5.2靜定平面桁架

計算靜定平面桁架各桿軸力的基本方法，仍是隔離體平衡法。一、結(jié)點法結(jié)點法是截取桁架一個結(jié)點為隔離體，利用平面匯交力系的兩個平衡條件，求解各未知軸力的方法。結(jié)點法最適合用于計算簡單桁架。根據(jù)截取隔離體方式的不同，又區(qū)分為結(jié)點法和截面法。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?1、利用力三角形與長度三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系簡化計算為了便于計算，一般不宜直接計算斜桿的軸力FN，而是將其分解為水平分力Fx和Fy先行計算。利用這個比例關(guān)系，就可以很簡便地由其中一個力推算其它兩個力，而不需要使用三角函數(shù)進(jìn)行計算。FNFNFxFylxlyloxyBAa(長度三角形)(力三角形)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?用圖示桁架為例，來說明結(jié)點法的應(yīng)用：首先，可由桁架的整體平衡條件，求出支座反力，標(biāo)注于圖中。然后，即可截取各結(jié)點解算桿件內(nèi)力。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy13AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?按結(jié)點1，2，…，6依次計算各結(jié)點相關(guān)桿件軸力。結(jié)點7用于校核。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN1515252012021520201531525152030405060460600515205030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-120201515255040300604575-456060-++AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?2、利用結(jié)點平衡的特殊情況，判定零桿和等力桿(1)關(guān)于零桿的判斷

在給定荷載作用下，桁架桿件中軸力為零的桿件，稱為零桿。1）L型結(jié)點：成L型匯交的兩桿結(jié)點無荷載作用，則這兩桿皆為零桿。2）T型結(jié)點：成T型匯交的三桿結(jié)點無荷載作用，則不共線的第三桿（又稱單桿）必為零桿，而共線的兩桿內(nèi)力相等且正負(fù)號相同（同為拉力或壓力）。圖5-6c可視為T型結(jié)點的推廣，圖中單桿的軸力FN2=0。L型結(jié)點FN1=0FN2=0T型結(jié)點（推廣）FN1=FPFN2=0FPT型結(jié)點FN3=0(單桿)FN2=FN1FN1=AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(2)關(guān)于等力桿的判斷1）X型結(jié)點：成X型匯交的四桿結(jié)點無荷載作用，則彼此共線的桿件的內(nèi)力兩兩相等。2）K型結(jié)點：成K型匯交的四桿結(jié)點，其中兩桿共線，而另外兩桿在此直線同側(cè)且交角相等，若結(jié)點上無荷載作用，則不共線的兩桿內(nèi)力大小相等而符號相反。3）Y型結(jié)點：成Y型匯交的三桿結(jié)點，其中兩桿分別在第三桿的兩側(cè)且交角相等，若結(jié)點上無與該第三桿軸線方向偏斜的荷載作用，則該兩桿內(nèi)力大小相等且符號相同。X型結(jié)點FN1FN3FN2=FN1FN4=FN3K型結(jié)點FN1FN3FN2=-FN1FN4≠

FN3aaY型結(jié)點FN1FN3FN2=FN1aaAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-1】試求圖示桁架各桿的軸力。解：(1)利用桁架的整體平衡條件，求出支座A、B的反力，并標(biāo)注于圖中。(2)判斷零桿(3)計算其余桿件的軸力ABCDEFPFP1.5aaaaa1.5a4FP/34FP/312345678910EFPFNE1FNE2FxE2FyE2ABCDEFP-4FP/3-4FP/3-4FP/3-4FP/35FP/35FP/35FP/35FP/3AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-2】試求圖5-9a所示桁架桿件a的軸力。首先，假設(shè)FN14=FN，取結(jié)點1為隔離體，由可得FN12=FN14=FNllllFP1234a1設(shè)FN14=FNFN12=FNFNaAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?依次由結(jié)點2（屬K型結(jié)點推廣情況）和結(jié)點3（屬K型結(jié)點情況），可判定FN23=

-FN12=-FNFN34=

-FN23=FNllllFP1234a1設(shè)FN14=FNFN12=FNFNaAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?再取結(jié)點4為隔離體，由，得（拉力）llllFP1234a1設(shè)FN14=FNFN12=FNFNa4FNFNFPAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?最后，再回到結(jié)點1，由，得（壓力）llllFP1234a14設(shè)FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFPAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?上述這種解題方法，稱通路法（或初參數(shù)法）。通路法實際上是結(jié)點法（或下面將介紹的截面法）再加上一“通路邊界的平衡條件”。通路法的具體作法是：1）選擇一適當(dāng)?shù)耐罚ㄈ绫纠龔?→2→3→4→再回到1），要求回路要通暢，且愈短愈好。先設(shè)通路上一桿的軸力為FN。2）由結(jié)點法（或截面法）依次求出通路上其它桿的軸力，表為初參數(shù)FN的函數(shù)。3）最后，由結(jié)點平衡或取部分結(jié)構(gòu)的平衡，利用通路邊界的平衡條件，求出FN，于是，整個桁架的計算即無困難。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?3、求解一個結(jié)點同時包含兩個未知斜桿內(nèi)力的簡便方法由，得于是，可由比例關(guān)系求得FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2-AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?又由，得于是，可由比例關(guān)系求得一般來說，在研究平衡問題時，可將任何一個力（如斜桿中的軸力）在其作用線上之任一點（如某結(jié)點），沿x、y方向分解為兩個分力，用以代替原力參加計算。FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2-AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?二、截面法截面法是截取桁架一部分（包括兩個以上結(jié)點）為隔離體，利用平面一般力系的三個平衡條件，求解所截桿件未知軸力的方法。截面法最適用于聯(lián)合桁架的計算；簡單桁架中少數(shù)指定桿件的內(nèi)力計算。1、選擇適當(dāng)?shù)慕孛?，以便于計算要求的?nèi)力【例5-3】試求圖示桁架指定桿件a、b的軸力。12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠ

ⅠAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?解：取Ⅰ-Ⅰ截面左邊（或右邊）部分為隔離體，將使問題得以順利解決。而且，可由一個平衡方程解出一個未知力。由，可得1271082FPFPabⅠⅠFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,1012345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠ

ⅠAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?由，可得1271082FPFPabⅠⅠFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,1012345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠ

ⅠAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?2、選擇適當(dāng)?shù)钠胶夥匠?，使每個方程中只含一個未知力FPFPFPFPFPFAyFByⅠⅠaABC0FPFAyFByⅠⅠaCAB0FPFPFAyⅠⅠCFNa(矩心)FPFAyⅠⅠACxyFNaAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-4】試求圖5-14a所示桁架指定桿件1、2、3的軸力。解：截取截面Ⅰ-Ⅰ左邊部分為隔離體（參見圖5-14b、c、d），只需注意選擇適當(dāng)矩心，分別列寫出相應(yīng)的三個力矩平衡方程，即可求出所截開三桿的未知軸力。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPACⅠⅠF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)FPAC1.5FPⅠⅠFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)FPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2FⅠⅠAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(1)求FN3在圖5-14b中，由，得1.5FP×4-FP×2+Fx3×2=0FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPACⅠⅠF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(2)求FN2：在圖5-14c中，由，得FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPAC1.5FPⅠⅠFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(3)求FN1：在圖5-14d中，由，得在分析桁架內(nèi)力時，如能選擇合適的截面、合適的平衡方程及其投影軸或矩心，并將桿件未知軸力在適當(dāng)?shù)奈恢眠M(jìn)行分解，就可以避免解聯(lián)立方程，做到一個平衡方程求出一個未知軸力，從而使計算工作得以簡化。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2FⅠⅠAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?3、截面法求解聯(lián)合桁架截面法還常用于計算聯(lián)合桁架中各簡單桁架之間聯(lián)系桿的軸力。作Ⅰ-Ⅰ截面并取左邊（或右邊）為隔離體，由求出FNa。FPFPFPFPFAyFByABCDEⅠⅠa(聯(lián)系桿)FPFPFPFPFAyACⅠⅠDFNaAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?FPFPFAyFByABCDabcⅠ12ⅠFPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2BC可作一封閉截面Ⅰ-Ⅰ，截取隔離體如圖5-16b所示。由可求出FNb。由，可求出FNa。由，可求出FNc。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?三、結(jié)點法與截面法的聯(lián)合運(yùn)用【例5-5】試求圖5-17所示桁架指定桿件a、b、c的軸力。解：(1)求FNa：取截面Ⅰ-Ⅰ上邊部分為隔離體FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(2)求FNb：取結(jié)點1為隔離體FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(3)求FNc：取結(jié)點2為隔離體FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-6】試求圖5-18a所示桁架指定桿件a、b、c的軸力。解：(1)求FNa：取截面Ⅰ-Ⅰ左邊為隔離體由求得FNa

1234567891011121314ⅠⅠabcⅡ

ⅡF1yF12yFP123F1yⅠⅠ46FNa(矩心一)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(2)求FNb：取截面Ⅱ-Ⅱ左邊為隔離體由求出Fxb，從而按比例求得FNb。1234567891011121314ⅠⅠabcⅡ

ⅡF1yF12yFPF1y123456ⅡⅡ7FNaFNb(矩心二)FxbFybAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(3)求FNc：取結(jié)點5為隔離體,該結(jié)點屬于K型結(jié)點FNc

=-FNb

1234567891011121314ⅠⅠabcⅡ

ⅡF1yF12yFP5FNc=-FNbFNbAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-7】試求圖5-19a所示桁架指定桿件a、b的軸力。解：(1)取結(jié)點6為隔離體（圖5-19b），由，得由，得12345678abⅠⅠ2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN660kN-60kN-60kNFN76=60kNAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(2)取截面Ⅰ-Ⅰ左邊為隔離體（圖5-19c），由，得再由（圖5-19c），得12345678abⅠⅠ2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN573960kN80kNFN76=60kNⅠⅠFNbFN13FN38(矩心一)(矩心二)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(3)取結(jié)點8為隔離體（圖5-19d），屬于X型結(jié)點，可知12345678abⅠⅠ2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN8FNaFN38FN18FN84AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?四、對稱桁架的計算若桁架的幾何形狀、支承形式和桿件剛度（截面尺寸及材料）都關(guān)于某一軸線對稱，則稱此桁架為對稱桁架。FPFPFPFPAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?1、對稱桁架的基本特性(1)在對稱荷載作用下，對稱桿件的內(nèi)力是對稱的，即大小相等，且拉壓一致。(2)在反對稱荷載作用下，對稱桿件的內(nèi)力是反對稱的，即大小相等，但拉壓相反。(3)在任意荷載作用下，可將荷載分解為對稱荷載與反對稱荷載兩組，分別計算出內(nèi)力后再疊加。

對稱荷載，是指位于對稱軸兩邊大小相等、若將結(jié)構(gòu)沿對稱軸對折后，其作用線重合且方向相同的荷載；而反對稱荷載，則是指位于對稱軸兩邊大小相等、若將結(jié)構(gòu)沿對稱軸對折后，其作用線重合但方向相反的荷載。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-8】試?yán)帽容^簡捷的方法計算圖5-21a所示桁架各桿的軸力。解：利用對稱性分析該桁架。首先，將對稱桁架上作用的一般荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載兩種情況，分別計算，如圖5-21b和圖5-21c所示。然后將各對應(yīng)桿的軸力疊加。計算過程從略。1123452FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP--123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345=+AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例5-9】利用對稱性重新計算例5-2中圖5-9所示桁架桿件a的軸力。解：(1)將圖5-22a荷載與支座反力一起分解為對稱荷載和反對稱荷載，如圖5-22b、c所示。(2)求在對稱荷載作用下桿件a的軸力FNa1：FNa1=

-FP。FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP