2024屆高三期中學業質量監測試卷數學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將答題卷交回。2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號、座位號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上。3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符。4.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設全集，集合，則A. B.C. D.2.已知終邊上一點，則A. B. C. D.3.在中，為的中點，記，，則A. B. C. D.4.已知復數滿足，當的虛部取最大值時，A. B. C. D.5.已知函數的圖象關于點對稱，方程在上有兩個不同的實根，，則的最大值為A. B. C. D.6.在四邊形中，，，則的最大值為A.3 B.4 C.5 D.67.已知數列的通項公式為，若，當數列的前項和取最大值時，A.29 B.32 C.33 D.348.設，，，則A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.若，則下列結論正確的是A. B.若，則或C. D.若，則或10.已知，，，，下列結論正確的是A.若，則B.若，則C.若，則D.若，且，均為銳角，則11.設奇函數與偶函數的定義域均為，且在區間上都是單調增函數，則A.不具有奇偶性，且在區間上是單調增函數B.不具有奇偶性，且在區間上的單調性不能確定C.是奇函數，且在區間上是單調增函數D.是偶函數，且在區間上的單調性不能確定12.已知數列滿足，且，則A.為遞增數列 B.C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.設為實數，若向量，，且與共線，則__________.14.已知函數的減區間為，則__________.15.設等差數列的前項和為，且，是等比數列，滿足，則_______.16.已知函數在，處分別取得極大值和極小值，記點，，的圖象與軸正半軸的交點為.若的外接圓的圓心在以為直徑的圓上，則___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）證明：；（2）求的最小值.18.（12分）如圖，是邊長為2的正三角形的中位線，將沿折起，使得平面平面.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19.（12分）設等比數列的首項為2，公比為，前項的和為，等差數列滿足.（1）求；（2）若，，求數列前項的和.20.（12分）環境監測部門為調研汽車流量對空氣質量的影響，在某監測點統計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的PM2.5的平均濃度（單位：）.調研人員收集了50天的數據，汽車日流量與PM2.5的平均濃度的標準差分別為252，36，制作關于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區域I、II、III、IV，落入對應區域的樣本點的個數依次為6，20，16，8.（1）請完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為PM2.5平均濃度不小于與汽車日流量不小于1500輛有關；汽車日流量汽車日流量合計PM2.5的平均濃度PM2.5的平均濃度合計（2）經計算得回歸方程為，求相關系數，并判斷該回歸方程是否有價值.參考公式：①，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828②回歸方程，其中.③.若，則與有較強的相關性.21.（12分）已知雙曲線的右頂點為，過點且斜率為的直線與的左、右支分別交于點，.（1）若，求；（2）若直線，與軸分別交于點，，，求.22.（12分）已知函數.（1）若是函數的極小值點，求證：；（2）若，求.2024屆高三期中學業質量監測試卷數學參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B【解析】，選B.2.【答案】B【解析】，，選B.3.【答案】A【解析】，選A.4.【答案】B【解析】令，，則，，∴，∴，，∴，選B.5.【答案】D【解析】關于對稱，，∴，，，；.6.【答案】C【解析】設，，選C.7.【答案】C【解析】，，，∴，∴時，取最大值.8.【答案】A【解析】令，，∴，∴在，，∴.令，，，，，，，∴∴，在，，∴，∴，選A.對于和的比較，∵（，當且僅當時取“=”），（運用了時，），∴.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.【答案】ACD【解析】，A對.，此時且，B錯.，，，，，，C對.，則或，D對，選ACD.10.【答案】ABD【解析】，，A對.，B對.，，，∴，C錯.，則，則∴，∴，D對，選ABD.11.【答案】ABD【解析】方法一：，在區間上都是單調增函數，單調增，單調性沒有辦法確定，單調性的沒有辦法確定，C錯.單調性沒有辦法確定，為奇函數，為偶函數，奇偶性，A，B對.，∴為偶函數，D對，選ABD.方法二：例如取，，，顯然非奇非偶，又，，均在上單增，增+增=增，A對.對于B，，在上；上，B正確.此時，，在上先減后增了，C錯.對于D，，在上也是先減后增，D正確.選：ABD.12.【答案】ABC【解析】，由知與同號，，∴易知，，，A正確.，C正確.且對于B，∵，∴，∴，∴，B正確.對于D，，∴（當且僅當時取“=”），∴，D錯.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】【解析】，，與共線，則，則.14.【答案】3【解析】，解集為，則.15.【答案】【解析】為等比數列，為等差數列，，則的等比數列，，∴，則，∴，，，∴，.16.【答案】【解析】方法一：，或.，或.的圖象與軸正半軸交點為，則，.在，，，，，外接圓：，∴，圓心，在以為直徑的圓上.∴，∴，∴，∴.方法二：∵的圖象與軸正半軸交于，∴，大致圖象如下圖.∴，，令或，∴，，∴，，中垂線方程：，中垂線方程，∴，，，∴，∴.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）∵，∴.（2）當且僅當即，時取“=”.18.【解析】（1）取中點，連接，∵為等邊三角形，∴，又∵平面平面，∴平面，∴.（2）如圖建系，∴，，，，，∴，，，，設平面與平面的一個法向量分別為，，∴，.設平面與平面夾角為，∴.19.【解析】（1）∵為等差數列，∴，而，，，∴，或1.（2）∵，∴，∴，，∴，∴，∴.20.【解析】（1）2×2列聯表如下：汽車日流量汽車日流量合計PM2.5的平均濃度16824PM2.5的平均濃度62026合計222850∴∴有99%的把握認為PM2.5平均濃度不小于與汽車日流量不小于1500輛有關.（2），而，，∴.∵，∴與有較強的相