復變函數的微積分基本要求：

1.理解解析函數的定義。

2．掌握C-R條件與解析函數及調和函數的關系3.掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及關鍵步驟。內容：

復變函數的導數，科希一里曼方程，解析函數，共軛調和函數，平面標量場及多值函數；復變函數的積分，單,復通區域上的科希定理和科希公式。12導數一、

導數的定義：設為單值函數，即對于B上的每一個z值，有且只有一個w值與之相對應。如果對于B上的某點z,極限

存在，且與

z0的方式無關，則稱 函數

w=f(z)在z

點可導，此極限定義為函數

w=f(z)在z點的導數（或微商），

記為3與實變函數導數的區別：

實變函數：

x0；復變函數：

z0

z0方式圖示xyo

z02、z=i

y1、z=

x3、z=

x+i

y?4二、求導公式5

必須指出，復變函數和實變函數的導數定義，雖然形式上一樣，實質上卻有很大的不同．這是因為實變數Δx只能沿著實軸逼近零、復變數Δz卻可以沿復數平面上的任一曲線逼近零．因此，與實變函數的可導相比，復變函數可導的要求要嚴格得多．6三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程證明：1、實軸方向

,

z=x2、虛軸方向

,

z=i

y

xyo

z02、z=i

y1、z=

x73、f(z)可導，

與

z0的方式無關，因此從而：

C-R方程是可導的必要條件。——柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程8例:不滿足C-R條件事實上9可導的充要條件：u(x,y)和v(x,y)的偏導數存在、連續，且滿足C-R條件,則復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

可導。滿足C-R條件。可見C-R條件不是復變函數可導的充分條件沿實軸或虛軸，10極坐標中的C-R方程：極限是與的方式無關的有限值若復變函數可導，則其實部和虛部通過C-R而聯系起來11復變函數求導方法(如果存在）:

一、已知f(z),求導:與實變函數求導類似。 二、已知

u(x,y)+iv(x,y),求導:12例：13解析函數 一、解析函數的

定義：如果單值函數f(z)在點z0及其鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0點解析。又若f(z)在區域B上每一點都解析（可導），則稱f(z)是區域B上的解析函數

z0點可導與z0

點解析的區別:函數f(z)=|z|2(§1.4例2)在z=0點可導，而在其他點均不可導，故z=0點不解析。

z0z0鄰域14可導與解析的關系z0點解析z0

點可導區域上可導區域上解析不一定！15二.解析函數的性質：若函數f(z)=u+iv在區域B上解析，則

1、u(x,y)=C1

與v(x,y)=C2互相正交;將C-R方程兩邊對應相乘,得

u(x,y)=C1

與v(x,y)=C2互相正交;16

2、

2u=0和2v=0,即u

和v

是調和函數;將前式對x求導,后式對y求導,相加,得同理可得

—共軛調和函數

復變函數的積分復變函數的積分

復平面上的路積分定義:復平面分段光滑曲線L上的連續函數f(z)，作和17????A??xyo?Bz0znlz1zk-1zk

k18存在且與

k的選取無關,則這個和的極限稱為函數f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記為

即若

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy

參數形式：曲線l

的參數方程{x=x(t),y=y(t)},起始點A

和結束點

B

tA,tB1920幾個重要性質1。常數因子可以移到積分號之外2。函數和的積分等于各函數積分的和3。反轉積分路徑，積分值變號214。全路徑上的積分等于各分段上的積分之和即：如果

l=l1+l2+……+ln5。積分不等式1：6。積分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全長。22例計算積分解一般言,復變函數的積分不僅與起點和終點有關,同時還與路徑有關.oxyl1l1l2l211+ii柯西（Cauchy）定理

——研究積分與路徑之間的關系（一）單連通域情形單連通域在其中作任何簡單閉合圍線，圍線內的點都是屬于該區域內的點 單連通區域的Cauchy定理

：如果函數f(z)在閉單連通區域中單值且解析，則沿中任何一個分段光滑的閉合曲線c(也可以是的邊界l),函數的積分為零。2324oxylco證明：由路徑積分的定義：因f(z)在上解析，因而在上連續，25對實部虛部分別應用格林公式

將回路積分化成面積分又u、v滿足C-R條件故26推廣：若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續，則沿上任一分段光滑閉合曲線C(也可以是的邊界)，有

（二）復連通域情形如果區域內存在：（1）奇點；（2）不連續線段；（3）無定義區為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當的圍道l1、l2、l3

把它們分隔開來，形成帶孔的區域-復連通區域。一般言，在區域內，只要有一個簡單的閉合圍線其內有不屬于該區域的點，這樣的區域便稱為復連通域區域邊界線的正向當觀察者沿著這個方向前進時，區域總是在觀察者的左邊。27

xy

l1l2l3l0Bo28復連通區域的Cauchy定理：如果f(z)是閉復連通區域中的單值解析函數，則l為外邊界線，

li為內邊界線，積分沿邊界線正向證：作割線連接內外邊界線2930即31柯西定理總結：1。若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續，則沿上任一分段光滑閉合曲線C(也可以是的邊界)的積分為零；2。閉復連通區域上的單值解析函數沿所有內外境界線正方向的積分為零；3。閉復連通區域上的單值解析函數沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內境界線逆時針方向積分之和；32由Cauchy定理可推出：（與開頭呼應！）在閉單連通區域或復連通區域中解析的函數f(z)，其路積分值只依賴于起點和終點，而與積分路徑無關。證明：由圖可知其中表示C2的反方向。由積分的基本性質可得：33ADBC2C134最后可得：只要起點和終點固定不變，當積分路徑連續變形時（不跳過“孔”）時，函數的路積分值不變不定積分單連通區域中解析函數f(z)的積分值與路經無關，令z0固定，終點z

為變點，有單值函數ABl2l1且：F(z)

是f(z)

的原函數還有證略36思考被積函數為解析函數和非解析函數的區別例2：計算積分l

CR（n為整數）解：n0被積函數解析n<0,z=為（z-)n奇點，作小圓C,在C上

l

CR結論：(l不包圍

)(l包圍

)40n0n=1討論如下積分的值：柯西積分公式若：f(z)

在閉單通區域上解析，l是閉區域的境界線，

是閉區域內的任一點，則有柯西積分公式柯西公式可表示為f(z)在l區域上有奇點，挖去奇點形成復通區域，柯西公式l為所有境界線，方向為正向物理意義：一個解析函數f(z)在區域B內的值由它在該區域邊界上的值f()所確定z

推論：對于復通區域，類推有

zll1l244Cauchy積分公式的重要推論（任意次可導！）：

45n>1討論如下積分的求解過程：461、計