區間估計的思想

區間估計要求的是根據樣本給出未知參數的一個范圍，并保證真參數以指定的較大概率屬于這個范圍。§2.3區間估計

.定義1設總體X的分布函數為，

則稱區間為參數的置信度為

使得置信區間，分別稱為置信上、下限。樣本，對于給定若存在統計量未知，是來自總體X

的.

注意：

1、置信區間以概率包含不能說成落在內。

2、置信水平是說區間包含的可信度或可靠度。

.通常，采用95%的置信度，有時也取99%或90%...

3.

給了樣本值區間的端點也隨之確定。稱區間

4

區間估計的精度常用置信區間的平均長

它是一個普通區間，簡稱置信區間。為置信區間的一個實現，度來表示，越小，精度越高.

通常采用基于點估計構造置信區間的方法來獲得置信區間，稱此方法為

樞軸量法。具體思路如下：一、尋求置信區間的方法.

1、明確要求的是什么參數的置信區間，置信度多大？

2、構造含未知參數且有確定分布的

隨機變量

3、根據分布，對給定的置信度定出分位點（即臨界值）4、利用不等式變形，求出的置信區間。

具體步驟如下：

2、圍繞構造一個僅包含樣本和被估參數

適當地確定常數，一般選滿足

1、選取的一個較優的點估計樞軸量且分布已知3、對于給定置信度由等式.

4、把不等式化為等價不等式5、得置信水平的的置信區間.

為正態分布，確定臨界值（一）若樞軸量。即推得，隨機區間：.

由解出.為自由度為n–1的T

分布，確定

（二）若樞軸量

.推得，隨機區間：.

為自由度為n–1的分布，確定

（三）若樞軸量.。得隨機區間：..

設總體,為X的樣本

分別為樣本均值和修正樣本方差。1、已知，求均值的置信區間（1）構造樞軸量

一、一個正態總體的情形.

查正態分布表，確定臨界值

(3)

由（4）得置信水平為的置信區間為（2）對置信水平由.

例1

設總體其中未知

解

的置信區間為試求

的95%置信區間。樣本，測得樣本均值為現取得樣本容量為36的一個.

于是

從而，的95%置信區間為查表得.2、未知，求均值的置信區間(1)

構造樞軸量（2）對于置信水平由

查自由度n–1的t分布表，確定臨界值.（3）由（4）得置信水平為的置信區間為.3、未知，求方差的置信區間（1）

構造樞軸量

（2）對于置信水平，由查分布表，確定臨界值

.

（3）解出

（4）得置信水平為的置信區間為

。(5)標準差的置信水平的置信區間

.4、已知，求方差的置信區間（1）構造樞軸量（2）對于置信水平，由查分布表，確定臨界值

.

（3）解出

（4）得置信水平為的置信區間為.

例2設工件長度，今抽取10

件測量其長度，得到如下數據（單位:cm）

24.2,23.8,24.0,25.5,25.6,24.8,23.6,24.5,25.3,24.7

，

在置信度0.95下。求參數，的置信區間

..置信度為95%的置信區間為解因對給定的置信度

置信度為95%的置信區間為標準差置信度為95%的置信區間為.

這就是說估計工件長度的均值在24.09厘米與25.11厘米之間。這個估計的可信度為95%。若以此區間內一值作為的近似值，其誤差不大于這個誤差估計的可信度為95%。

二、兩個正態總體的情形

設

分別為來自總體

的樣本，且假定兩個樣本相互獨立，記，分別為樣本均值和修正樣本方差。

.1.已知，求均值的置信區間

（1）

構造樞軸量（2）對于置信水平，由查正態分布表，確定臨界值

.（3）由

解出

（4）得置信水平為的置信區間為.

例研究兩種固體燃料火箭推進器的燃燒率。設兩者都服從正態分布，并且已知燃燒率的標準差均近似為取樣本容量為得燃燒率的樣本均值為.

解代入公式得置信水平為0.99的置信區間為（-6.04，-5.96）

注：得到置信區間的上限小于零，在實際中就認為比小

2.未知時，求均值的置信區間

（1）構造樞軸量其中

.

(2)對于置信水平，由

查T分布表，確定臨界值

（3）由.

解出

（4）得置信水平為的置信區間為例為提高某一化學生產過程的得率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重，在實驗工廠先進行試驗，先采用原來的催化劑進行次試驗，測得率的平均值樣本方差,后來用新的催化劑進行次試驗，測得率的平均值樣本方差假定采用兩種催化劑下的得率都服從正態分布，且方差相等，試求兩種催化劑平均得率之差的置信度為95%的置信區間。.

解

.

的置信度95%的置信區間為

由于所得置信區間包含零，在實際中就認為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒有顯著差別。注意：.

例7

為比較A,B

兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機地取A型子彈10發，得到槍口速度的平均值，標準差分別為

隨機地取B

型子彈20發，得到槍口速度的平均值，標準差分別為

假設兩總體都可認為近似地服從正態分布。且由生產過程可認為方差相等。求兩總體均值差的一個置信水平為0.95的置信區間。

解按實際情況，可認為分別來自兩個總體的樣本是相互獨立的，又因由假設兩總體的方差相等，但均值未知，故可用該公式求均值差的置信區間。由于

.

本題中得到的置信區間的下限大于零，在實際中就認為比大

.

3、當均未知但，求均值的置信區間（1）

構造樞軸量其中

。

(2)

對于置信水平，由

查T分布表，確定臨界值

（3）由

..

解出

（4）得置信水平為的置信區間為推導：令則是來自總體的樣本設則由T

分布的定義.

例

某一貨運公司欲試驗兩種不同品牌的卡車輪胎的耐磨性，以便選擇耐磨性較好的加以采購。各購買了A種和B種輪胎8個，各抽取一個組成一對，再用隨機抽樣的方法安裝在8輛卡車上。行駛一定里程后，測量輪胎磨損量（單位：mg）假定兩種輪胎的磨損量均服從正態分布，試求的置信水平為0.95的置信區間。49005220550060206340766086504870

49304900514057006110688079305010.

設相互獨立且同服從正態分布

其中未知4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010-30

320360320230780720-140解

和分別表示A,B兩種輪胎的磨損量，令將的觀察值列入表第3行，.

給定置信水平，使查t

分布表，得.

得置信水平為0.95的置信區間為A種高于B

種輪胎的磨損量至少52.73,故選B種。

說明：

成對觀察值能極小化外來因素的影響，減少誤差，給出較精確的區間估計。.

4、當均未知，方差比的區間估計（1）構造樞軸量（2）對于置信水平，由

查F分布表，確定臨界值

.解出

（4）得置信水平的置信區間為（3）。

假定兩種配方的伸長率服從正態分布，

例某橡膠配方中，原用氧化鋅5g,氧化鋅5g540533525520545531541529534氧化鋅1g565577580575556542560532570561求兩總體標準差之比的置信區間.測得橡膠伸長如下：現減少為1g.分別對兩種配方作一批試驗，。

解對查F

分布表，得所以.

的置信度為95%的置信區間為.

例

。

解.

.

1、指數分布參數的區間估計設總體，即X

具有概率密度其中參數是來自總體三、非正態總體參數的區間估計（了解）求的區間估計。X

的一個樣本，對給定的置信度,。

選取樞軸量為證明略.

復習（略）當（1）.

(2).且

獨立，則(3)

可加性若.推導因是的無偏估計，由可加性.

由分布與分布的關系，令則隨機變量函數的密度函數

當t>0時，單調，且值域因為反函數,導數為代入公式有.

。

故

所以，取樞軸量為即證畢.

(1)

構造樞軸量（2）對于置信水平，由查分布表，確定臨界值

.（3）解出

（4）

得置信水平為的置信區間為.

設總體，其中0<p<1是未知參數,是來自總體X的一個樣本，欲求p的置信度為

的置信區間。2、（0—1）分布參數的區間估計.

該分布仍與參數有關，故不能按前面推導（略）方法處理。由中心極限定理..即，有所以.

（1）構造樞軸量

（2）對于置信水平，由

查正態分布表，確定臨界值

.（3）將不等式

化成。（4）得置信水平近似為

的置信區間為。

例設自一大批產品的100個樣品中因為

則一級品率p

是（0-1）分布的參數，而解p的置信水平為0.95的置信區間。，得一級品60個，求這批產品的一級品率.

故，得p

的一個置信水平為0.95的近似置信區間為（0.5，0.69）.

設總體X

的均值存在但未知，是來自總體X

的大樣本（即n充分大），求的置信度為的置信區間。3、大樣本條件下總體均值的區間估計可以證明，當n充分大時，.

（1）構造樞軸量

(2)

對于置信水平由查正態分布表，確定臨界值.(4)

得置信水平近似為的置信區間為解出（3）.

特別的

中1的個數大樣本，其中m

為樣本設是來自（0-1）分布的本來導出一個更簡便的近似計算公式。知參數的置信區間。利用大樣對于總體服從（0-1）分布，求未

.

而故由上式，可得

p

的置信度近似為的置信區間.

如果一個總體X，其均值,方差是兩個獨立的參數，或者我們根本就不知道X的分布類型，那么在大樣本情形下，對參數或的區間估計完全類似于正態總體情形，只不過那里樞軸量的精確分布在這里均變成為漸近分布，相應的置信區間變為近似的置信區間。小結：.

定義1

設總體X的分布函數，未知

則稱隨機區間為參數的置信度為的單側置信區間，稱為單側置信下限

是來自總體X

的樣本，對于給定

若存在統計量使得六、單側區間估計

.

若存在統計量

則稱隨機區間為參數的置信度為

使得的單側置信區間，稱為單側置信上限。.為

說明：

未知參數單側置信區間的求法與其雙側置

信區間的求法大同小異。僅就正態總體均值,

方差未知的情形給出單側置信區間的求法。樣本方差。X

的樣本，