第十二章 第100煉利用同構特點解決問題其它高考考點第100煉利用同構特點解決問題一、基礎知識：1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構式的應用：（1）在方程中的應用：如果方程和呈現同構特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函數的單調性找到聯系。可比較大小或解不等式（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數列便于求解二、典型例題：例1：（2015天津十二校聯考）設，滿足，則（）A.B.C.D.思路：本題研究對象并非，而是，進而可變形為，觀察上下式子左邊結構相同，進而可將相同的結構視為一個函數，而等式右邊兩個結果互為相反數，可聯想到函數的奇偶性，從而利用函數性質求解解：設，可得為奇函數，由題意可得：答案：B例2：若函數在區間上的值域為，則實數的取值范圍是_____________思路：注意到是增函數，從而得到，即，發現兩個式子為的同構式，進而將同構式視為一個方程，而為該方程的兩個根，的取值只需要保證方程有兩根即可解：為增函數為方程在上的兩個根，即有兩個不同的根令所以方程變形為：，結合圖像可得：答案：例3：設，則|“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充要又不必要條件思路：觀察可發現其同構的特點，所以將這種結構設為函數，分析其單調性。可得為增函數。所以，點恒在直線上，故無論在何處，恒過定點例8：已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）過右焦點作直線交橢圓于，交軸于，若，求解：（1）解得（2）思路：本題肯定從入手，將向量關系翻譯成坐標的方程，但觀察發現兩個等式除了不同，系數不同，其余字母均相同。且也僅是角標不同。所以可推斷由列出的方程是同構的，而在同一橢圓上，所以如果用表示，代入橢圓方程中也可能是同構的。通過計算可得：，所以為方程的兩個不同根，進而利用韋達定理即可得到解：由（1）得，設直線，可得，設可得：，由可得：①因為在橢圓上，，將①代入可得：對于，，同理可得：為方程的兩個不同根例9：已知函數，為正常數，若，且對任意，都有，求的取值范圍．思路：觀察到已知不等式為輪換對稱式，所以考慮定序以便于化簡，令，則不等式變形為，將相同變量放置一側，可發現左右具備同構特點，所以將相同結構視為函數，從而由且可知只需為增函數即可。從而只需不等式恒成立即可，從而求出的范圍解：，不妨設，則恒成立不等式轉化為：設，則由恒成立和可得：只需在單調遞增即可恒成立即恒成立所以只需令在單調遞減，在單調遞增例10：已知數列滿足，且求數列的通項公式思路：本題遞推公式較為復雜，所以考慮先化簡分式，觀察到分子中含有分母的項，所以想到分離常數簡化分式，即，尋求相鄰同構的特點，轉化為，即可設，遞推公式變為，則能夠求出通項公式，進而求出解：設，則遞推公式變為，且為公差是的等差數列，解得小煉有話說