云南省昆明市昆明市2021-2022學年九年級上學期期末數學試題一、單選題1．如圖是由一些大小相同的小正方體堆成的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】讀圖可得，左視圖有2列，每列小正方形數目分別為2，1．【詳解】解：左視圖有2列，每列小正方形數目分別為2，1，如圖：故選：．【點睛】此題主要考查實物體的三視圖．在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現出來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時應注意小正方形的數目及位置．2．新冠病毒的直徑最小大約為0.00000008米，這個數用科學記數法表示為（）A．8×10﹣8 B．8×10﹣7 C．80×10﹣9 D．0.8×10﹣7【答案】A【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】0.00000008＝8×10﹣8．故選：A．【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．3．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據同底數冪的乘法，同底數冪的除法，積的乘方和冪的乘方判斷即可；【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確；故選D．【點睛】本題主要考查了冪的運算性質，結合同底數冪的乘法，同底數冪的除法，積的乘方和冪的乘方計算是解題的關鍵．4．下列說法正確的是（）A．了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規的情況，適合全面調查B．甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為，，說明乙的跳遠成績比甲穩定C．一組數據2，2，3，4的眾數是2，中位數是2.5D．可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發生【答案】C【分析】全面調查與抽樣調查的優缺點：全面調查收集的數據全面、準確，但一般花費多、耗時長，而且某些調查不宜用全面調查．抽樣調查具有花費少、省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關系到對總體估計的準確程度．將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果數據的個數是偶數，中間兩數的平均數就是中位數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數．【詳解】解：A．了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規的情況，適合抽樣調查，A錯誤；B．甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為，，說明甲的跳遠成績比乙穩定，B錯誤；C．一組數據，，，的眾數是，中位數是，正確；D．可能性是的事件在一次試驗中可能會發生，D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了統計的應用，正確理解概率的意義是解題的關鍵．5．在如圖所示的網格中，小正方形的邊長均為1，的頂點都是格點，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接格點、，則由勾股定理及其逆定理，易得CD⊥AB，從而在Rt△ADC中，由正切函數的定義即可求得結果．【詳解】如圖，連接格點、，則，，，∵，即，∴，在Rt△ADC中，．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，正切函數的定義等知識，把非直角三角形中銳角三角函數問題轉化為直角三角形中銳角三角函數問題是本題的關鍵與難點．6．2020年初，受新冠肺炎疫情的影響，口罩等醫用物資供不應求，某網店二月份口罩銷量為256袋，三、四月份銷量持續走高，四月份銷量達400袋，則三、四月份這兩個月的月平均增長率是（）A．10% B．20% C．25% D．30%【答案】C【分析】設三、四月份這兩個月的月平均增長率是，根據等量關系：二月份口罩銷量×(1+月平均增長率)2=四月份銷量，即可列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】設三、四月份這兩個月的月平均增長率是，由題意得：解得，，（舍去）則三、四月份這兩個月的月平均增長率是25%故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程有關增長率的實際應用，理解題意、找到等量關系并列出方程是關鍵．7．若關于x的一元二次方程有實數根，則實數k的取值范圍是（）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】根據方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關于k的不等式，解得即可，同時還應注意二次項系數不能為0．【詳解】∵關于x的一元二次方程有實數根，∴△=b2-4ac≥0，即：1+3k≥0，解得：，∵關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況．8．小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，帶如圖的玻璃碎片到商店配到與原來大小一樣的圓形玻璃，以下是工作人員排亂的操作步驟：①連接和；②在玻璃碎片上任意找不在同一直線上的三點、、；③以點為圓心，為半徑作；④分別作出和的垂直平分線，并且相交于點；正確的操作步驟是（）A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③【答案】B【分析】根據題意可知所求的圓形玻璃是△ABC的外接圓，從而可以解答本題．【詳解】由題意可得，所求的圓形玻璃是△ABC的外接圓，∴這塊玻璃鏡的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點，∴正確的操作步驟是②①④③故選：B．【點睛】本題考查垂徑定理的應用，解答本題的關鍵是明確三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點．9．如圖，中，弦于，若，的半徑等于，則弧的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OA、OC，根據直角三角形的性質求出∠D，根據圓周角定理求出∠AOC，根據弧長公式計算，得到答案．【詳解】連接、，，，，由圓周角定理得，，弧的長，故選：．【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓周角定理，掌握弧長公式是解題的關鍵．10．如圖所示的三角形數組是我國古代數學家楊輝發現的．稱為楊輝三角形．的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第行中的每一項，如：．若是展開式中的系數，則的值為（）A．2022 B． C．2023 D．【答案】C【分析】根據的展開式規律，寫出的展開式，根據展開式即可寫出的系數t．【詳解】∵∴展開式中倒數第二項為∴展開式中含項的系數是2023故選：C【點睛】本題是材料閱讀題，考查了多項式的乘法，讀懂材料然后寫出的展開式是關鍵．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題11．水是生命之源.但水并不是取之不盡，用之不竭的，所以節約用水要從生活中點點滴滴做起.小明將節約用水5立方米記作+5立方米，那么浪費用水3立方米記作_____立方米.【答案】﹣3【分析】根據相反意義量的定義解答即可．【詳解】如果節約用水5立方米記作+5立方米，那么浪費用水3立方米記作－3立方米．故答案為﹣3．【點睛】本題考查了正數與負數，熟練掌握相反意義量的定義是解答本題的關鍵．12．因式分解：______．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式計算即可得出答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查的是因式分解，比較簡單，需要熟練掌握因式分解的方法以及步驟．13．函數中，自變量x的取值范圍是_____．【答案】且【詳解】解：由函數有意義可知：∴，∴且，故答案為：且．【點睛】本題考查了函數自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．14．一個扇形的弧長是，面積是，則這個扇形的圓心角是___度．【答案】150【分析】根據弧長公式計算．【詳解】根據扇形的面積公式可得：，解得r=24cm，再根據弧長公式，解得.故答案為：150.【點睛】本題考查了弧長的計算及扇形面積的計算，要記熟公式：扇形的面積公式，弧長公式.15．為了更進一步優化環境，甲、乙兩隊承擔河道整治任務．甲、乙兩個工程隊每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的時間與乙工程隊整治2400米所用的時間相等．設甲工程隊每天整治河道，根據題意列方程為__________．【答案】【分析】直接利用甲整治3600米河道用的時間與乙工程隊整治2400米所用的時間相等，得出等式求出答案．【詳解】解：設甲工程隊每天修x米，則乙工程隊每天修（1500﹣x）米，根據題意可得：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了分式方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．16．如圖,∠AOB=30o,點M、N分別是射線OB、OA上的動點,點P為∠AOB內一點,且OP＝8,則△PMN的周長的最小值＝___________.【答案】8【詳解】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=8．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8．故答案為8．17．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰直角三角形，則符合條件的點C有_____個．【答案】6【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰；分別找出符合題意的點C即可.【詳解】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有2個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故答案為：6.【點睛】本題考查了網格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性質、分情況探尋是解答的關鍵.18．如圖，反比例函數y＝的圖象上有一動點A，連接AO并延長交圖象的另一支于點B，在第二象限內有一點C，滿足AC＝BC，當點A運動時，點C始終在函數y＝的圖象上運動，tan∠CAB＝2，則k＝_____．【答案】-8【分析】連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，通過角的計算找出∠AOE=∠COF，結合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根據相似三角形的性質得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF?OF的值，進而得到k的值．【詳解】如圖，連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F．∵由直線AB與反比例函數y的對稱性可知A、B點關于O點對稱，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF．又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴，∵tan∠CAB2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE?OE=2，CF?OF=|k|，∴|k|=CF?OF=2AE×2OE=4AE×OE=8，∴k=±8．∵點C在第二象限，∴k=﹣8．故答案為：﹣8．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的性質以及相似三角形的判定及性質，解答本題的關鍵是求出CF?OF=8．解答該題型題目時，巧妙的利用了相似三角形的性質找出對應邊的比例，再結合反比例函數圖象上點的坐標特征找出結論．評卷人得分三、解答題19．計算．【答案】10【分析】直接利用負整數指數冪的性質以及特殊角的三角函數值、二次根式、零指數冪的性質分別化簡得出答案．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了實數運算，解題的關鍵是正確化簡各數．20．如圖，點C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求證：AB=CD．【答案】詳見解析【分析】根據ABBD，DEBD，ACCE，可以得到，，，從而有，可以驗證和全等，從而得到AB=CD．【詳解】證明：∵，，∴∴，∴在和中∴≌故．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，利用角邊角判定三角形全等，其中找到兩兩互余的角之間的關系是解題的關鍵．21．如圖，在平面直角坐標系內，三個頂點的坐標分別為，，（正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度）．（1）若與關于原點成中心對稱，則點的坐標為______；（2）以坐標原點為旋轉中心，將逆時針旋轉90°，得到，則點的坐標為______；（3）求出（2）中線段掃過的面積．【答案】（1）（2）（3）線段AC掃過的面積為【分析】（1）根據關于原點成中心對稱的性質“橫、縱坐標互為相反數”，求解即可；（2）根據旋轉的有關性質，求解即可；（3）根據扇形的面積計算公式求解即可．（1）解：∵與關于原點成中心對稱，，∴點的坐標為．故答案為：；（2）解：如圖，即為所求，點的坐標為．故答案為：；（3）解：∵，，∴線段掃過的面積=扇形的面積-扇形的面積．【點睛】此題考查了坐標與圖形，涉及了中心對稱和旋轉變換以及扇形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握相關性質及基礎知識．22．為調查廣西北部灣四市市民上班時最常用的交通工具的情況，隨機抽取了四市部分市民進行調查，要求被調查者從“A：自行車，B：電動車，C：公交車，D：家庭汽車，E：其他”五個選項中選擇最常用的一項，將所有調查結果整理后繪制成如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合統計圖回答下列問題：（1）在這次調查中，一共調查了名市民，扇形統計圖中，C組對應的扇形圓心角是°；（2）請補全條形統計圖；（3）若甲、乙兩人上班時從A、B、C、D四種交通工具中隨機選擇一種，則甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表法求解．【答案】（1）2000，108；（2）作圖見解析；（3）．【分析】（1）根據B組的人數以及百分比，即可得到被調查的人數，進而得出C組的人數，再根據扇形圓心角的度數=部分占總體的百分比×360°進行計算即可；（2）根據C組的人數，補全條形統計圖；（3）根據甲、乙兩人上班時從A、B、C、D四種交通工具中隨機選擇一種畫樹狀圖或列表，即可運用概率公式得到甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率．【詳解】解：（1）被調查的人數為：800÷40%=2000（人），C組的人數為：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C組對應的扇形圓心角度數為：×360°=108°，故答案為2000，108；（2）條形統計圖如下：（3）畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結果，甲、乙兩人選擇同一種交通工具的有4種情況，∴甲、乙兩人選擇同一種交通工具上班的概率為：．23．截止2021年3月15號，我國自主研發的新冠疫苗已接種超過6200萬劑次，疫苗已經經過三期臨床試驗，測得成人注射一針疫苗后體內抗體濃度y（miu/ml）與注射時間x天之間的函數關系如圖所示（當時，y與x是正比例函數關系；當時，y與x是反比例函數關系）．（1）根據圖象求當時，y與x之間的函數關系式；（2）根據圖象求當時，y與x之間的函數關系式；（3）體內抗體濃度不低于140miu/ml的持續時間為多少天？【答案】（1）y＝14x；（2）y＝；（3）體內抗體濃度不低于140miu/ml的持續時間為31天．【分析】（1）直接利用正比例函數解析式求法得出答案；（2）直接利用反比例函數解析式求法得出答案；（3）結合所求解析式，把y＝140代入求出答案．【詳解】解：（1）設當x≤20時，y與x之間的函數關系式是y＝kx，圖象過（20，280），則20k＝280，解得：k＝14，y與x之間的函數關系式是：y＝14x，（2）設當x≥20時，y與x之間的函數關系式是y＝，圖象過（20，280）,，解得：k＝5600，y與x之間的函數關系式是y＝；（3）當x≤20時，140＝14x，解得：x＝10．當x≥20時，140＝，解得：x＝40，故40﹣10+1＝31（天），答：體內抗體濃度不低于140miu/ml的持續時間為31天．【點睛】此題主要考查了正比例函數和反比例函數的應用，正確求出函數解析式是解題關鍵．24．如圖，某學校體育場看臺的頂端C到地面的垂直距離為，看臺所在斜坡的坡比，在點C處測得旗桿頂點A的仰角為30°，在點M處測得旗桿頂點A的仰角為60°，且B，M，D三點在同一水平線上．（1）求的長．（2）求旗桿的高度．（結果保留根號）【答案】（1）DM＝6m；（2）AB＝3+3【分析】（1）根據斜坡CM的坡比i＝1：3，CD為2m，進而可得DM的長；（2）過點C作CE⊥AB于點E，設BM＝x，根據矩形的性質以及銳角三角函數的定義即可求出答案．【詳解】解：（1）∵CD＝2，tan∠CMD＝＝，∴＝，∴DM＝6m；（2）過點C作CE⊥AB于點E，設BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，∵四邊形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣2，在RtACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝（3+3）（m）．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數的定義以及矩形的性質，本題屬于中等題型．25．某學校初二年級黨支部組織“品讀經典，錘煉黨性”活動，需要購買不同類型的書籍給黨員老師閱讀．已知購買1本類書和2本類書共需82元；購買2本類書和1本類書共需74元．（1）求，兩類書的單價；（2）學校準備購買，兩類書共34本，且類書的數量不高于類書的數量．購買書籍的花費不得高于900元，則該學校有哪幾種購買方案？【答案】（1）類書的單價為22元，類書的單價為30元（2）學校共有3種購買方案：方案1：購買類書15本，類書19本；方案2：購買類書16本，類書18本；方案3：購買類書17本，類書17本．【分析】(1)設A類書的單價為x元，B類書的單價為y元，根據“購買1本A類書和2本B類書共需82元；購買2本A類書和1本B類書共需74元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出A，B兩類書的單價；(2)設購買A類書m本，則購買B類書(34-m)本，根據“購買A類書的數量不高于B類書的數量，購買書籍的花費不得高于900元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各購買方案．（1）解：設類書的單價為元，類書的單價為元，依題意得：，解得：．答：類書的單價為22元，類書的單價為30元．（2）解：設購買類書本，則購買類書本，依題意得：，解得：．又∵為正整數，∴可以為15，16，17，∴該學校共有3種購買方案，分別如下所示：方案1：購買類書15本，類書19本；方案2：購買類書16本，類書18本；方案3：購買類書17本，類書17本．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．26．如圖，已知是圓的直徑，是圓的弦，交于，過點作圓的切線交的延長線于點，連接并延長交的延長線于點．（1）求證：是圓的切線；（2）若，，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，根據平行線的性質得到，由圓周角定理得到，根據線段垂直平分線的性質得到，求得，根據切線的性質得到，求得，于是得到結論；（2）解直角三角形即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵是圓的直徑，∴，∴，由垂徑定理得垂直平分，∴，∴，又∵，∴，即，∵為圓的切線，是半徑，∴，∴，即，∵是圓的半徑，∴是圓的切線；（2）解：在中，，∴，又，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．27．如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為(﹣1，0)，且OA＝OC＝4OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過A，B，C三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點，作PD⊥AC于點D，當PD的值最大時，求此時點P的坐標及PD的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）(2，﹣6)，2【分析】（1）先求出點A、C的坐標，則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），把點B代入即可求解；

（2）先求出直線CA的解析式，過點P作y軸的平行線交AC于點H，設點P（x，x2﹣3x﹣4），則點H（x，x﹣4），利用解直角三角形，則PD=HPsin∠PFD=（x-4-x2+3x+4），即可求解．【詳解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，﹣4）；設拋物線的解析