五市十校教研教改共同體·2023年下學(xué)期高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)命題單位：主命題：雷鋒學(xué)校副命題：寧鄉(xiāng)一中審題單位：天壹名校聯(lián)盟審題組南方中學(xué)東山學(xué)校本試卷共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件中所給的兩個集合，結(jié)合集合的交集運算求解即可．【詳解】因為，，所以.故選：.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，再計算模長即可．【詳解】復(fù)數(shù)，有故選：D3.國家射擊運動員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績單位：環(huán)，6，9，7，4，8，9，10，7，5，則這組數(shù)據(jù)第70百分位數(shù)為（）A.7 B.8 C. D.9【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念和計算公式可直接求解.【詳解】將10次射擊成績按照從小到大順序排序為：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因為，所以第70百分位數(shù)為，故選：.4.過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分2種情況討論：①直線l的斜率不存在，則其方程為，易得其與圓相切；②直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，根據(jù)直線l與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k的值即可．【詳解】圓化為標(biāo)準方程為，得圓心，半徑為2，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線，此時直線l與圓相切，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，圓心到直線l的距離為，由相切得，所以，平方化簡得，求得直線方程為，綜上，直線l的方程為或故選：B5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐是陽馬，平面ABCD，且，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算法則計算即可．【詳解】，，故選：D6.已知圓錐側(cè)面積是，其側(cè)面展開圖是頂角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及弧長公式可得，，即可由體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐母線長為a，底面半徑為r，側(cè)面積是，則，有側(cè)面展開圖頂角為，有，解得，，則圓錐的高，故，故選：C7.已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知與構(gòu)造補角三角形，可得，再由斜率可得出的關(guān)系即可求解離心率．【詳解】依題意，，過P作軸，由幾何關(guān)系知，所以因，化簡得，即C的離心率為.故選：B.8.如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè)棱長為1，，建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)計算點P坐標(biāo)和向量，再寫出平面的一個法向量的坐標(biāo)，根據(jù)構(gòu)建關(guān)系，求其值域即可.【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長為1，，則，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，故，，又，則，所以．在正方體中，可知體對角線平面，所以是平面的一個法向量，所以．所以當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)或1時，取得最小值．所以.故選：A．【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是偶函數(shù)D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A；代入驗證函數(shù)值可判斷B；求出的表達式即可判斷其奇偶性，判斷C；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出的單調(diào)減區(qū)間即可判斷D.【詳解】對于A，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得的最小正周期為，所以A正確；對于B，當(dāng)時，可得，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，所以B錯誤；對于C，由，此時函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤；對于D，令，，解得，，即函數(shù)的遞減區(qū)間為，，所以D正確．故選：AD10.已知三條直線，，能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值可能為（）A.2 B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】因為三條直線，，能構(gòu)成三角形，所以直線與或都不平行，且直線不過與的交點，進而即可求得實數(shù)m的取值，從而可得結(jié)果．【詳解】因為三條直線，，能構(gòu)成三角形，所以直線與，都不平行，且直線不過與的交點，直線與，都不平行時，，且，聯(lián)立，解得，即直線與交點坐標(biāo)為，代入直線中，得，故可知，結(jié)合選項可知實數(shù)m的取值可以為2或，故選：AD11.如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點A，O和點C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（）A.6 B.8 C. D.【答案】AC【解析】【分析】依題意，，兩邊同時平方后，利用空間向量的數(shù)量積，代入已知數(shù)據(jù)計算，即可求解．【詳解】依題意，，平方得.因為a，b所成的角為，或.當(dāng)時，，，代入數(shù)據(jù)可得，所以，，所以；當(dāng)時，，，代入數(shù)據(jù)可得，所以，，所以.綜上所述，或，即OC的長為6或.故選：AC12.已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，P是C上任意一點，則下列說法正確的是（）A.C的漸近線方程為B.若直線與雙曲線C有交點，則C.點P到C的兩條漸近線的距離之積為D.當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，直線PA，PB的斜率之積為2【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程可判斷A，通過對比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線方程化簡可得定值，則D可判斷.【詳解】雙曲線，則，對于A，C的漸近線方程為，A正確；對于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，若直線與雙曲線C有交點，則，B錯誤；對于C，設(shè)點，則，點P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；對于D，易得，，設(shè)，則，所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯誤．故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點，，則線段AB的垂直平分線的方程是__________．【答案】【解析】【分析】先求出中點的坐標(biāo)，利用兩直線垂直得到所求直線的斜率，點斜式寫出方程，再化為一般式．【詳解】線段AB的中點為，，故垂直平分線的斜率，線段AB的垂直平分線的方程是，即故答案為：14.已知，，則__________．【答案】##【解析】【分析】求出，利用兩角差的余弦即可求解．【詳解】因為，又，所以，所以，故答案為：15.如圖，棱長為1的正方體的八個頂點分別為，記正方體12條棱的中點分別為，6個面的中心為，正方體的中心為.記，，其中是正方體的體對角線.則________.【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，可求的值.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)向量，而，故，故表示各點的坐標(biāo)和的和.現(xiàn)各點的橫坐標(biāo)之和為，縱坐標(biāo)之和為，豎坐標(biāo)之和為，根據(jù)對稱性可得，故，故答案為：.【點睛】方法點睛：對于一些較為復(fù)雜的計算問題，如果直接算比較麻煩，則可以換一個等價的計算方法，從而使得問題得以簡化.16.已知橢圓的左、右焦點分別為，，M為C上任意一點，N為圓上任意一點，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】首先根據(jù)橢圓的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時取等號），結(jié)合，求得的最小值．【詳解】如圖，由M為橢圓C上任意一點，則，又N為圓E：上任意一點，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線且N在M、E之間時取等號），，，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線且M、N在E、之間時等號成立．由題意知，，，則，的最小值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查與橢圓與圓上動點相關(guān)的最值問題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義將目標(biāo)等價轉(zhuǎn)化點共線問題，也即線段的長度問題，通過數(shù)形結(jié)合即可求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.為配合創(chuàng)建全國文明城市，某市交警支隊全面啟動路口秩序綜合治理，重點整治機動車不禮讓行人的行為．經(jīng)過一段時間的治理，從市交警隊數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個路口的車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個路口的違章車次的數(shù)量繪制如圖所示的頻率分布直方圖，統(tǒng)計數(shù)據(jù)中凡違章車次超過30次的路口設(shè)為“重點路口”．（1）根據(jù)直方圖估計這10個路口的違章車次的中位數(shù)；（2）現(xiàn)從“重點路口”中隨機抽取兩個路口安排交警去執(zhí)勤，求抽出來的路口中有且僅有一個違章車次在的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的估計方法可求解；（2）由古典概率模型公式代入化簡求值即可．【小問1詳解】由，所以中位數(shù)位于區(qū)間，頻率分布直方圖可估計中位數(shù)為：；【小問2詳解】由頻率分布直方圖知：違章車次在的路口有4個，記為A，B，C，；違章車次在的路口有2個，記為a，b，從“重點路口”中隨機抽取兩個路口，則，共15種情況，其中有且僅有一個違章車次在的情況有，共8種．所求概率18.已知函數(shù)，且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，求m的取值范圍．【答案】（1）偶函數(shù)；理由見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定義即可判斷；（2）由題意得，對a進行分類討論，判斷出的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可求解．【小問1詳解】為偶函數(shù),理由如下:由得，即函數(shù)的定義域為，可知的定義域關(guān)于原點中心對稱．又，故為偶函數(shù)；【小問2詳解】因為為偶函數(shù)，所以不等式即，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減；（i）當(dāng)時，由已知有,解得；（ii）當(dāng)時，由已知有,解得，故當(dāng)時，m的取值范圍為；當(dāng)時，m的取值范圍為.19.已知圓，直線.（1）求證：直線l恒過定點；（2）直線l被圓C截得的弦長何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時a的值以及最短弦長．【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）將直線l化為求解定點即可；（2）當(dāng)直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長．當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，先由與最短弦所在直線互相垂直，利用斜率關(guān)系求解直線的方程，最后利用幾何法由求弦長.【小問1詳解】直線，即，聯(lián)立解得所以不論a取何值，直線l必過定點【小問2詳解】由，知圓心，半徑為.當(dāng)直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長，當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短．直線l的斜率為，，有，解得此時直線l的方程是圓心到直線的距離為，所以最短弦長是20.已知分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且（1）求（2）若，且為銳角三角形，求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換求得，即可求（2）利用正弦定定理和三角恒等變換求得，結(jié)合B的范圍求出的范圍，即可求周長的范圍．【小問1詳解】由已知和正弦定理得，又，，又，，有，又，【小問2詳解】，且，由正弦定理有，從而，，，，又為銳角三角形，有，且，，，有，故，從而周長的取值范圍為21.如圖，在正三棱柱中，，點D，E，F(xiàn)分別在棱，，上，，為中點，連接（1）證明：平面（2）點P在棱上，當(dāng)二面角為時，求EP的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，，即可得到，，從而得到四邊形為平行四邊形，則，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面的法向量為和平面的法向量為，利用，求出a的值，即可求出結(jié)果．【小問1詳解】取中點，連接，，又為中點，所以為梯形的中位線，所以，，又，故，且，故四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，故平面【小問2詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，設(shè)，可得，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則有，即，取，則，，得，又，即，取，則，，得，由二面角為，得，即，解得，故22.已知橢圓經(jīng)過點，且右焦點為（1）求C的標(biāo)準方程；（2）過點且斜率不為0的直線l與C交于M，N兩點，直線分別交直線AM，AN于點E，F(xiàn)，以EF為直徑的圓是否過定點