44第一章復數與復平面第二章解析函數第三章復變函數的積分第四章解析函數的級數表示法第五章留數理論及其應用復變函數與積分變換考試范圍：課本第一章到第五章內容，其中第一章1.3節不考，凡是關于無窮遠點的知識點均不考。以前題型：一、填空題(每題3分，共21分)二、單選題(每題3分，共18分)三、計算題(每題7分，共49分)四、證明題(7分)第一章復數與復平面第二章解析函數第三章復變函數的積分第四章解析函數的級數表示法第五章留數理論及其應用復變函數與積分變換考試題型：填空題6個，選擇題5個，計算題6個，證明題1個不考內容：第一章第3節、第四章第5節中函數在無窮遠點的性質、第五章第1節中無窮遠點的留數。考試章節：第一章到第五章第一節具體考試復習要點見下：1.求一個復數的共軛復數、輻角；2.計算一復數的三次方根，計算對數函數及其主值，初等函數的相關性質；3.判斷一不等式所確定的區域是否有界、單連通還是多連通；4.求復變函數的極限；5.求冪級數的收斂半徑，判斷級數的斂散性；6.判斷一復變函數的可導性與解析性7.利用參數方程法、牛頓-萊布尼茲公式、柯西古莎定理、復合閉路原理、柯西積分公式計算一復變函數的積分；8.驗證一個二元實變函數是調和函數，并求一共軛調和函數，從而構成一解析函數；9.將一個復變函數在某圓環域內展開成洛朗級數；10.計算一個復變函數在某點處的留數；11.判斷孤立奇點的類型。一、復數的運算二、復數的幾種表示方法三、平面點集的幾個概念四、極限計算的定理五、連續、求導六、解析函數七、調和函數八、初等函數九、積分的計算法十、級數一、復數的運算1.四則運算定義

復數

的和、差、積和商分別為：2.運算規律復數的運算滿足交換律、結合律、分配律。即此外，在復數域內與實數相關的一切代數恒等式仍成立（如完全平方公式，平方差公式等）。z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3.共軛復數共軛復數的性質：

向量的長度為復數的模或絕對值，記為或，則復數的模的性質：O定義以正實軸為始邊,以向量為終邊的夾角的弧度數稱為復數

的輻角(Argument)。(1)當時輻角：點的極坐標：其中則輻角無窮多：主值：把滿足條件的輻角

稱為的主值，或稱為的主輻角，記作(2)當時，輻角不確定。逆時針時k為正4.輻角(3)計算輻角主值的公式當z落于一,四象限時，不變。

當z落于第二象限時，加。

當z落于第三象限時，減。

z落于y軸正半軸。

z落于y軸負半軸。

z落于x軸負半軸。

二、復數的幾種表示方法

1.點的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指數表示法由極坐標3.三角表示法可得4.指數表示法由Euler公式可得注意.

其中為的模，為的輻角，當時為的輻角主值。復數的各種表示法可以相互轉化,以適應不同問題的需要。復數的共軛復數、實部、虛部、三角形式、指數形式？1.結論兩個復數乘積的模等于它們的模相乘，兩個復數乘積的輻角等于它們的輻角相加。2.結論

兩個復數的商的模等于它們的模的商，兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的輻角之差。3.復數的乘冪定義設是已知的復數，為正整數，稱滿足方程的所有的復數為的次方根，4.復數的方根（開方）——乘方的逆運算k=0,1,2,3,4,512k=0,1,2,3,4,5點的去心鄰域。三.平面點集的幾個概念(1)鄰域高數中的定義：為實數且時，稱為點的鄰域。意義：表示一個以點為中心，長度為的開區間。復變中的定義：為復數且時，稱集合為的鄰域。的去心鄰域。意義：表示復平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ內部的點的集合。(2)內點、開集內點

對任意

，若存在

，使得，則稱為E的一個內點。開集

若點集E內的每一點都是內點，則稱E是開集。E內點外點(3)邊界點、邊界邊界

E的所有邊界點組成的集合稱為E的邊界，記作。z邊界點

若點的任何鄰域內，既有屬于E中的點，又有不屬于E的點，則稱是E的邊界點。聚點

平面上點z的任意鄰域內有E的無窮個點，稱z為E的聚點。閉集

若點集E的每個聚點都屬于E，則稱E是閉集。閉區域

區域D與它的邊界的并集稱為閉區域,記為。D-區域(4)區域連通

若E內任兩點可用包含在E內的折線連接，稱集E為連通集。區域滿足下列性質的非空點集E稱為區域：(a)E是一個開集，(b)E是連通的。(5)有界區域有界區域若區域D有界，則稱為有界區域；否則無界。有界集若存在M>0,使得對任意z∈E,均有，則稱E是有界集。OM(6)簡單曲線、光滑曲線點和分別稱為曲線的起點和終點。令z(t)=x(t)+iy(t),;則這些點的集合稱為復平面上的一條曲線。上述方程稱為曲線的參數方程，且曲線方程可記為：z=z(t)，，分段光滑曲線有限條光滑曲線連接而成的連續曲線。則稱該曲線為光滑曲線。光滑曲線z(a)=z(B)簡單閉曲線重點

設連續曲線：z=z(t)，

，對于t1∈，t2∈，當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線的重點。簡單曲線稱沒有重點的連續曲線為簡單曲線或Jardan曲線;簡單閉曲線若簡單曲線滿足

，則稱此曲線C是簡單

閉曲線或Jordan閉曲線。

簡單曲線不是簡單閉曲線z(t1)=z(t2)是重點

約當定理一條簡單閉曲線將復平面唯一地分成兩個不相交區域，以曲線為公共邊界。一個是有界區域，稱為的內部；一個是無界區域，稱為的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)內部外部邊界(7)單連通區域單連通區域

設D為復平面上的一個區域，如果D內的任何簡單閉曲線的內部均在D內，就稱D為單連通域；否則為多連通區域或復連通。例如

|z|<R（R>0）是單連通的；0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域CC四、極限計算的定理定理一定理二解B-11.函數的連續性五、連續、求導2.導數的定義:3、求導法則:求導公式與法則:六、解析函數1.解析函數的定義2.奇點的定義某點處連續可導解析某區域連續可導解析3.可導和解析的主要定理定理一C-R方程都在復平面上可微解:且在R上解析，所以必滿足C-R方程即l=-3-34都在復平面上可微都在復平面上可微解析解析只在0處P25七、調和函數定義定理

任何在區域

D

內解析的函數,它的實部和虛部都是

D

內的調和函數.1.偏積分法

如果已知一個調和函數u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調和函數v,從而構成一個解析函數u+vi.這種方法稱為偏積分法.2.線積分法由柯西-黎曼方程有而該積分與路徑無關，因此可選取簡單路徑(如折線)進行計算，其中為區域D中的點。3.不定積分法22x2x偏積分法解法2取=(0,0),路徑為從(0,0)到(x,0)的直線段，再從(x,0)到(x,y)的直線段。線積分法八、初等函數1.指數函數2.對數函數BA多值函數3.乘冪例解及實部和虛部的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的。4.三角函數正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數.在復平面內是無界函數BB九、積分的計算法2.參數方程法解(1)積分路徑的參數方程為1.公式法定理3.類似于牛頓-萊布尼茲公式4.柯西－古薩基本定理此定理也稱為柯西積分定理.那末5.復合閉路定理6.柯西積分公式定理稱為柯西積分公式定理7.高階導數公式重要公式因為被積函數在C內解析，由柯西古莎定理得0因為被積函數在C內解析，由柯西古莎定理得00（由復合閉路定理和柯西古莎定理）121212+8.留數算積分設為的一個孤立奇點;1).留數定理在區域

D內除有限個孤外處處解析,C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那么立奇點函數2).留數的計算方法(1)如果為的可去奇點,如果為的一級極點,那么規則1成洛朗級數求(2)如果為的本性奇點,(3)如果為的極點,則有如下計算規則展開則需將如果為的m級極點,規則2那末規則3

如果設及在都解析，那末為的一級極點,

且有十、級數定理重要結論:1.復數項級數非絕對收斂的收斂級數稱為條件收斂級數.如果

收斂,那末稱級數

為絕對收斂.定義如果

發散,收斂.收斂,收斂，所以條件收斂.B所以絕對收斂所以發散所以絕對收斂定理.比值審斂法(D’alembert判別法)設為正項級數,且則(1)當(2)當時,級數收斂

;或時,級數發散

.稱為冪級數.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數在收斂,級數絕對收斂在級數發散,那末對滿足的級數發散.那末對的滿足2.冪級數.3.收斂半徑的求法方法1:比值法:那么收斂半徑方法2:根值法那么收斂半徑如果解：1解：1定理四設冪級數的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到,是收斂圓內的解析函數

.(1)4.復變冪級數在收斂圓內的性質(3)在收斂圓內可以逐項積分,5.泰勒定理其中泰勒級數泰勒展開式定理設在區域內解析,為

內的一為到的邊界上各點的最短距離,那