正弦、余弦定理一.教學內容：正弦、余弦定理二.教學重、難點：1.重點：正弦、余弦定理。2.難點：運用正、余弦定理解決有關斜三角形問題。考點集結一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容變形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角。已知三邊，求各角；已知兩角和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要條件。（∵sinA>sinBa>bA>B）二、應用舉例1、實際問題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖①）（2）方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）注：仰角、俯角、方位角的區別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。（3）方向角：相對于某一正方向的水平角（如圖③）①北偏東即由指北方向順時針旋轉到達目標方向；②北偏本即由指北方向逆時針旋轉到達目標方向；③南偏本等其他方向角類似。（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，為坡比）2、ΔABC的面積公式（1）；（2）；（3）。【典型例題】[例1]已知在中，，，解此三角形。練習：不解三角形，判斷下列三角形解的個數。（1），，（2），，（3），，（4），，正弦定理余弦定理的應用：BDCA（I）求BDCA（II）若，求的值．正余弦定理實際應用問題〖例5〗（本小題滿分12分）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？已知在中，，，解此三角形。解：由余弦定理得：∴∴又∴，或∴或∴，，或，，[例4]已知、、是中，、、的對邊，S是的面積，若，，，求的長度。解：∵，，∴∴或∴當時，∴當時，∴即∴又∴[例6]在中，已知，，求A、B。解：由余弦定理，∴∴∴由正弦定理：∴∵∴∴B為銳角∴∴[例7]已知中，，外接圓半徑為。（1）求（2）求面積的最大值解：（1）由∴∴∴∴∴又∴（2）∴當即時，

[例8]在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c依次成等比數列，求的取值范圍。解：∵∴∴∵∴∴[例9]在中，若三邊長為連續三個正整數，最大角是鈍角，求此最大角。解：設，，，且∵C是鈍角∴解得∵∴或3當時，（舍去）當時，∴∴最大角為【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一.選擇題：1.在中，一定成立的等式是（）A. B.C. D.2.在中，若，則是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形3.已知中，AB=1，BC=2，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4.中，若，則B為（）A.B.C.或D.或5.的三邊滿足，則等于（）A.B.C.D.6.在中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為（）A.B.C.D.7.中，“”是“A=B”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8.中，，則A等于（）A.B.C.D.9.中，，，，則這個三角形是（）A.等邊三角形B.三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形10.在中，，則=（）A.2RB.RC.4RD.R二.填空：1.在中，已知，，，則最大角的余弦值為。2.在中，，則三角形為。3.在中，2，則最小角為。4.若，則A=。三.解答題：1.在中，BC=，，a，b是的兩個根，且=1，求（1）角C的度數（2）AB的長（3）的面積。2.在中，，，，求、和。3.若2，3，x為三邊組成一個銳角三角形，求的范圍。4.在中，若，，試判斷形狀。

【試題答案】一.1.C2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C9.D10.A二.1.2.等腰三角形3.4.三.1.解：（1）∴（2）∵、是的兩個根∴∴∴（3）2.解：∵∴