第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第4.5講函數(shù)的應(yīng)用（二）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．能利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．2．通過對(duì)數(shù)據(jù)的合理分析，能自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．3．理解函數(shù)零點(diǎn)的定義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．4．掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用關(guān)系解決問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)2、指數(shù)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用3、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用三、核心知識(shí)函數(shù)的零點(diǎn)1．已知函數(shù)f(x)＝2x＋6，則方程的解與函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系？提示：方程的解x＝－3?y＝f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)(－3，0)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？為什么？提示：不是，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)實(shí)質(zhì)是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，因此函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)根．1．零點(diǎn)定義：一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．2．幾何意義：α是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的充分必要條件是，(α，0)是函數(shù)圖像與x軸的公共點(diǎn)．函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用我們?cè)诘谝粌?cè)學(xué)習(xí)了函數(shù)的應(yīng)用(一)，常用的函數(shù)模型有哪些？提示：一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b；二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；對(duì)勾函數(shù)模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)；分段函數(shù)模型．用函數(shù)模型解應(yīng)用問題的四個(gè)步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的函數(shù)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．三、核心例題題型1函數(shù)的零點(diǎn)1．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【詳解】由得：或解得或．因此函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn)．故選：B.2．設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】易知在上單調(diào)遞增且連續(xù)，，，所以故選：B3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】易得為增函數(shù)，且，，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B．4．已知方程有一正根和一負(fù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)榉匠逃幸徽鸵回?fù)根，所以，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.5．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)有零點(diǎn)，即與有交點(diǎn)即可，易知單調(diào)遞增，在時(shí)，，時(shí)，，可得函數(shù)的大致圖象如圖，易得.故選：C題型2指數(shù)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用6．某廠1995年的產(chǎn)值為萬(wàn)元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以5%遞增，則該廠到2007年的產(chǎn)值（萬(wàn)元）是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵某廠1995年的產(chǎn)值為萬(wàn)元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以5%遞增，∴該廠到1996年的產(chǎn)值(萬(wàn)元)為,該廠到1997年的產(chǎn)值(萬(wàn)元)為,該廠到1998年的產(chǎn)值(萬(wàn)元)為,∴該廠到2007年的產(chǎn)值(萬(wàn)元)為.故選：C．7．2020年9月22日，在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)期間，中國(guó)提出將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．要實(shí)現(xiàn)這個(gè)承諾，我國(guó)要牢固樹立創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享等新發(fā)展理念，抓住新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的歷史性機(jī)遇，匯聚各方力量推動(dòng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展轉(zhuǎn)型．2023年2月28日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《中華人民共和國(guó)2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2022年全年我國(guó)新能源汽車產(chǎn)量達(dá)到萬(wàn)輛，如果從2023年起，今后3年我國(guó)新能源汽車產(chǎn)量年均增長(zhǎng)率為，則2025年全年，我國(guó)新能源汽車產(chǎn)量預(yù)計(jì)能達(dá)到約（

）萬(wàn)輛【答案】A【詳解】由題意，2022年全年我國(guó)新能源汽車產(chǎn)量達(dá)到萬(wàn)輛，如果從2023年起，今后3年我國(guó)新能源汽車產(chǎn)量年均增長(zhǎng)率為，∴2025年全年,我國(guó)新能源汽車產(chǎn)量預(yù)計(jì)能達(dá)到約：萬(wàn)輛，故選：A.8．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知在藥熏過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)）.據(jù)測(cè)定，當(dāng)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降到0.25mg以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室.從藥熏開始，至少經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故選；C題型3對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用9．習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國(guó)，是我們不懈追求的航天夢(mèng).我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭把嫦娥五號(hào)探測(cè)器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國(guó)首次外太空采樣返回之旅.這為我國(guó)未來(lái)月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，故，故選：C.10．北京時(shí)間2020年11月24日4時(shí)30分，中國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭，成功將嫦娥五號(hào)月球探測(cè)器送人地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭（除燃料外）的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是．按照這個(gè)規(guī)律，若火箭的最大速度可達(dá)到第三宇宙速度，則火箭的燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】D【詳解】由題意得，解得.故選：D11．在環(huán)境檢測(cè)中人們常用聲強(qiáng)級(jí)表示聲音的強(qiáng)弱，其中代表聲強(qiáng)（單位：），為基礎(chǔ)聲強(qiáng)，其值約為，某環(huán)境檢測(cè)點(diǎn)檢測(cè)到某一時(shí)段的聲強(qiáng)約為，則這一時(shí)段的聲強(qiáng)級(jí)約為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：，，.故選：C.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)落在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間上.故選：B.2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是.故選：B3．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】令，得，則．故選：A4．函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為、.故選：C.5．已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】顯然有解，因此，，若，則只有一個(gè)零點(diǎn)，但此時(shí)無(wú)實(shí)解，無(wú)零點(diǎn)，所以，，，由得，由題意，解得（舍去），所以時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，它只滿足C，故選：C．6．紅星幼兒園要建一個(gè)長(zhǎng)方形露天活動(dòng)區(qū)，活動(dòng)區(qū)的一面利用房屋邊墻（墻長(zhǎng)），其它三面用某種環(huán)保材料圍建，但要開一扇寬的進(jìn)出口（不需材料），共用該種環(huán)保材料，則可圍成該活動(dòng)區(qū)的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)這個(gè)活動(dòng)區(qū)垂直于墻的一邊長(zhǎng)是，則平行于墻的一邊是，面積，墻長(zhǎng)，所以，解得，對(duì)稱軸方程，拋物線開口向下，，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，最大為（），故選：C．7．分貝（）、奈培（）均可用來(lái)量化聲音的響度，其定義式分別為，，其中為待測(cè)值，為基準(zhǔn)值．如果，那么（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】A【詳解】因?yàn)椋裕睿瑒t，所以.故選：A.8．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得：；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)；綜上，在上有2個(gè)零點(diǎn).故選：C二、多選題9．若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a的值可能為（

）A．－1 B．6 C．1 D．2【答案】BCD【詳解】函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0和6，則時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，BCD選項(xiàng)都符合.故選：BCD10．設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的零點(diǎn)是0,2 D．若，則m的取值范圍是【答案】AC【詳解】解：由函數(shù)可得的定義域?yàn)镽，故A正確；當(dāng)時(shí)，遞增，可得；時(shí)，遞增，可得，所以的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；由，可得或，故C正確；等價(jià)為或解得或，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題11．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由函數(shù)解析式可得圖象如下，要使函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即與有三個(gè)交點(diǎn)，由圖知：或，即.故答案為：12．某運(yùn)輸公司計(jì)劃租地建造自己的物流倉(cāng)庫(kù)，記倉(cāng)庫(kù)到車站距離為（單位：km），經(jīng)過調(diào)查可知，每月土地占用費(fèi)（單位：萬(wàn)元）

與成反比，每月貨物運(yùn)輸費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與成正比，若在距離車站3km處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為12萬(wàn)元和2萬(wàn)元，則這家公司把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站km處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.【答案】8【詳解】∵每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與成反比，∴可設(shè)，，∵每月貨物運(yùn)輸費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與成正比，∴可設(shè)，，又∵在距離車站處建倉(cāng)庫(kù)時(shí)，與分別為12萬(wàn)元和2萬(wàn)元，即時(shí)，，∴代入函數(shù)可得，，，∴，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，“”成立.故答案為：8.四、解答題13．某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)(1)將利潤(rùn)P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收入=總成本+利潤(rùn)）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，綜上，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為.五、問答題14．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，若，求的值域(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為，，且，求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以當(dāng)，的值為；（2）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，，即，解得或，故的取值范圍為.六、應(yīng)用題15．