知識點

列方程組解決實際問題

滿足條件一般步驟列方程組解決實際問題

(1)方程兩邊表示的是同類量.(2)同類量的單位要統一.(3)方程兩邊的數值要相等.審:審題,分析題中已知什么,求什么,找出題中的相等關系.設:設未知數,可以直接設元,也可

以間接設元.列:根據題目中能表示全部含義

的相等關系列出方程,并組成方程組.解:解方程組,得出未知量.檢:考慮所得的解是否符合問題的實際意義.答:寫出答案.常用的幾種基本等量關系(1)行程問題:速度×時間=路程,順水速度=靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度.(2)配套問題:一套中兩個量的數量比=兩個量的總量之比.(3)商品利潤問題:利潤=售價-進價,利潤=進價×利潤率.(4)工程問題:工作效率×工作時間=工作量,合作工作效率=甲工作效率+乙工作效率.

溫馨提示(1)作答時,要根據實際問題的意義判斷求得的結果是否合理,不符合

題意的解應舍去.(2)在“設”和“答”時,注意寫清楚單位名稱.

例夏季來臨,天氣逐漸炎熱起來.某商店將某種碳酸飲料每瓶的價格上

調了10%,將某種果汁飲料每瓶的價格下調了5%.已知調價前買這兩種飲

料各一瓶共花費7元,調價后買上述碳酸飲料3瓶和果汁飲料2瓶共花費1

7.5元,問這兩種飲料在調價前每瓶各多少元?解析

設調價前碳酸飲料每瓶x元,果汁飲料每瓶y元,依題意,得

解得

答:調價前碳酸飲料每瓶的價格為3元,果汁飲料每瓶的價格為4元.點撥設未知數時,一般是求什么,設什么,并且所列方程的個數與未知數

的個數相等.題型一

行程問題例1甲、乙二人在一環形場地上從A點同時同向勻速跑步,甲的速度是

乙的2.5倍,4分鐘后兩人首次相遇,此時乙還需要跑300米才跑完第一圈,

求甲、乙二人的速度及環形場地的周長.解析

設乙的速度為x米/分,環形場地的周長為y米,則甲的速度為2.5x米/

分.由題意得

解得

∴2.5x=2.5×150=375.答:甲、乙二人的速度分別為375米/分、150米/分,環形場地的周長為900

米.點撥列二元一次方程組解應用題的關鍵是從題目中找出兩個等量關

系,設出適當的未知數,然后用含未知數的代數式表示等量關系中相應量,

進而列出方程組.題型二

配套問題例2某車間有28名工人生產螺栓和螺母,每人每天平均能生產螺栓12個

或螺母18個,若一個螺栓配兩個螺母,則應分配多少名工人生產螺栓和多

少名工人生產螺母,才能使每天生產出來的螺栓和螺母剛好配套?解析

設分配x人生產螺栓,分配y人生產螺母.由題意,得

解得

答:應分配12人生產螺栓,16人生產螺母,才能使每天生產出來的螺栓和螺

母剛好配套.點撥解決配套問題要弄清:(1)每套產品各部分比例;(2)生產各部分的

工人數之和=工人總數.題型三

圖文信息問題例3在一次春游中,小明、小亮等同學隨家人一同到江郎山旅游,如圖8

-3-1所示是購買門票時,小明與他爸爸的對話.圖8-3-1(1)小明他們一共去了幾個成人?幾個學生?(2)請你幫助小明算一算,用哪種方式買票更省錢?并說明理由.解析

(1)設小明他們一共去了x個成人,y個學生.根據題意,得

解得

答:小明他們一共去了7個成人,4個學生.(2)購買團體票更省錢,理由如下:若按14人購買團體票,則共需14×40×6

0%=336(元),336<360,所以購買團體票更省錢.點撥解圖文信息題的關鍵是讀懂題意,并從圖中獲取有用的信息,然后

對這些信息進行分析,并聯系相關的數學知識解決問題.題型四

商品銷售打折問題例4某商場購進商品后,加價40%作為銷售價,商場搞優惠促銷活動,決

定甲、乙兩種商品分別以七折和九折銷售,某顧客購買甲、乙兩種商品,

共付款399元,這兩種商品原銷售價之和為490元,問這兩種商品進價分別

為多少元?解析

解法一:設甲、乙兩種商品進價分別為x元、y元.根據題意,得

解得

答:甲、乙兩種商品的進價分別為150元、200元.解法二:設甲、乙兩種商品的原銷售價分別為x元、y元.根據題意,得

解得

所以甲種商品的進價為:210÷1.4=150(元),乙種商品的進價為:280÷1.4=200(元).答:甲、乙兩種商品的進價分別為150元、200元.點撥銷售問題中進價是很關鍵的一個量,標價=進價+進價×利潤率=(1

+利潤率)×進價,售價=標價×

(當打n折銷售時).要把進價、標價、售價、利潤率這幾個量及它們之間的關系弄清楚.知識點

列方程組解決實際問題1.(2016河北石家莊二中期末)小錦和小麗購買了價格分別相同的中性筆

和筆芯.小錦買了20支筆和2盒筆芯,用了56元;小麗買了2支筆和3盒筆芯,

僅用了28元.設每支中性筆x元,每盒筆芯y元,根據題意所列方程組正確的

是()A.

B.

C.

D.

答案

B

本題的兩個等量關系:①20支筆和2盒筆芯用了56元;②2支筆

和3盒筆芯用了28元.2.(2015遼寧盤錦中考)有大小兩種貨車,2輛大貨車與3輛小貨車一次可以

運貨15.5噸,5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35噸.設一輛大貨車一

次可以運貨x噸,一輛小貨車一次可以運貨y噸,根據題意所列方程組正確

的是

()A.

B.

C.

D.

答案

A

題目中蘊涵著兩個相等關系:2輛大貨車的運貨量+3輛小貨車

的運貨量=15.5噸;5輛大貨車的運貨量+6輛小貨車的運貨量=35噸,根據

這兩個相等關系便可列出方程組.3.(2014福建漳州中考)水仙花是漳州市花,如圖8-3-1,在長為14m,寬為10

m的長方形展廳劃出三個形狀、大小完全一樣的小長方形擺放水仙花,

則每個小長方形的周長為

m.

圖8-3-1解析

設小長方形的長為xm,寬為ym,則

所以3x+3y=24,∴x+y=8.∴一個小長方形的周長為2x+2y=16m.答案164.(2016江蘇揚州中學月考)清明節期間,七(1)班全體同學分成若干小組

到革命傳統教育基地緬懷先烈,若每小組7人,則余下3人;若每小組8人,則

少5人.由此可知該班共有

名同學.答案59解析

設一共分為x個小組,該班共有y名同學,根據題意,得

解得

故答案為59.5.(2016云南中考)食品安全是關乎民生的問題,在食品中添加過量的添加

劑對人體是有害的,但適量的添加劑對人體無害且有利于食品的儲存和

運輸.某飲料加工廠生產的A、B兩種飲料均需加入同種添加劑,A種飲料

每瓶需加該添加劑2克,B種飲料每瓶需加該添加劑3克,已知生產共100瓶

的A、B兩種飲料恰好添加了270克該添加劑,則生產A、B兩種飲料各多

少瓶?解析

設飲料加工廠生產了A種飲料x瓶,B種飲料x瓶,根據題意得

解得

答:生產A種飲料30瓶,生產B種飲料70瓶.6.(2015云南曲靖中考)某商場投入13800元資金購進甲、乙兩種礦泉水

共500箱,礦泉水的成本價和銷售價如下表所示:(1)該商場購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱?(2)全部售完500箱礦泉水,該商場共獲利多少元?

成本價(元/箱)銷售價(元/箱)甲2436乙3348解析

(1)設商場購進甲種礦泉水x箱,購進乙種礦泉水y箱,由題意得

解得

答:商場購進甲種礦泉水300箱,購進乙種礦泉水200箱.(2)300×(36-24)+200×(48-33)=3600+3000=6600(元).答:該商場共獲得利6600元.1.(2015山東泰安中考)小亮的媽媽用28元錢買了甲、乙兩種水果,甲種水

果每千克4元,乙種水果每千克6元,且乙種水果比甲種水果少買了2千克,

求小亮媽媽兩種水果各買了多少千克.設小亮媽媽買了甲種水果x千克,

乙種水果y千克,則可列方程組為

()A.

B.

C.

D.

答案

A

∵小亮的媽媽用28元錢買了甲、乙兩種水果,甲種水果每千

克4元,乙種水果每千克6元,買了甲種水果x千克,買了乙種水果y千克,∴4x

+6y=28,又∵乙種水果比甲種水果少買了2千克,∴x=y+2,因此本題選A.2.(2016湖北鄂州鄂城期末)小明和小麗到文化用品商店幫助同學們買文

具,小明買了3支筆和2個圓規,共花19元;小麗買了5支筆和4個圓規,共花3

5元.設每支筆x元,每個圓規y元,請列出滿足題意的方程組

.答案

解析

每支筆x元,每個圓規y元,由“買了3支筆和2個圓規,共花19元”列

方程3x+2y=19;由“買了5支筆和4個圓規,共花35元”列方程5x+4y=35,故

列方程組

3.(2016河北保定十七中月考)我市某超市舉行店慶活動,對甲、乙兩種商

品實行打折銷售.打折前,購買3件甲商品和1件乙商品需用190元;購買2件

甲商品和3件乙商品需用220元,而店慶期間,購10件甲商品和10件乙商品

僅需735元,這比打折前少花多少錢?解析

設打折前甲商品的單價為x元,乙商品的單價為y元,由題意得

解得

則打折前購買10件甲商品和10件乙商品需要:10×(50+40)=900(元),∵打折后實際花費735元,∴這比打折前少花900-735=165(元).答:打折后比打折前少花165元.4.根據圖中給出的信息,解答下列問題:(1)放入一個小球水面升高

cm,放入一個大球水面升高

cm;(2)如果要使水面上升到50cm,應放入大球、小球各多少個?

解析

(1)2;3.(2)設應放入x個大球,y個小球,由題意,得

解得x=4,y=6.答:應放入4個大球,6個小球.1.陳老師打算購買氣球裝扮學校“六一”兒童節活動會場,氣球的種類

有“笑臉”和“愛心”兩種.兩種氣球的價格不同,但同一種氣球的價格

相同.由于會場布置需要,購買時以一束(4個氣球)為單位,已知第一、二

束氣球的價格如圖8-3-2所示,則第三束氣球的價格為

()

圖8-3-2A.14元

B.15元

C.16元

D.17元答案

C

設笑臉和愛心氣球的單價分別為x元和y元,由題意得

解得

∴2x+2y=16.∴第三束氣球的價格為16元.2.(2015福建泉州五中月考)某公園“六一”期間舉行特優讀書游園活動,

成人票和兒童票均有較大折扣.張凱、李利都隨他們的家人參加了本次

活動.王斌也想去,就去打聽張凱、李利買門票花了多少錢.張凱說他家去

了3個大人和4個小孩,共花了38元錢;李利說他家去了4個大人和2個小孩,

共花了44元錢.王斌家計劃去3個大人和2個小孩,請你幫他計算一下,需準

備

元錢買門票.解析

設1個大人的門票為x元,1個小孩的門票為y元,由題意得

解得

∴3x+2y=34,∴需準備34元錢買門票.答案343.為鼓勵居民節約用電,某省試行階梯電價收費制,具體執行方案如下:例如:一戶居民七月份用電420度,則需交電費420×0.85=357(元).某戶居

民五、六月份共用電500度,交電費290.5元.已知該戶居民六月份用電量

大于五月份,且五、六月份的用電量均小于400度.問該戶居民五、六月

份各用電多少度?檔次每戶每月用電量(度)執行電價(元/度)第一檔小于或等于2000.55第二檔大于200且小于4000.6第三檔大于或等于4000.85解析

因為兩個月的用電量為500度,所以每個月用電量不可能都在第一

檔,假設該戶居民五月、六月每月用電均超過200度,由題意知此時的電

費共計:500×0.6=300(元),而300>290.5,不符合題意,又因為六月份用電量

大于五月份,所以五月份用電量在第一檔,六月份用電量在第二檔.設五月份用電x度,六月份用電y度,根據題意,得

解得

答:該戶居民五、六月份各用電190度、310度.1.現用190張鐵皮做盒子,每張鐵皮可做8個盒身或22個盒底,一個盒身與

兩個盒底配成一個完整的盒子,設用x張鐵皮做盒身,y張鐵皮做盒底,則可

列方程組為

()A.

B.

C.

D.

答案

A

因為一個盒身與兩個盒底配套,所以盒底數是盒身數的2倍,且

共用去190張鐵皮,所以可列方程組為

故選A.2.如圖所示,小強和小紅一起搭積木.小強所搭的“小塔”的高度為23

cm,小紅所搭的“小塔”的高度為22cm.設每塊A型積木的高為xcm,每

塊B型積木的高為ycm,則x=

,y=

.

答案4;5解析

由題意得

解得

3.(2015湖南婁底中考)假如婁底市的出租車是這樣收費的:起步價所包含

的路程為0~1.5千米,超過1.5千米的部分按每千米另收費.小劉說:“我乘出租車從市政府到婁底汽車站走了4.5千米,付車費10.5

元.”小李說:“我乘出租車從市政府到婁底火車站走了6.5千米,付車費14.5

元.”(9分)問:(1)出租車的起步價是多少元?超過1.5千米后每千米收費多少元?(2)小張乘出租車從市政府到婁底南站(高鐵站)走了5.5千米,應付費多少

元?解析

(1)設出租車的起步價是x元,超過1.5千米后每千米收費y元.由題意得

解得

答:出租車的起步價是4.5元,超過1.5千米后每千米收費2元.(2)4.5+(5.5-1.5)×2=12.5(元).答:應付車費12.5元.4.(2016貴州遵義四中期末)為響應國家節能減排的號召,鼓勵居民節約用

電,各省先后出臺了居民用電“階梯價格”制度,下表是某省的電價標準

(每月).例如:方女士家5月份用電500度,電費=180×0.6+220×二檔電價+10

0×三檔電價=352元;李先生家5月份用電460度,交費316元.請問表中二檔

電價、三檔電價各是多少?檔次電量電價一檔不超過180度0.6元/度二檔超過180度且不超過400度的部分二檔電價三檔超過400度的部分三檔電價解析

設題表中二檔電價為x元/度,三檔電價為y元/度.根據題意,得

解得

答:表中二檔電價為0.7元/度,三檔電價為0.9元/度.5.某景點的門票價格如下表:某校七年級(一)、(二)兩班計劃去游覽該景點,其中(一)班人數少于50人,

(二)班人數多于50人且少于100人,如果兩班都以班為單位單獨購票,則一

共支付1118元;如果兩班聯合起來作為一個團體購票,則只需花費816元.(1)兩個班各有多少人?(2)團體購票與單獨購票相比較,兩個班各節約了多少錢?購票人數/人1~5051~100100以上每人門票價/元12108解析

(1)設七年級(一)班有x人,七年級(二)班有y人,因為100×8=800<81

6,所以兩班的總人數大于100,由題意得

解得

答:七年級(一)班有49人,七年級(二)班有53人.(2)七年級(一)班節省的費用為(12-8)×49=196(元),七年級(二)班節省的費用為(10-8)×53=106(元).一、選擇題1.(2016山東日照一中月考,5,★☆☆)20位同學在植樹節這天共種了52棵

樹苗,其中男生每人種3棵,女生每人種2棵.設男生有x人,女生有y人.根據

題意,列方程組正確的是()A.

B.

C.

D.

答案

D

因為男生有x人,女生有y人,所以根據題意,得

故選D.二、填空題2.(2015湖南長沙岳麓學士中學期末,20,★☆☆)同學們每個星期都會聽

著國歌升國旗,但國歌歌詞有多少個字可能大家都不知道.已知歌詞的字

數是一個兩位數,十位數字是個位數字的兩倍,且十位數字比個位數字大

4,則國歌歌詞的字數是

個.答案84解析

設個位數字為x,十位數字為y,則

解得

∴該兩位數為84.三、解答題3.(2016江西玉山一中期末,22,★★★)某旅行社組織一批游客外出旅游,

原計劃租用45座客車若干輛,但有15人沒有座位;若租用同樣數量的60座

客車,則多出一輛車,且其余客車恰好坐滿.已知45座客車租金為每輛220

元,60座客車租金為每輛300元,問:(1)這批游客的人數是多少?原計劃租用多少輛45座客車?(2)若租用同一種車,要使每位游客都有座位,應該怎樣租用才合算?解析

(1)設這批游客的人數是x,原計劃租用y輛45座客車.根據題意得

解得

答:這批游客有240人,原計劃租用5輛45座客車.(2)6×220=1320>4×300=1200,∴租60座客車4輛才合算.1.(2016福建福安實驗中學月考,3,★☆☆)如圖,寬為50cm的矩形圖案由1

0個相同的小長方形拼成,則其中一個小長方形的面積為

()

A.400cm2

B.500cm2

C.600cm2

D.4000cm2

答案

A

設小長方形的長為xcm,寬為ycm,結合題圖,得

解得

∴小長方形的面積為40×10=400(cm2),故選A.2.(2016安徽合肥六中期末,4,★★☆)一個兩位數的十位數字與個位數字

之和是7,如果把這個兩位數加上45,那么恰好成為把原兩位數的個位數

字和十位數字對調后組成的數,那么原兩位數是

()A.16

B.25

C.52

D.61答案

A

設原兩位數的個位數字為a,十位數字為b,則這個兩位數為(10

b+a),由題意,得

解得

所以原兩位數為10×1+6=16.故選A.3.(2016甘肅白銀會寧期末,18,★★☆)根據圖中的信息,求梅花鹿和長頸

鹿現在的高度.

解析

設梅花鹿現在的高度為xm,長頸鹿現在的高度為ym.根據題意,得

解得

答:梅花鹿現在的高度為1.5m,長頸鹿現在的高度為5.5m.4.(2015山東嶗山十一中期末,22,★☆☆)為落實“促民生、促經濟”政

策,某公司今年1月份調整了職工的月工資分配方案,調整后月工資由基

本保障工資和計件獎勵工資兩部分組成(計件獎勵工資=銷售每件產品

的獎勵金額×銷售件數).下表是甲、乙兩位職工今年1月份的工資情況:職工甲乙月銷售件數(件)200180月工資(元)18001700(1)試求調整后職工的月基本保障工資和銷售每件產品的獎勵金額各為

多少元;(2)如果職工丙想在今年二月份工資達到2600元,那么丙當月應銷售多少

件產品?解析

(1)設調整后職工的月基本保障工資為x元,銷售每件產品的獎勵

金額為y元,根據題意得

解得

∴調整后職工的月基本保障工資為800元,銷售每件產品的獎勵金額為5

元.(2)設丙當月應銷售z件產品,根據題意得800+5z=2600,解得z=360,∴丙當月應銷售360件產品.一、選擇題1.(2016廣東茂名中考,10,★☆☆)我國古代數學名著《孫子算經》中記

載了一道題,大意是:100匹馬恰好拉了100片瓦,已知1匹大馬能拉3片瓦,3

匹小馬能拉1片瓦,問有多少匹大馬、多少匹小馬?若設大馬有x匹,小馬

有y匹,那么可列方程組為

()A.

B.

C.

D.

答案

C

根據題意,得

故選C.2.(2015四川廣元中考,6,★☆☆)一副三角板按如圖8-3-3所示的方式擺

放,且∠1比∠2大50°,若設∠1=x°,∠2=y°,則可得到的方程組為

()

圖8-3-3A.

B.

C.

D.

答案

D

根據題圖中的平角和直角,得方程x+y=90;根據∠1比∠2的度

數大50°,得方程x=y+50.可列方程組為

3.(2016四川宜賓中考,12,★☆☆)今年“五一”節,A,B兩人到商場購物,A

購3件甲商品和2件乙商品共支付16元,B購5件甲商品和3件乙商品共支

付25元,求一件甲商品和一件乙商品各售多少元.設甲商品售價x元/件,乙

商品售價y元/件,則可列方程組:

.二、填空題答案

解析

甲商品售價x元/件,乙商品售價y元/件,根據“A購3件甲商品和2件乙商品共支付16元,B購5件甲商品和3件乙商

品共支付25元”可列出方程組:

4.(2015湖南湘潭中考,13,★☆☆)湘潭盤龍大觀園開園啦!其中杜鵑園的

門票售價為:成人票每張50元,兒童票每張30元.如果某日杜鵑園售出門票

100張,門票收入共4000元.那么當日售出成人票

張.答案50解析

設當日售出成人票x張,兒童票y張,根據題意,得

解得

故當日售出成人票50張.三、解答題5.(2016四川自貢中考,18,★☆☆)某廠為了豐富大家的業余生活,組織了

一次工會活動,準備一次性購買若干鋼筆和筆記本(每支鋼筆的價格相

同,每本筆記本的價格相同)作為獎品.若購買2支鋼筆和3本筆記本共需6

2元,購買5支鋼筆和1本筆記本共需90元,問購買一支鋼筆和一本筆記本

各需多少元?解析

設購買一支鋼筆需要x元,購買一本筆記本需要y元.依題意,得

解得

答:購買一支鋼筆需要16元,購買一本筆記本需要10元.6.(2016江蘇鎮江中考,24,★★☆)校田園科技社團計劃購進A、B兩種花

卉,兩次購買每種花卉的數量以及每次的總費用如下表所示:(6分)(1)你從表格中獲取了什么信息?

(請用自己的語言描述,寫出一

條即可);(2)A、B兩種花卉每株的價格各是多少元?

花卉數量(單位:株)

總費用(單位:元)

AB

第一次購買1025225第二次購買2015275解析

(1)答案不唯一,信息正確合理即可.

(2分)(2)設A、B兩種花卉每株的價格分別是x元、y元,由題意得

(3分)解得

(5分)答:A、B兩種花卉每株的價格分別是10元、5元.

(6分)1.(2016江蘇鹽城中考,16,★★☆)李師傅加工1個甲種零件和1個乙種零

件的時間分別是固定的,現知道李師傅加工3個甲種零件和5個乙種零件

共需55分鐘;加工4個甲種零件和9個乙種零件共需85分鐘,則李師傅加工

2個甲種零件和4個乙種零件共需

分鐘.解析

設李師傅加工1個甲種零件需x分鐘,加工1個乙種零件需y分鐘,根

據題意,得

①+②,得7x+14y=140,∴x+2y=20,∴2x+4y=40,故答案為40.答案402.(2015北京中考,13,★☆☆)《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作,奠定了中國傳統數學的基

本框架.它的代數成就主要包括開方術、正負術和方程術.其中,方程術是

《九章算術》最高的數學成就.《九章算術》中記載:“今有牛五、羊二,直金十兩;牛二、羊五,直金八

兩.問:牛、羊各直金幾何?”譯文:“假設有5頭牛、2只羊,值金10兩;2頭牛、5只羊,值金8兩.問:每頭

牛、每只羊各值金多少兩?”設每頭牛值金x兩,每只羊值金y兩,可列方程組為

.答案

解析

由譯文可知,5x+2y=10,2x+5y=8,這兩個條件要同時滿足,所以可列

方程組為

3.(2016山東濱州中考,20,★★☆)某運動員在一場籃球比賽中的技術統

計如下表所示:注:表中出手投籃次數和投中次數均不包括罰球.根據以上信息,求本場比賽中該運動員投中2分球和3分球各幾個.(10分)技術上場時間(分鐘)出手投籃(次)投中(次)罰球得分籃板(個)助攻(次)個人總得分數據4565221011860解析

設投中2分球x個,投中3分球y個,則根據題意可得:

解得

因此本場比賽中該運動員投中2分球16個,3分球6個.4.(2015江蘇南通中考,22,★☆☆)有大小兩種貨車,3輛大車和4輛小車一

次可以運貨22噸,2輛大車與6輛小車一次可以運貨23噸.請根據以上信息,提出一個能用方程(組)解決的問題,并寫出這個問題的

解答過程.(8分)解析

本題答案不唯一,如:問題:1輛大車一次運貨多少噸?1輛小車一次運貨多少噸?解:設1輛大車一次運貨x噸,1輛小車一次運貨y噸.根據題意,得

解得

答:1輛大車一次運貨4噸,1輛小車一次運貨2.5噸.1.(2016江蘇徐州中考)小麗購買學習用品的收據如下表,因污損導致部分

數據無法識別.根據下表,解決下列問題:(1)小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支?(2)若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具,共花費15