2023-2024學年北京市高三上冊期中考試數學試題考查目標知識：集合與簡易邏輯；不等式；函數與導數；三角函數與解三角形；立體幾何；平面解析幾何；排列組合與二項式定理；概率統計能力：數學抽象概括；邏輯推理論證；數學建模應用；直觀想想；數學運算；數據分析；空間想象能力一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知集合或，，則集合（

）A． B．C．或 D．或2．在復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，，若，則實數（

）A．2 B．1 C． D．5．已知實數滿足，則下列關系式恒成立的是（

）A． B．C． D．6．函數的圖像關于直線對稱，則可以為（

）A． B． C． D．17．關于函數,下列說法錯誤的是A．是奇函數B．不是的極值點C．在上有且僅有3個零點D．的值域是8．二維碼與生活息息相關，我們使用的二維碼主要是大小的，即441個點，根據0和1的二進制編碼，一共有種不同的碼.假設我們1秒鐘用掉1萬個二維碼，1萬年約為秒，那么大約可以用（

）（參考數據：）A．萬年 B．117萬年 C．萬年 D．205萬年9．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓維組成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（

）A． B． C． D．10．對于函數﹐若集合中恰有個元素，則稱函數是“階準偶函數”.若函數是“階準偶函數”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11．已知角的頂點在坐標原點，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點，且點的縱坐標為，則．12．在的二項展開式中，第四項為．13．已知函數.①若，則；②若，使成立，則的最小值是.14．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為

15．某班在一次考試后分析學生在語文?數學?英語三個學科的表現，繪制了各科年級排名的散點圖（如下圖所示）．關于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結論：①三科中，數學年級排名的平均數及方差均最小；②語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；③本次考試該班語文第一名、數學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數學排名均在150以內的概率為．其中所有正確結論的序號是．三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16．如圖1所示，在等腰梯形，，垂足為，將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示，點為棱上一個動點．(1)當點為棱中點時，求證：平面(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．17．在中，．(1)求；(2)再從條件①?條件②?條件③這三組條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一確定，求的長．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．18．某學校組織高一、高二年級學生進行了“”的知識競賽.從這兩個年級各隨機抽取了40名學生，對其成績進行分析，得到了高一年級成績的頻率分布直方圖和高二年級成績的頻數分布表.

成績分組頻數2616142高二規定成績不低于90分為“優秀”.(1)估計高一年級知識競賽的優秀率：(2)將成績位于某區間的頻率作為成績位于該區間的概率.在高一、高二年級學生中各選出2名學生，記這4名學生中成績優秀的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列；(3)在高一、高二年級各隨機選取1名學生，用X，Y分別表示所選高一、高二年級學生成績優秀的人數.寫出方差的大小關系.（只需寫出結論）19．已知橢圓經過和兩點，點為橢圓C的右頂點，點P為橢圓C上位于第一象限的點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N．(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)比較的面積與的面積的大小，并說明理由．20．已知函數.（1）求的極值；（2）已知，且對任意的恒成立，求的最大值；（3）設的零點為，當，，且時，證明.21．若無窮數列滿足，是正實數，當時，，則稱是“數列”.(1)若是“數列”且，寫出的所有可能值；(2)設是“數列”，證明：是等差數列充要條件是單調遞減；是等比數列充要條件是單調遞增；(3)若是“數列”且是周期數列（即存在正整數，使得對任意正整數，都有），求集合的元素個數的所有可能值的個數.1．C【分析】根據并集概念進行求解.【詳解】或.故選：C2．D【分析】先化簡原式，然后根據實部虛部確定復數所在象限.【詳解】，在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限.故選：D.本題考查復數與復平面的關系，屬于基礎題.3．A【分析】根據不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由可得，由可得，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.4．C【分析】先寫出的坐標，再由可求得參數.【詳解】∵向量．∴，∵，∴，解得．故選：C．5．D根據，利用指數函數的單調性得到，然后再逐項判斷.【詳解】因為，所以由指數函數的單調性得：A.當時，，故錯誤；B.當時，，故錯誤；C.當時，，故錯誤；D.因為冪函數在R上是增函數，所以，故正確；故選：D6．C【分析】的對稱軸為，化簡得到得到答案.【詳解】對稱軸為：當時，取值為.故選:C.7．C【詳解】分析：利用函數的奇偶性、極值、零點、值域分析每一個選項得解.詳解：對于選項A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函數f(x)是奇函數，所以選項A是正確的.對于選項B,，可以得到函數f(x)在是增函數，在也是增函數，所以0不是函數的極值點，所以選項B正確.對于選項C,由于函數在是增函數，在是增函數，且f(0)=0,所以函數在上有且僅有1個零點，所以選項C錯誤.對于選項D,函數的值域為R，所以選項D正確故選:C.8．A【分析】估算出可用的年限，然后取常用對數計算即可.【詳解】由題意大約可以用萬年，則，所以，即大約可以用萬年.故選：A9．A細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，求出細沙的體積，再設細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細沙的體積，由體積相等求解，則答案可求.【詳解】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細沙的體積為.細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設高為，則，得.∴.故選：A.此題考查圓錐體積公式的應用，屬于中檔題10．B根據“階準偶函數”定義，分，，三種情況分析即可得答案.【詳解】解：根據題意，函數是“階準偶函數”，則集合中恰有個元素.當時，函數有一段部分為，注意的函數本身具有偶函數性質，故集合中不止有兩個元素，矛盾，當時，根據“階準偶函數”的定義得的可能取值為或，為，故當，該方程無解，當，解得或，故要使得集合中恰有個元素，則需要滿足，即；當時，函數，的取值為，為，根據題意得滿足恰有兩個元素，故滿足條件.綜上，實數的取值范圍是.故選：B本題解題的關鍵是根據新定義的“階準偶函數”，將問題轉化為研究函數，可能取何值，進而根據方程有兩個解或求解.考查運算求解能力與綜合分析能力，是中檔題.11．##【分析】由題設確定的坐標，再由三角函數的定義求.【詳解】由題設知：，故.故12．【分析】利用二項式定理寫出展開式通項公式，進而求第四項.【詳解】由題設，當時，第四項為.故13．【分析】①由已知可得，利用正弦函數的圖象及特殊角的三角函數值，結合范圍，即可得解的值；②化簡已知等式可得，由正弦函數的性質可得，，，結合范圍，即可得解的最小值．【詳解】解：①由已知可得，可得，或，，，當時，．②，使成立，即，，使，，，解得，，，又，的最小值是．故，．14．8【分析】由，，然后由數量積的運算公式，結合正六邊形的性質，即可求解.【詳解】如圖，連結，顯然，，，點在正六邊形的邊上運動，是其中心，因此的最小值等于中心到正六邊形的邊的距離，距離為.所以的最大值為.故815．①②④【分析】依據平均數和方差的定義判斷①；求得語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生人數判斷②；求得語文第一名、數學第一名、英語第一名的同學判斷③；求得從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數學排名均在150以內的概率判斷④.【詳解】①：三科中，數學對應的點比英語對應的點到橫軸的距離近且較為密集，數學對應的點到橫軸的距離比語文對應的點到縱軸距離近且較為密集，所以數學年級排名的平均數及方差均最小.判斷正確；②：語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人.判斷正確；③：本次考試該班語文第一名、數學第一名、英語第一名為同一名同學.判斷錯誤；④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學，語文排名大于200且英語和數學排名均在150以內的同學僅有1位同學.故從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數學排名均在150以內的概率為．判斷正確.故答案為①②④16．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取點為棱的中點，可得四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得答案；（2）由面面垂直的性質定理可得平面，再由線面垂直的性質定理得，利用勾股定理得，最后由線面垂直的判定定理可得答案；（3）以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，求出、平面的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）取點為棱的中點，連接，所以，，在等腰梯形，，，所以，可得，，所以四邊形為平行四邊形，，又因為平面，平面所以平面；（2）連接，因為平面平面，平面平面，平面，，可得平面，因為平面，所以，因為，，所以，，，可得，即，且，平面，所以平面；（3）以為原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，所以，所以，，設為平面的一個法向量，可得，即，令，可得，，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)選條件②，的長為.【分析】（1）利用三角形的內角和、誘導公式、二倍角的余弦公式對原始進行化簡即可求解.（2）對三個條件逐項分析，利用正弦定理、余弦定理求解邊的長度，注意題干中有唯一解，條件①無解，條件③有多個解，只有用條件②，有唯一解.【詳解】（1）解：因為，則，故，又.所以.（2）解：選條件①：，即，由余弦定理得，即，整理得，，故無解.選條件②：，即，則，由正弦定理得，即，解得，所以，解得：，則.又，由正弦定理得，解得.條件③：的面積為，因為,且，故或.故對于條件③，有2種可能，只要經過縮放就能使的面積為，故不唯一.綜上，選條件②，的長為.18．(1)；(2)分布列見解析；(3).【分析】（1）先計算樣本的優秀率，從而可解；（2）根據分布列的求解步驟即可求解；（3）根據兩點分布的方差計算公式即可判斷.【詳解】（1）高一年級知識競賽的優秀率為，所以高一年級知識競賽的優秀率為.（2）在高一年級學生中選中成績優秀學生的概率為，選中成績不優秀學生的概率為；在高二年級學生中選中成績優秀學生的概率為，選中成績不優秀學生的概率為.的所有可能取值為0，1，2，3，4；，，，，，所以隨機變量ξ的分布列為：P01234ξ（3）顯然均符合兩點分布，且，，所以.19．(1)，離心率；(2)相等，理由見解析【分析】（1）根據求橢圓方程，以及離心率；（2）首先設點的坐標，再利用坐標分別表示兩個三角形的面積，做差后，即可比較大小.【詳解】（1）由題意可知，，，所以橢圓方程為，離心率；（2）設直線，令，得，直線，令，得，所以，所以

20．(1)極小值為-1，無極大值；(2)3；(3)證明見解析.【分析】(1)對函數求導，分析導函數在其零點分定義區間上的正負即可得解；(2)將給定不等式等價轉化，構造函數，并討論其最值即可得解；(3)討論函數的零點，構造函數并討論其單調性，再借助單調性即可作答.【詳解】(1)函數定義域為，，時時，時，取得極小值，無極大值，所以的極小值為-1，無極大值；(2)，令，，由(1)知在上單調遞增，而，，即，當時，，當時，，于是得在上遞減，在上遞增，則時，，從而有，而，則，所以的最大值是3；(3)由(1)知在上遞增，，，即大于1的零點，令，，顯然在上單調遞減，，于是得，在上單調遞減，，且時，，即，所以，且時，..21．(1)(2)證明見解析(3)1009【分析】（1）利用遞推關系，根據分類討論思想求解即可；（2）當是等差數列時，利用反證法可證明單調遞減，根據等比數列的性質可證后者；（3）先證是數列的最大項，再證明當是奇數時，是的奇數倍，當是偶數時，是的偶數倍，即可求出.【詳解】（1）由題可知，則或2，因為，所以當時，，則或，當時，，則或4，因為，所以當時，，則或，當時，，則或2，當時，，則或2，當時，，則或8，綜上，的所有可能值為；（2）因為，所以或，當是等差數列時，假設，則，此時，而，矛盾，所以，于是公差，所以單調遞減；當單