誰將獲勝

（若此后他不失誤）；誰占負位，誰將失敗（若此后對方不失誤）。

解：由以上的分析和上圖知，甲要取勝，必須向右上走一格.然后，乙如

果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上

走.總之，甲走完第一步以后，乙朝哪個方向走，甲就朝哪個方向走，這樣甲

就能取勝。

如果是5X5的方格，甲要取勝，應采取怎樣的策略呢?

?0?O

一0000

?0?O?

000e一

■O①0?

根據例2的分析，我們仍用色表示勝位，一表示負位，如右圖所示.因

此，先移動石子者必輸一一第一次他只能把石子移動到負位。

例3甲乙兩人玩下面的游戲：有兩堆玻璃球，一堆8個，另一堆9個，甲乙兩人

輪流從中拿取，每次只能從同一堆中拿，個數（〉0）不限.規定拿到最后一個

球的人為輸.問如果甲先拿，他有無必勝的策略？

分析解這類題的一個常用的方法是從簡單的情形討論起，逐漸找出規律

或找出解來。

為了便于敘述，我們用（m,n）表示兩堆球，其中一堆有m個，另一堆有n

個。

我們從最簡單的情況（1,0）開始討論。

顯然，誰拿過球后兩堆球成為（1,0）的狀況，則對方必敗，因為此時對

方只有唯一的一種選擇一一拿走最后一個球.因此（1,0）是勝位，即誰造成

這個局面誰必勝.把這種情形簡記為

①（1,0）,勝位。

②（a）（n,0）,負位,其中n〉l；

（對方只需在n個球的那堆中拿走n—l個，對方就造出（1,0）局面，因

而對方勝）。

顯然，（b）（1,1）,負位；

（c）（n,1）,負位，其中n〉l。

（對方只需在n個球的那堆中的球全拿走，就造出Q,0）局面.）此外,

③（2,2）,勝位.（對方拿走1個變（2,1）,即②（c）中的情形；拿

走2個變（2,0）,即②（a）中的情形.對方均負）.因此

④（n,2）,負位，其中n〉2。

（對方只需在n個球的那堆中拿走n—2個，對方就占據了勝位（2,2）.）

與③類似，有

⑤（3,3）,勝位.（對方一次拿走任意多個后必變為②（a）,②

（c）,④三種負位之一.）因此

⑥（n,3）,負位，其中n〉3。

（對方只需在n個球的那堆中拿走n—3個，對方就占據了勝位（3,3）.）

還有

⑦（4,4）,勝位.（對方一次拿走任意多個后必變為②（a），②

（c）,④，⑥四種負位之一.）因此

⑧（n,4）,負位，其中n〉4。

（對方只需在n個球的那堆中拿走n—4個，對方就占據了勝位（4,4）.）

如此等等，

因此，當兩堆球的個數相等但不等于1,或只有一堆球，其中只有一個球

時，先拿的必輸；當個數不相等但不是（1,0）,或兩堆各有1個球時，先拿

的必勝（當為（n,0）時，拿走n-l個球；當為（n,1）時，拿走n個球；否

則，從多的一堆中拿走一些，使兩堆個數相等）。

解：如果甲先拿，甲有必勝的策略.甲的具體做法是：從9個球的那一堆中

拿1個，使兩堆球數相等，都是8個。

此后，乙從一堆中拿球，甲就從另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿

走，那么甲就比乙少拿一個即可（即就剩下一個球）；如果乙使得一堆球就剩

下一個球，那么甲就把另一堆球都拿走；否則，當乙拿幾個時，甲也拿同樣多

的個數.在前兩種情形，因為只剩下一堆球，而且這堆中只有一個球，因此乙

必輸；在后一種情形兩堆球的個數相同，只是比原來少了。

這樣，如果每次都是后一種情形，那么甲總能使得乙面臨兩堆各有2個球

的局面.這時，乙只有兩種選擇：拿2個或拿1個，然后，甲拿1個或拿2個，乙

也必輸。

5

4

3

2

1

0

0123456

說明：我們也可用例2的分析中的思考方法來解這道題。

先如右圖畫一表格.其中有“*"的格子表示兩堆球的個數分別為3和5.這

個方格記為（3,5）（第四行第六列）.顯然.（5,3）（第六行第四列）的含

義與（3,5）一樣（行、列分別為從下到上、從左到右編序）.我們的問題轉

化為：

在（8,9）格中有一石子（即“有兩堆玻璃球，一堆8個，另一堆9

個“），甲乙兩個輪流移動石子（即“甲乙兩人輪流從中拿球”），每次只能

向下或向左移動（即“每次只能從一堆中拿“），格數不限（即“個數不

限”）.規定把石子移到（0,0）格（即左下角）的人為輸（即“規定拿到最

后一個球的人為輸”）.問如果甲先移（即“甲先拿”），他有無必勝的策

略？

按照例2分析中的思路，我們把解答填在右面的表格里，其中的“+”、

”分別表示該格為“勝位”和“負位”.如，（1,0）格中的“+”表示誰

把石子移動到這一格即會勝.在表格中除了（1,0）,（0,1）是勝位外，其

余所有的勝位為（n,n）,n=2,3,4,….而（8,9）格是負位.因此，開始

時石子在（8,9）格中時，如甲先移，甲有必勝的策略，即甲必勝一一把石子

移到一個標有“+”的格子，即移到（8,8）格中.此時，無論乙怎樣移動石子

（只要按規定移），他必把石子移到負位.接著，甲又能把石子移到勝位，….

最后，甲必能把石子移到（1,0）格或（0,1）格.因此甲必勝。

8—+—

7——————+——

6—————+———

5————+—————

4———+—————

3——+——————

2—+—

1+——

0—+—

0123456789

請同學們自己推導一下上述填“+”、“-”的過程，并把“移石子”的必

勝策略“翻譯”成“取玻璃球”的策略.

習題九

1.如果把例1中的九個數改為1、2,3、4、5、6、7、8、10（注意缺少

9）,得分少者為勝，甲先填，請你為甲找出一種必勝的策略。

2.甲乙兩人玩輪流從右圖中選數的游戲，誰選的數中有三個在同一條直線

上（即和為15）,誰就勝.先選的人有沒有必勝的方案？

3.把例2分別改成在8X8和9X9方格紙上，甲乙兩人交替將右上角石子移

到左下角，其他規則不變，問誰能有必勝策略？

4.甲乙兩人玩下面的游戲：有三堆玻璃球，A堆有29個，B堆有16個，C堆

有16個，甲乙兩人依次從中拿取，每次只許從同一堆中拿，至少拿一個，多拿

不限，規定拿最后一個者為輸.問如果甲先拿，他有無必勝的策略？

習題九解答

1.解：為了敘述方便，在右圖中標上字母a、b、c、d、e、f、g、h、io

此題與例1幾乎完全一樣，只是把1改為10,把3?10改為8?1,把得分多者勝

改為得分少者勝.因此，甲在必勝策略上也相仿，只需把填大（?。蹈臑樘?/p>

?。ù螅?具體如下（記號見例1）：

H0□

S

ELE

（甲1,diO）.①若（乙1）不在f處填數，則（甲2）在剛填余下來的最

大數.甲勝。

②若（乙1,fl）（乙當然在己方剛填最小數），則（甲2,b2）.甲勝。

2.解：1、3、7、9這四個數各有兩種可能使三個數在一條直線上，2、4、

6,8各有三種可能，5有四種可能。

設甲先選.為了取勝，甲自然選5.乙選2.有以下幾種可能:

①甲選4,乙必選6,甲必選7,乙必選3.無勝負.（甲選6與選4類似）。

②甲選9,乙必選1,甲選任一己不能獲勝.（甲選7與選9類似）。

③甲選1,3是類似的，顯然不能獲勝。

④甲選8也顯然不能獲勝。

如果甲不先選5,而先選其他任一數，乙即選5.顯然無勝負.因此先選者無

必勝策略.

3.由例2知，采用倒推法分析得下圖

—+—+—+—+—■

■—

+—+—+—+—

—+—+—+—+—+

+—+—+—+——

—