2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E,F分別為AB,8c的中點，則反.而=()

13515

A.------B.—C.5D.—

444

2.在AABC中，a/,c分別為所對的邊，/(x)=+hx2+(a2+c2-ac)x

+1有極值點，則E>B的范圍是()

71

C.

3.在AABC中，AB=3AC=2,/R4C=6O°,點。，E分別在線段AB,CO上，且3￡)=2AZ),CE=2ED,

貝!左().

B.-6C.4D.9

4.已知拋物線C：V=4x和點0(2,0),直線x=0-2與拋物線C交于不同兩點A,B,直線BD與拋物線C交于

另一點￡.給出以下判斷：

①以座為直徑的圓與拋物線準線相離；

②直線OB與直線OE的斜率乘積為-2；

③設過點A,B,E的圓的圓心坐標為(。,。)，半徑為廣，則a?—，：*

其中，所有正確判斷的序號是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.已知函數/(x)=cosx與g(x)=sin(2x+0)(0,,夕<%)的圖象有一個橫坐標為(的交點，若函數g(x)的圖象的縱

坐標不變，橫坐標變為原來的工倍后，得到的函數在［0,2句有且僅有5個零點，則。的取值范圍是()

(0

2935^F2935

24,24)B，24,24

29352935

c.D.

2452424524

6.甲在微信群中發了一個6元“拼手氣”紅包，被乙、丙、丁三人搶完，若三人均領到整數元，且每人至少領到1元，則乙獲得

“最佳手氣''（即乙領到的錢數多于其他任何人）的概率是（

1323

A.-B.——C.-D.-

31054

[x-y<0,

x+3

7.若X,y滿足約束條件?x+y<2,則z=一-的取值范圍為（）

y+2

[x+l>0,

24242

A.B.[-，3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

1+Z

8.已知復數z=l-i,廠的共物復數，則一=（）

Z

3+z1+/1-3/1+3/

A.---B.C.D.

2222

9.將函數y=sin（3x+°）的圖象沿x軸向左平移工個單位長度后，得到函數/（x）的圖象，貝!|“0=?是"/（x）是

96

偶函數”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.若執行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

11.若/（X）是定義域為R的奇函數，且/（x+2）=-/（x）,則

A.“X）的值域為RB./（X）為周期函數，且6為其一個周期

C.“X）的圖像關于x=2對稱D.函數“X）的零點有無窮多個

22

xJ

12.已知圓f+y2-4x+2y+l=0關于雙曲線1(a>0/>0)的一條漸近線對稱，則雙曲線。的離心率

礦下

為()

A.V5B.5C.也5

D.

24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3九,COS（6Z4-/?）=—4,COs（

13.已知a,，e一言，貝！］sina+

5

14.若函數/（x）=C%2"T-c52"+C；x2"M-…+。：（一1）'0""+…&（一1）"戶,其中〃3且〃22,則

/(1)=.

2

15.已知點戶為雙曲線E：/一==13>0)的右焦點，M,N兩點在雙曲線上，且M,N關于原點對稱，若

TTJT

MF1NF,設AMNF=8,且,則該雙曲線E的焦距的取值范圍是_______.

126

16.設a為銳角，#cos(a+-)=—,貝!Isin2a的值為.

64

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r221

17.(12分)設橢圓C：v方=1(。>。>0)的右焦點為F，右頂點為A，已知橢圓離心率為過點F且與*軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設過點A的直線/與橢圓C交于點3(B不在x軸上)，垂直于/的直線與/交于點"，與〉’軸交于點H,若

BFLHF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

18.(12分)如圖所示，四棱柱ABC。-44GA中，底面ABCO為梯形，AD//BC,ZADC=90°,

AB=BC=BB1=2,AD=}>CD=6NA網=60°.

（1）求證：Afilfi.C；

(2)若平面ABC￡>_L平面ABB/,求二面角。一片。-8的余弦值.

X=1+C0S6Z

19.（12分）已知在平面直角坐標系xOy中，曲線。的參數方程為｛.（。為參數.04二＜2?）.以坐標原點

y=sm。

TT

。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為。=］（夕GR）,曲線C與直線/其中的一個交點

7T

為A,且點A極徑。0力0.極角0《％＜彳

（1）求曲線。的極坐標方程與點A的極坐標；

（2）已知直線〃?的直角坐標方程為x-Gy=0,直線m與曲線C相交于點8（異于原點。），求AAO8的面積.

20.（12分）為了解網絡外賣的發展情況，某調查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調查了甲

乙兩家網絡外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，

（1）現規定，月訂單不低于13萬件的城市為“業績突出城市”，填寫下面的列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的

把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.

業績突出城市業績不突出城市總計

外賣甲

外賣乙

總計

(2)由頻率分布直方圖可以認為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數Z(單位：萬件)近似地服從正態分布

N"),其中〃近似為樣本平均數嚏(同一組數據用該區間的中點值作代表)，。的值已求出，約為3.64,現把頻

率視為概率，解決下列問題：

①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記X為外賣甲在今年3月訂單數位于區間(4.88,15.8)的城市個數，求X的數

學期望；

②外賣甲決定在今年3月訂單數低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業績，據統計，開展此活

動后城市每月外賣訂單數將提高到平均每月9萬件的水平，現從全國各月訂單數不超過7萬件的城市中采用分層抽樣

的方法選出100個城市不開展營銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元,

則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元？

n(ad-bc)2

附：①參考公式：K-,其中〃=a+/?+c+d.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

參考數據:

0.150.100.050.0250.0100.001

%)2.7022.7063.8415.0246.63510.828

②若Z-,則P卬一o<Z</z+cr)=0.6826,尸(〃一2cr<Z<〃+2cr)=0.9544.

21.(12分)max{m,〃}表示,及中的最大值，如max，,=,己知函數,f(x)=max{f一i,21nx},

g(x)=max<x+lnx,—x2+ia2—g卜+2〃+4Q

(1)設〃(x)=/(x)-31一;求函數/z(x)在(0,1]上的零點個數；

3

(2)試探討是否存在實數。€(-2,口)，使得g(x)<]X+4〃對xe(a+2,+s)恒成立？若存在，求”的取值范圍；

若不存在，說明理由.

x=t

22.(10分)在平面直角坐標系宜為中，直線/的參數方程為c。為參數)，以坐標原點。為極點，X軸的

y=3-2t

正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為。=4sin9.

(1)求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線。交于A、B兩點,求AQAB的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

據題意以菱形對角線交點。為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出萬友麗，再根據坐標形式下向量的數量

積運算計算出結果.

【詳解】

設AC與BD交于點。，以。為原點，麗的方向為x軸，場的方向為》軸，建立直角坐標系，

則4一；,1）,產BQ），詼=［一川，麗=6一），

-------------95

所以。上。/=2一1=—.

44

故選：B.

【點睛】

本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數量積問題，如果直

接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.

2.D

【解析】

試題分析：由已知可得/'(X)=V+2bx+(a2+c2-ac)=。有兩個不等實根

\,,,a~+c~—b~I?7t

=^>^=4b--4(a-+c~-ac]>Q^>a'+c'-b~<ac=^>cosB=--------------|二，兀.

V>lac213J

考點：1、余弦定理；2、函數的極值.

【方法點晴】本題考查余弦定理，函數的極值，涉及函數與方程思想思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯

思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為

/'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有兩個不等實根，從而可得

\.、、Q2+02—b~1?TC

A=4/r-4(<r+c‘-ac]>0ncr+(r—Zr<ac=>cosB=-------------<—=>Be.

''lac213J

3.B

【解析】

根據題意，分析可得AO=1,由余弦定理求得。C的值，由

初?麗=(而+方后)?布=麗?南+詼?布=而?而可得結果.

【詳解】

根據題意，AB=3,BD=2AD,則4)=1

在AAOC中，又AC=2,NS4C=60。

則DC2=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則￡>C=百

則CQJ_A8

則詼?麗=(而+詼)?麗=麗?南+詼?詬=麗?南=3x2xcosl800=—6

故選：B

【點睛】

此題考查余弦定理和向量的數量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.

4.D

【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用△=《#="等S>可判斷；

對于②，設直線DE的方程為犬=〃少+2,與拋物線聯立，用坐標表示直線0B與直線0E的斜率乘積，即可判斷；

對于③，將x=0-2代入拋物線。的方程可得，力必=8,從而，以=-%，利用韋達定理可得

|3臼2=16/*+48/+32,再由/=|削『,可用m表示/，線段8￡的中垂線與x軸的交點（即圓心

N）橫坐標為2m2+4,可得a,即可判斷.

【詳解】

如圖，設/為拋物線C的焦點，以線段仍為直徑的圓為則圓心M為線段的的中點.

設3,E到準線的距離分別為4，4，。”的半徑為R，點M到準線的距離為4,

顯然3,E,E三點不共線，

則d=么辿JBE|+|Eb|＞空J=R.所以①正確.

222

由題意可設直線OE的方程為x=my+2,

代入拋物線C的方程，有丁-4,孫-8=0.

設點8,E的坐標分別為（X，x）,（w，%），

則X+%=4根，=-8.

所以工用=（，孫+2）（沖2+2）=.乂%+2加（X+%）+4=4.

則直線OB與直線OE的斜率乘積為"&=-2.所以②正確.

中2

將x="-2代入拋物線c的方程可得，以“=8,從而，力=一必.根據拋物線的對稱性可知,

A,￡兩點關于x軸對稱，所以過點A,B,E的圓的圓心N在x軸上.

由上，有％+%=4加，尤|+%2=4m2+4,

42

則|BE『=（玉+x2）'—4%1%2+（必+y2y—=16/w+48m+32.

所以，線段BE的中垂線與x軸的交點（即圓心N）橫坐標為2〃/+4,所以。=2〃/+4.

2/,2、2

\BE\

于是，r=|MN|2+I=2M+4-五旦I+y+力+4m4+12m2+8,

222)

代入加得2加*

X1+%2=42+4,X+%=4"Z,r=4+16M+12,

所以/r=(2w2+4)2-(4w4+16m2+12)=4.

所以③正確.

故選：D

【點睛】

本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于較難題.

5.A

【解析】

根據題意，cos?=sin[W2萬+夕],求出e=三71，所以g(x)=sin[2x+J兀],根據三角函數圖像平移伸縮，即可求出0

366

的取值范圍.

【詳解】

TT

已知/(x)=cosx與gO)=sin(2x+e)(0,,(p<7f)的圖象有一個橫坐標為彳的交點,

.7T.24)

貝(jcosy=sin

24245萬

T'5

275771

-----/.(D———

696

g(x)=sin[2x+(),

若函數g(x)圖象的縱坐標不變，橫坐標變為原來的1,倍，則…足日⑺+力

co

71冗

所以當xi[0,2劃時，2刃》+—6一,4A7UCD+一,

666

???/(X)在[0,2組有且僅有5個零點,

..5TT,,^TUCD+v6兀9

6

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數圖象的性質、三角函數的平移伸縮以及零點個數問題，考查轉化思想和計算能力.

6.B

【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據古典概型的方法求解即可.

【詳解】

設乙，丙，丁分別領到x元j元,z元，記為(x,y,z)，則基本事件有

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10個，其中符合乙獲得“最佳手

_3

氣”的有3個，故所求概率為歷，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法，屬于基礎題型.

7.D

【解析】

x+3

由題意作出可行域，轉化目標函數z=K為連接點。(-3,-2)和可行域內的點(x,y)的直線斜率的倒數，數形結合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖,

x+3

目標函數z=Q可表示連接點n(-3,-2)和可行域內的點(x,y)的直線斜率的倒數,

由圖可知，直線D4的斜率最小，直線OB的斜率最大，

x-y=0/、fx+y=2/、

由；c可得A(T,-1),由；八可得

x+l=0[x+l=0J

由7—1+21i3+252

所以勺==所以￡WZ<2.

—1+JZ—1+3Z3

故選：D.

本題考查了非線性規劃的應用，屬于基礎題.

8.C

【解析】

求出三，直接由復數的代數形式的乘除運算化簡復數.

【詳解】

1+z2-il-3z

2

故選：C

【點睛】

本題考查復數的代數形式的四則運算，共扼復數，屬于基礎題.

9.A

【解析】

求出函數y=/(x)的解析式，由函數y=/(x)為偶函數得出。的表達式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷

即可.

【詳解】

將函數,y=sin(3x+°)的圖象沿x軸向左平移￡個單位長度，得到的圖象對應函數的解析式為

9

/、/、

冗.c兀

/(x)=sin3尤+一+夕=sin3xd---\-(p,

\9,、3，

若函數y=/.(x)為偶函數，則f+e=0+W(ZeZ),解得0伙eZ),

326

jr

當％=0時，(p=z

6

因此，“夕=g”是“y=/(x)是偶函數”的充分不必要條件.

6

故選：A.

【點睛】

本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用圖象變換求三角函數解析式以及利用三角函數的奇偶性求參數，

考查運算求解能力與推理能力，屬于中等題.

10.D

【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出S的變化以4為周期出現，由此可得結論.

【詳解】

233

5=4/=1;5=-1"=2;5=—,『=3;5=—』=4;5=4/=5；如此循環下去，當/=2020時，5=—;5=4"=2021,

322

此時不滿足i<2021,循環結束，輸出S的值是4.

故選:D.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環結構.解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論.

11.D

【解析】

運用函數的奇偶性定義，周期性定義，根據表達式判斷即可.

【詳解】

“X)是定義域為R的奇函數，則/(-x)=-/(x),/(0)=0,

又/(x+2)=-f(x),/(x+4)=-f\x+2)=f(x),

即是以4為周期的函數，f(4k)=f(0)=0(左eZ),

所以函數/(x)的零點有無窮多個；

因為/(x+2)=—/(x),/[(%+1)+1]=/(-%),令。=1+尤，則/?+l)=/(lT),

即f(x+l)=/(l—x),所以的圖象關于x=l對稱，

由題意無法求出了(%)的值域，

所以本題答案為D.

【點睛】

本題綜合考查了函數的性質，主要是抽象函數的性質，運用數學式子判斷得出結論是關鍵.

12.C

【解析】

將圓*2+y2-4x+2y+1=（）,化為標準方程為，求得圓心為（2,-1）.根據圓V+y2—4x+2y+1=0關于雙曲線

。：彳-￡=1（。＞0/＞0）的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，?=；.再根據e=￡=Jl+（2j求解.

【詳解】

已知圓f+＞2-4x+2y+1=0,

所以其標準方程為：（x-2y+（y+l）2=4,

所以圓心為（2,-1）.

V2V2

因為雙曲線C：二一4=1（。＞0力＞0）,

礦b-

b

所以其漸近線方程為y=±-x,

a

22

又因為圓W+丁—4x+2y+1=0關于雙曲線C：與-方=1（。〉0力＞0）的一條漸近線對稱，

則圓心在漸近線上，

故選：C

【點睛】

本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

33

13.——

65

【解析】

由已知利用同角三角函數的基本關系式可求得sin（a+￡）,sin（￡-的值，由兩角差的正弦公式即可計算得

sin[a+?）的值.

【詳解】

45

cos(a+^)=—,cos

13

...a+￡e仔,2乃71

PA----G

4

/.sin(a+〃)=-Jl-cos2(a+0)3

5

12

sm*-----9

13

??.sin(a+工]=sin

I4)

./小/〃萬1(31(5)41233

=sinor+p)cosp-----cos(tz+Z?Isinp------=——x--------x—=-------.

[)[4)')I4)I5八13J51365

33

故答案為：一二

65

【點睛】

本題主要考查了同角三角函數的基本關系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎題.

14.0

【解析】

先化簡函數“X)的解析式，在求出了'(X),從而求得了'(1)的值.

【詳解】

由題意，函數/(X)=C%2"T-C>2"+c52.+l_..+c；(_l)，x2”T+r+-C；(_l)"x3"T

可化簡為/(X)=f"T[d-C,X+C>2一…+G(—l)，r+...+CX]=X2n-'(l-X)rt,

所以/(x)=(2n-l)x2,,-2(l-x)n-x2"-1n(l-x)"T=x2n-2(l-x)"-'[2〃-1一(3〃一l)x],

所以八1)=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數的運算和函數值的求解，其中解答中正確化簡函數的解析式，準確求解

導數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

15.[272,273+2]

【解析】

設雙曲線的左焦點為尸，連接Mk,NF.,由于所以四邊形/NFM為矩形，故IMN|=|"[=2c,由雙

曲線定義INF|-1N/|=|NE|-1FM|=2。可得'=0cos(6+[，再求)'=④cos,+的值域即可.

【詳解】

如圖，

設雙曲線的左焦點為尸，連接ME',NF,由于MF_LNE.所以四邊形F'NFM為矩形，

^\MN\=\FF'\=2c.

在RtANFM中IFN|=2ccosFM|=2csin0,

由雙曲線的定義可得

2=2a=|NE|-1NF'|=|NF\-\FM\=2ccos。-2csin。=2&ccos(。

?c一1

V2cosf(9+j

-：—<0<—,:.—<0+—<—

1263412

,\/3-1rr(兀、/3

-------4cos0a—W—

2I4)2

72<c<V3+l>2^2<2c<2>/3+2.

故答案為：[2加,+2]

【點睛】

本題考查雙曲線定義及其性質，涉及到求余弦型函數的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.

世幣+3上

16.--------

【解析】

為銳角，cos(a+—)=>**.sin(a+—)=,

6464

sin(2a+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=?cos(2?+—)=2cos2(a+-^)-1=-—,

3664364

故sin2c=sin[(2a+—)--]=sin(2a+—)cos--cos(2a+—)sin—=^-x—+—x—=

33333342428

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】

(I)由題意可得2b竺°=3,e=c-,a2=h2+c2,解得即可求出橢圓的C的方程;

aa

(H)由已知設直線/的方程為尸《(x-2),(A和)，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根

與系數的關系求得B的坐標，再寫出M//所在直線方程，求出”的坐標，由8凡LHF,解得由方程組消去y,解

得與，由NMQ4WNM4O,得到％”N1,轉化為關于A的不等式，求得A的范圍.

【詳解】

(I)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

所以Z2b2=3,

a

因為橢圓離心率e為!，所以￡=,，

2a2

又/=加+。2,

解得a-2,c=l,b=#),

22

所以橢圓C的方程為土+匕=1；

43

(II)設直線/的斜率為左(A。。)，則尸Mx-2),設B(/,%)，

y=

由＜尤22得(4左2+3)%2_]6&2工+16后2—12=0,

-------1-r—=1

143

8左2一68/一6

解得x=2,或1=,由題意得與

4二+34公+3

從而

由（I）知，F（1,O）,設

’9-4左212k、

所以兩=（一1,%）,BF、442+3'4公+3)

因為BF工HF,所以麗.泳=0,

4%29l2kyAjjze9—4-k~

所以H=09解得=------

4公+34公+3H12k

19一4戶

所以直線方的方程為k一二十丁'

y=”（x—2）20k?+9

設“（修,加），由1X+9-消去y,解得知=12（/+1、

y~~~kX+\2k'

在AM4O中，ZMOA<ZMAO|M4|<\MO\,

即（尤附-2）+加~4%~+加2,

20k2+9,

所以31，即所而4

解得心一如，或k』.

44

所以直線/的斜率的取值范圍為1-8,一k］。［亍,+8.

【點睛】

本題考查在直線與橢圓的位置關系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標準方程，

屬于難題.

18.（1）證明見解析（2）-理;

35

【解析】

（D取4?中點為。，連接。C,。用，AC,AB-根據線段關系可證明AA5c為等邊三角形，即可得A3_LOC；

由AABg為等邊三角形，可得A8LO4,從而由線面垂直判斷定理可證明A3,平面OBC，即可證明A3,8c.

（2）以。為原點，。與，OB,OC為x,y,z軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面88C和

平面BCD的法向量，即可由法向量法求得二面角D-B,C-B的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取A8中點為。，連接。C,。片，AC,如下圖所示：

所以AC=2,故AABC為等邊三角形，則A5J_0C.

連接AB1，因為A8=3與=2,ZABB,=60°,

所以為等邊三角形，則AB1OB,.

又OCn。耳=。，所以ABJL平面。8c.

因為B|Cu平面。片C,

所以ABLgC.

(2)由(1)知ABLOC,

因為平面ABCOn平面AB44=A8,OCu平面ABC。，

所以OCL平面A684，

以。為原點，。4，OB,OC為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

易求。。=。4=百,則3(o,i,o),4(6,o,o),c(o,o詢,

22

則成配=(—G,o,G),CD=

設平面BBC的法向量％=(%,y”zj,

—y+V§Z]=0,r—

則〈那即「「令M=1,則乂=V3,Z]=1,

-島+島=0,

故)=(1,卜

設平面8c。的法向量后=(和內，Z2)，

_2y.2z=0

%?CD—0,C>2C勺u,

則〈上一則22

n2?B[C=0,—

A/3X9+—0,

(1走)

令々=1,則＞2=-弓，Z2=1,故4

1,3，19

7

V105

所以cos伍,第

35?

由圖可知，二面角。一回。一8為鈍二面角角,

所以二面角。-gC-8的余弦值為一叵.

35

【點睛】

本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.

19.(1)極坐標方程為〃=2cos8,點A的極坐標為(1，(2)中

【解析】

(1)利用極坐標方程、普通方程、參數方程間的互化公式即可；

(2)只需算出A、B兩點的極坐標，利用5=3//花泊(4-%)|計算即可.

【詳解】

x=l+cosa

(1)曲線C：〈(a為參數，0＜。＜2萬)

y=sina

o(x-1)2+y2=1o冗2+丁2=2工=夕2=2pcos^<=>p-2cos6,

rr

將6=§代入，解得由。=1,

即曲線C的極坐標方程為夕=2cos6,

點A的極坐標為

(2)由(1),得點A的極坐標為

由直線，〃過原點且傾斜角為弓，知點8的極坐標為(百,彳),

5xlx

M?O=|V3xsin^|-^=^.

【點睛】

本題考查極坐標方程、普通方程、參數方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學生的運算能力，是一道基礎

題.

20.(1)見解析，有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.(2)①4.911②100萬元.

【解析】

(1)根據頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數量，即可完善列聯表.

通過計算K?的觀測值，即可結合臨界值作出判斷.

(2)①先根據所給數據求得樣本平均值"根據所給今年3月訂單數區間，并由［及b求得2b=4.88,

〃+b=15.8.結合正態分布曲線性質可求得P(4.88<Z<15.8),再由二項分布的數學期望求法求解.②訂單數低于7

萬件的城市有［3,5)和［5,7)兩組，根據分層抽樣的性質可確定各組抽取樣本數.分別計算出開展營銷活動與不開展營銷

活動的利潤，比較即可得解.

【詳解】

(1)對于外賣甲：月訂單不低于13萬件的城市數量為100x(0.1+0.05+0.04+0.01)x2=40,

對于外賣乙：月訂單不低于13萬件的城市數量為20+20+10+2=52.

由以上數據完善列聯表如下圖，

業績突出城市業績不突出城市總計

外賣甲4060100

外賣乙5248100

總計92108200

且K，的觀測值為k=2XZ9線)=2599>2,706，

???有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.

(2)①樣本平均數

x=4x0.04+6x0.06+8x0.10+10x0.10+12x0.30+14x0.2()+16x0.10+18x().08+20x0.02=12.16

/./LI—2a=12.16—2x3.64=4.88,

〃+b=12.16+3.64=15.8

故尸(4.88vZv15.8)二尸(〃-2bvZv〃+b)

=gP(〃-2cr<Z<//+2cr)+gP(N-b<ZW/z+b)

=1(0.6826+0.9544)=0.8185,

.?.X~3(6,0.8185),

X的數學期望E(x)=6x0.8185=4.911,

2

②由分層抽樣知，貝|J100個城市中每月訂單數在區間［3,5)內的有100X§=40(個)，

每月訂單數在區間［6,7］內的有100xg=60(個)，

若不開展營銷活動，貝!I一個月的利潤為40x4x5+60x6x5=2600(萬元)，

若開展營銷活動，貝！J一個月的利潤為100x9x(5-2)=2700(萬元)，

這100個城市中開展營銷活動比不開展每月多盈利100萬元.

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應用，完善列聯表并計算《2的觀測值作出判斷，分層抽樣的簡單應用，綜

合性強，屬于中檔題.

21.(1)2個；(D存在，(里」,2］.

4

【解析】

試題分析：(1)設F(x)=x2-l-2fax.對其求導，及最小值，從而得到/(x)的解析式，進一步求值域即可；(1)

分別對a40和a>0兩種情況進行討論，得到g8的解析式，進一步構造h(4,通過求導得到最值，得到滿足條件

的a的范圍.

試題解析：(1)設V—1—21nx/'(x)=2x—2=生二'乂f),............1分

令尸'(x)>0,得x>l,/(x)遞增；令E'(x)<0,得0cx<l,E(x)遞減,..................1分

F=F1=0

*'?Wmi?()---F(x)>0,即尤2—iN21nx，=...........3分

設G（x）=3（x-g*x-l）2,結合/（x）與G（x）在（0,1］上圖象可知，這兩個函數的圖象在（0,1］上有兩個交點，即

〃（x）在（0,1］上零點的個數為1.........................5分

（或由方程〃x）=G（x）在（0』上有兩根可得）

（1）假設存在實數ae（-2,+oo）,使得g（x）＜,x+4。對xe（a+2,+oo）恒成立,

,3,

x+lnx＜一尤+4。

2,、

則｛（］、3'對%￡（〃+2,+8）恒成立，

-x+|ci~—