1．(2021·長春中考)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，若∠BAC＝35°，則∠ACB的大小為(C)A．35°B．45°C．55°D．65°【解析】∵BC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°－∠BAC＝90°－35°＝55°.2．(2021·山西中考)如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD為(B)A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】連接OA，如圖，∵AB切⊙O于點A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°－50°＝40°，∴∠ADC＝eq\f(1,2)∠AOB＝20°，∵AD∥OB，∴∠OCD＝∠ADC＝20°.3．(2021·黃岡中考)如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F.若OD＝3，AB＝8，則FC的長是(A)A．10B．8C．6D．4【解析】由題知，AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD為三角形ABC的中位線，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝eq\r(AD2＋OD2)＝eq\r(42＋32)＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，點O是AC中點，∴OE是三角形ACF的中位線，∴CF＝2OE＝2×5＝10.4．(2021·臨沂中考)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C為⊙O上一點，則∠ACB的度數為(C)A．110°B．120°C．125°D．130°【解析】如圖所示，連接OA，OB，在優弧AB上取點D，連接AD，BD，∵AP，BP是⊙O切線，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－70°＝110°，∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB＝55°，又∵圓內接四邊形的對角互補，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝180°－55°＝125°.5．(2021·包頭中考)如圖，在?ABCD中，AD＝12，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接OC.若OC＝AB，則?ABCD的周長為24＋6eq\r(5)．【解析】連接OE，過點C作CF⊥AD交AD于點F，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EOD＋∠OEC＝180°，∵⊙O與BC相切于點E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°，∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四邊形OECF為矩形，∴FC＝OE，∵AD為直徑，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝eq\f(1,2)AD＝6，∵OC＝AB＝CD，CF⊥AD，∴OF＝eq\f(1,2)OD＝3，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2＋FC2＝32＋62＝45，∴AB＝OC＝3eq\r(5)，∴?ABCD的周長為12＋12＋3eq\r(5)＋3eq\r(5)＝24＋6eq\r(5).【素養提升題】(2021·河南中考)在古代，智慧的勞動人民已經會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉動，將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”．小明受此啟發設計了一個“雙連桿機構”，設計圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在⊙O上，當點P在⊙O上轉動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON.當AP與⊙O相切時，點B恰好落在⊙O上，如圖2.請僅就圖2的情形解答下列問題：(1)求證：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半徑為5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的長．【解析】(1)如圖①，連接OP，延長BO與圓交于點C，則OP＝OB＝OC，∵AP與⊙O相切于點P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；(2)如圖②所示，連接OP，延長BO與圓交于點C，連接PC，過點P作PD⊥OC于點D，則有：AO＝eq\r(AP2＋OP2)＝eq\f(25,3)，由(1)可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴eq\f(PD,PO)＝eq\f(PO,OA)＝eq\f(OD,AP)，即eq\f(PD,5)＝eq\f(5,\f(25,3))＝eq\f(OD,\f(20,3))，解得PD＝3，OD＝4，∴CD＝OC－OD＝1，在Rt△PDC中，PC＝eq\r(PD2＋CD2)＝eq