1.空間運動方程2.六自由度運動仿真器3.潛艇操縱性仿真程序第五講：5.1空間運動方程

隨著潛艇水下航速的提高和潛深的增加，潛艇在水中的運動已成為六自由度的空間運動。雖然在許多情況下，在航行的極大部分時間內，基本上仍是個平面運動，然而為了充分發揮潛艇的戰術性能，研究潛艇的空間運動性能是十分重要的。本節把潛艇當作剛體，推導用動系表示的空間運動一般方程，并簡要介紹空間運動方程研究的歷史和現狀。5.1.1潛艇六自由度運動的一般方程式一、質點的線速度

設潛艇的重心G與動系原點O不重合，把重心看成作—般運動的剛體上的一點Si(x,y,z)，由速度合成定理可知，該點(Si)相對于地球(即定系)的運動速度矢量Vi(即絕對速度)可寫成

Vi=V0+Ω×Ri式中，V0——動系原點O相對于定系的速度，即質點Si(有時是指潛艇重心G點)的牽連速度。Ω——質點Si繞O點的轉動角速度。在同一瞬時，潛艇上各點的轉動角速度為常數，因為這里視艇體為剛體。Ri——質點Si相對于O點的矢徑，且有Ri=xi+yj+zk。用分量形式改寫成其中

——O點分別沿軸的速度分量：

——Si點分別繞軸的角速度分量；

——在動系軸方向的單位矢量，經整理可得：Vi=V0+Ω×RiV與潛艇縱中剖面的夾角為漂角β，

V與艇的基面之夾角為攻角α。二、質點的加速度

由于i、j、k是動系坐標上的單位矢量，其模是常數，其方向隨時間而變化。當動系以角速度Ω轉動時，根據矢量導數的法則有：將速度表達式對時間求導得潛艇運動一般方程六個自由度的潛艇運動方程如下式中前三式為質心運動定理在動系上的表示式，后三式即是著名的剛體繞定點(質心)轉動的歐拉動力學方程式。HEUAUVLAB（二）潛艇六自由度運動的一般方程式由動量定理可知，當潛艇(剛體)的動量B用質量m和質心速度VG的乘積表示，即設作用于潛艇的外力為F，則有將速度表達式代入得即是質心運動定理，因為：上式即是重心G與動系原點O不重合時，質心運動定理在動系上的表示式。它表示作用于剛體的外力與運動參數之間的關系，也稱為力的方程式。所以：潛艇運動一般方程六個自由度的潛艇運動方程如下式中前三式為質心運動定理在動系上的表示式，后三式即是著名的剛體繞定點(質心)轉動的歐拉動力學方程式。HEUAUVLAB

取作用于剛體(潛艇)上任一質點Si的外力對動系原點O的力矩dMi為：而其中——質點Si(x,y,z)的密度—Si的微元體積。下面來推導剛體統定點轉動的歐拉動力學方程式。式中：當在潛艇水下全排水體積▽范圍內積分時，可得潛艇質量為；類似有根據表達式，將各物理量代入，并在▽范圍內積分得：式中其中

——潛艇質量m對軸的轉動慣量

——潛艇質量對平面的慣性積

考慮到潛艇操縱性研究中采用的動系是與艇體慣性主軸重合的，即為零，此外，作用于潛艇的外力矩M在動系上的分量為；從而有潛艇運動一般方程六個自由度的潛艇運動方程如下式中前三式為質心運動定理在動系上的表示式，后三式即是著名的剛體繞定點(質心)轉動的歐拉動力學方程式。HEUAUVLAB當動系原點取在艇的重心o點時，可簡化成該式就是歐拉動力學方程在推導過程中作了兩次簡化：

(1)采用固聯于剛體的動系，以使Ixx、Iyy等都是常數；(2)采用原點上的慣性主軸為動系的坐標軸，以消去慣性積Ixy等。由此使方程組多出了（Izz-Iyy)qr等項，即回轉效應。將力和力矩的表達式合在一起，即是潛艇在空間六自由度運動方程的一般形式。此時艇的重心G與動系原點O不重合(或重合)，但動系三坐標軸是艇體的慣性主軸。對于潛艇在水平面運動的一般方程為；取則可化簡為同理，垂直面運動一般方程為：還有，橫滾面運動一般方程為1.5.2空間運動的受力表達式本節介紹潛艇空間運動時所受的外力(矩)，包括重力與浮力等靜力、艇體水動力、舵力和螺旋槳推力等的空間表達式，故需將定系中的量轉換到動坐標系。一、靜力作用在潛艇上的靜力包括重力、浮力及它們的力矩。重力可以分成兩部分：水下全排水量P0和載荷的改變量ΔP，前者作用于重心，后者作用于浮力也可分成兩部分：水下全排水容積浮力B0，作用于,浮力的改變量ΔB，作用于所以，總的重力和浮力為：其中：且有由于重力和浮力的方向總是鉛垂的，所以在定系中的分量為(0，0，P—B)。將其轉移到動系上去，有靜力對于動系原點的力矩為其中為重力和浮力作用點對于動系原點的矢徑。將此式展開或用分量表示，并略去改變量符號“Δ”，則有式中為簡化書寫，省去式中的符號“-”。注意，式中的都是指的重力與浮力的改變量及它們的作用位置。二潛艇所受的流體慣性力任意形狀的剛體在無邊際理想流體中運動時，流體擾動運動的動能表示為：展開后得：

考慮艇體形狀因素：艇體對稱于xoz平面，加速運動不會產生Y、N、K方向的流體慣性力(矩),因而所有i+j＝奇數的18個系數全為零；艇體上下大體對稱，故系數λ13、λ15數值甚小可略去。計及λij＝λji，表示流體慣性力的36個附加質量系數僅保留14個元素，其中10個是獨立的量。此時作用于潛艇的流體慣性力則為：流體擾動運動的動量Bi及與動能T有關系將動能表達式代入，并求取流體的動量、動量矩在動系上的投影式潛艇所受的流體慣性類水動力FI和力矩MI為將各慣性力(矩)在動系上進行投影得：則作用于艇體的流體慣性力—般式為：三、潛艇所受的粘性水動力

前一講介紹了兩個平面運動中所受的線性和非線性粘性類水動力。對于空間運動來講，再補充以下受力情況。(一)橫搖運動時角速度p所引起的水動力

潛艇在直航中迭加橫傾角速度p,潛艇的瞬間運動猶如是個螺旋運動。該運動對于主艇體的影響是引起了橫傾阻尼力矩；對于指揮室圍殼、舵和穩定翼等附體，將改變它們的局部攻角從而引起附加水動力，這些附加水動力也將構成部分橫傾阻尼力矩。由于p引起的橫傾阻尼力矩可分成線性項和非線性。如果直航時相對于隨體的流動存在不對稱性，還有零力矩。故有另外，由于艇體上下不對稱，p引起的附加水動力除了產生橫傾阻尼力矩外，還導致其它坐標軸方向上的力和力矩Y(p)、Z(p)和N(p)、M(p)，并且Y(p)和N(p)是p的奇函數，Z(p)和M(p)是p的偶函數。其中Z(p)和M(p)要比Y(p)和N(p)小得多，通常忽略，并可表示成：(二)兩個平面運動之間的相互影響

由于艇形左右對稱，故垂直面運動參數只引起，而不會產生Y、N、K力。但因為艇形上下不對稱，水平面運動參數v、r不只引起Y(v，r)、N(v，r)，而且還會產生Z(v，r)、M(v，r)和K(v，r)。Z、M為偶函數，該項就是水平面回轉運動引起的垂直面的艇重(下沉力)和尾重(尾傾力矩)；而K(v,r)是奇函數。它們可寫成：(三)其它耦合系數當艇以β、α作斜側直航，水動力中將出現v~w交叉耦合影響，攻角的存在，將使Y(v)產生附加水動力，這部分即是v~w的耦合力，即:同理，凡w對以及v對的非線性耦合系數，都可以用相同方法予以合并簡化。

關于側向速度v、w和角速度p、q、r或兩種角速度pq、pr、qr的耦合運動，由此引起的耦合水動力系數，除了前面剛介紹的各項粘性力外，還由于艇體對稱性緣故而為零，或由于其值很小而略去的項。(四)空間運動時的舵力(注：這里方向舵角添加了下標，即δr)

對各種剖面的舵已發表了很多水動力試驗資料，可查閱有關手冊選用。-舵的升力系數

-舵的阻力系數

-垂直于水流方向的升力-沿水流方向的阻力-海水的密度-潛水器的運動速度-舵面積(五)螺旋槳推力

空間運動時的螺旋槳推力，作為一種近似，不考慮斜流對于軸向推力的影響及斜流引起的側向推力分量和螺旋槳扭矩。于是，可用水平面運動的推力表達式，即試驗設備試驗過程描述

試驗設備試驗設備測定試驗結果及其分析1.5.3潛艇六自由度空間動力學方程式在1967年泰勒海軍艦船研究和發展中心發表了格特勒等的《用于潛艇模擬研究的標準運動方程。下面所要介紹的六自由度空間運動方程是以上述標準方程為基礎，主要省略了螺旋槳負荷的影響，即認為潛艇機動過程中槳的負荷不變，進程比也不變，J＝Jc或，Jc/J＝η＝1。同時設動坐標系的原點O與艇的重心G重合，由此得如下入自由度空間運動方程：軸向力方程：其中，為螺旋槳的推力。側向力方程：垂向力方程：橫搖力矩方程：縱傾力矩方程：偏航力矩方程：其運動關系式為標準運動方程的特點

舶船操縱運動方程的形式在很大程度上依賴于水動力的試驗方法和表達方式，而對水動力的了解和掌握的程度決定了可能采用的操縱運動方程。1967年發表的格持勒等的潛艇標準運動方程，進一步統一了潛艇運動方程的坐標系、符號以及水動力的表達形式。方程中的水動力主要是通過以PMM為主，輔之以旋臂裝置測定的，非線性水動力系數均以二階項表示。同時以(η-1)的形式考慮了潛艇在機動過程中，由于螺旋槳負荷和航速的變化對艇體及舵的水動力的影響，其中當螺旋槳的轉速n恒定不變時，η＝Jc／J。而在實船自航點時，V＝Vc,n＝nc，則η-1＝0，其中nc、Vc為指令轉速和航速。

該方程主要用于實時模擬，故方程是以有因次形式給出。由于該方程是建立在大量船模試驗(拘束船模和自航船模)、占有大量實艇試航資料的基礎上，并是帶有官方性質的機構發布的，因此具有很高的權威。費爾德曼1975年根據對計算機模擬預報和實艇試驗結果的相關性分析指出，利用標準運動方程及其相應的系數，在大多數情況下，可以對潛艇水下前進運動的軌跡作出精確的預報，與實艇試驗結果吻合的很好，重復性也好。然而，在高速、大舵角回轉中，對深度改變、縱傾角和橫傾角的預報尚須改進。

潛艇在空間的位置取決于動坐標系原點在定系中的三個坐標分量以及動系對于定系的三個姿態角。可得坐標系變換關系式：或小結潛艇六自由度運動的一般方程1.靜力2.潛艇所受的流體慣性力3.潛艇所受的粘性水動力4.空間運動時的舵力5.螺旋槳推力方程組左面：潛艇六自由度空間動力學方程式軸向力方程：慣性力：粘性力舵力靜力螺旋槳推力舵力螺旋槳推力加速度速度位移舵力螺旋槳推力習題１：對于任意形狀物體有36個附加質量。對于潛艇來說，若艇體對稱于x0z面，艇體上下大體對稱，附加質量中哪些項為０？最終剩余哪些項？獨立的量有哪些？

考慮艇體形狀因素：艇體對稱于xoz平面，加速運動不會產生Y、N、K方向的流體慣性力(矩),因而所有i+j＝奇數的18個系數全為零；艇體上下大體對稱，故系數λ13、λ15數值甚小可略去。計及λij＝λji，表示流體慣性力的36個附加質量系數僅保留14個元素，其中10個是獨立的量。此時作用于潛艇的流體慣性力則為：習題２：推導作用于艇體的流體慣性力—般式。二潛艇所受的流體慣性力任意形狀的剛體在無邊際理想流體中運動時，流體擾動運動的動能表示為：展開后得：

考慮艇體形狀因素：艇體對稱于xoz平面，加速運動不會產生Y、N、K方向的流體慣性力(矩),因而所有i+j＝奇數的18個系數全為零；艇體上下大體對稱，故系數λ13、λ15數值甚小可略去。計及λij＝λji，表示流體慣性力的36個附加質量系數僅保留14個元素，其中10個是獨立的量。此時作用于潛艇的流體慣性力則為：流體擾動運動的動量Bi及與動能T有關系將動能表達式代入，并求取流體的動量、動量矩在動系上的投影式潛艇所受的流體慣性類水動力FI和力矩MI為將各慣性力(矩)在動系上進行投影得：則作用于艇體的流體慣性力—般式為：習題３：推導潛艇空間運動中X,Y,Z三個自由度的一般方程（重心與動系坐標原點不重合）。一、質點的線速度

設潛艇的重心G與動系原點O不重合，把重心看成作—般運動的剛體上的一點Si(x,y,z)，由速度合成定理可知，該點(Si)相對于地球(即定系)的運動速