2023-2024學年四川省高考沖刺數學（文）仿真模擬試題（三模）一、單選題1．復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先求出等式右側復數的模，然后表示出復數z，再化簡變形求得結果.【詳解】由已知，可得，∴.故選：C．2．已知集合，則中的元素個數為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【正確答案】B【分析】解一元二次不等式化簡集合B，再根據已知列出不等式，求解判斷作答.【詳解】解不等式得：，即，而，由解得：，又，顯然滿足的自然數有9個，所以中的元素個數為9.故選：B3．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】判斷的范圍，求得的值，利用二倍角公式，即可求得答案【詳解】由題意，則，由可得，即有，即，，解得，故選：C4．某幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的體積是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用三視圖還原成直觀圖，然后根據體積公式求解即可【詳解】還原成直觀圖，幾何體的上面為圓錐，下面為圓柱且被軸截面分割出的一半的組合體，底面是半徑為2的半圓，圓錐的高為2，圓柱的高為1，所以體積為,故選：C.5．Sigmoid函數是一個在生物學中常見的S型函數，也稱為S型生長曲線，常被用作神經網絡的激活函數.記為Sigmoid函數的導函數，則下列結論正確的是（

）A．B．函數是奇函數C．Sigmoid函數的圖象是關于中心對稱D．Sigmoid函數是單調遞增函數，函數是單調遞減函數【正確答案】C【分析】求導得可判斷A，再由奇偶性的定義與性質可判斷BD，由可以判斷C【詳解】對于A：由題意得，選項A錯誤；對于B：設，則，所以函數不是奇函數，選項B錯誤；對于C：因為，所以，所以Sigmoid雨數的圖象的對稱中心為，選項C正確；對于D：由B可知，由的圖象關于y軸對稱，可知函數不單調，故選項D錯誤.故選：C6．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【正確答案】B【分析】由題可得，然后利用二倍角公式結合條件可得，然后根據離心率公式即得.【詳解】因為，為的中點，所以，，所以，又，，所以，所以.故選：B.7．已知函數及其導函數的定義域均為，記，若為奇函數，為偶函數，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【正確答案】C【分析】先根據為偶函數得到，兩邊取的導數可得：求，進而得到，在根據導函數為奇函數可得到導函數的遞推公，然后根據遞推公式即可求解.【詳解】∵為偶函數，∴，即，兩邊同時對x求導得，即，令，則，∵為奇函數，∴，又，即，聯立得，即，∴，故選：C．8．在三棱錐中，，，設側面與底面的夾角為，若三棱錐的體積為，則當該三棱錐外接球表面積取最小值時，（

）A． B． C． D．4【正確答案】B【分析】通過計算推出為的外接圓的直徑，到平面的距離為，設的中點為，則為的外接圓的圓心，設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，根據以及求出的最小值及取最小值時，有平面，再取的中點，連，，則可得，計算可得.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，所以為的外接圓的直徑，設的中點為，則為的外接圓的圓心，因為，設到平面的距離為，則，所以，當該三棱錐外接球表面積取最小值時，半徑最小，設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，若點和點在平面的同側，如圖：則，即，當且僅當三點共線時，取等號，在中，，所以，所以，所以，當且僅當三點共線時，取等號，若點和點在平面的異側，則，所以，若與重合時，，不合題意，綜上所述：的最小值為，且當時，三點共線，此時平面，取的中點，連，，則，因為平面，平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，所以是側面與底面的夾角，即，因為，，所以.故選：B二、多選題9．某校為了解學生每個月在圖書館借閱書籍的數量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數為5，方差為9；圖書管理員乙也抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數為7，方差為16.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為200的新樣本，則新樣本數據的（

）A．平均數為6 B．平均數為 C．方差為 D．方差為【正確答案】AD【分析】根據已知條件，結合平均數和方差公式即可求解．【詳解】新樣本平均數為，故A正確，B錯誤；又因為甲的方差為，，，且，則乙的方差為，，，且，，，，，新樣本的方差為：故D正確C錯誤.故選：AD.三、單選題10．記不等式組表示的平面區域為，命題；命題.給出了四個命題：①；②；③；④，這四個命題中，所有真命題的編號是A．①③ B．①② C．②③ D．③④【正確答案】A【分析】根據題意可畫出平面區域再結合命題可判斷出真命題.【詳解】如圖，平面區域D為陰影部分，由得即A（2，4），直線與直線均過區域D，則p真q假，有假真，所以①③真②④假．故選A．本題將線性規劃和不等式，命題判斷綜合到一起，解題關鍵在于充分利用取值驗證的方法進行判斷．11．設為等差數列的前項和，且，都有.若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【正確答案】A【分析】利用等差數列求和公式可化簡已知不等式得到數列為遞增的等差數列；結合可確定當且時，，當且時，，由此可得結論.【詳解】由得：，即，數列為遞增的等差數列，，，，當且時，；當且時，；有最小值，最小值為.故選：A.12．函數和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為，則下列說法正確的是（

）①；②；③；④A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【正確答案】B【分析】先求導，對分兩種情況討論，求出函數的最大值即可判斷①②；由數形結合思想可知：當直線經過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，再利用指數和對數恒等式證明④正確；再利用反證法判斷③的真假.【詳解】，，當時，當時，，在上單調遞增，當時，，在單調遞減；當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減.與有相同的最大值，，即，，.當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，所以①②正確.兩個函數圖象如下圖所示：

由數形結合思想可知：當直線經過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，且，由，又，又當時，單調遞增，所以，又，又，又當時，單調遞減，所以，，，于是有，所以④正確，如果，則，所以，與矛盾，所以錯誤，所以③錯誤.故選：B關鍵點睛：解答本題的關鍵是判斷④，要利用指數和對數恒等式，得到，.四、填空題13．若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為________.【正確答案】/【分析】先利用數量積公式求出，再求出，最后代入向量的夾角公式得解.【詳解】是夾角為的兩個單位向量，則，，，，，，.故14．甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為________.【正確答案】【分析】設“甲獨立地破解謎題”為事件，“乙獨立地破解謎題”為事件，“謎題被破解”為事件，利用求解.【詳解】設“甲獨立地破解謎題”為事件，“乙獨立地破解謎題”為事件，“謎題被破解”為事件，且事件，相互獨立，則.故15．已知O為坐標原點，F為拋物線的焦點，過點F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點（其中點A在第一象限）．若直線AO與拋物線的準線l交于點D，設，的面積分別為，，則______．【正確答案】/0.5625【分析】直線方程為.聯立直線方程與拋物線的方程，求出點的坐標，進而得到的坐標，表示出，，即可得出結果.【詳解】由題意知，，直線方程為.設，.聯立直線方程與拋物線的方程，解得或.因為點A在第一象限，所以，，直線方程為，點坐標為.因為，所以軸.所以，，所以.故答案為.16．已知三角形數表：現把數表按從上到下、從左到右的順序展開為數列，記此數列的前項和為．若，則的最小值是_____．【正確答案】95【分析】先找出每行的規律，再利用等比數列和等差數列的前項求解.【詳解】設首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推．設第組的項數為，則組的項數和為，因為，令得即出現在第13組之后，第組的和為，組總共的和為，若，則項的和應與互為相反數，

設項總共有項，則其前項和為所以解得當時，，則的最小值為.故95.五、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．(1)求的值；(2)求的面積．【正確答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理求出與之間的關系，結合，利用三角恒等變換即可求解；(2)結合(1)中條件，求出即可求解.【詳解】（1）因為，，所以由正弦定理知，，又由，故，所以，故．（2）由知，，，記的面積為，因為，所以，故的面積為．18．如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；(2)若，分別為，的中點，求三棱錐的體積.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，可得，再利用勾股定理證明，即可證得平面，再根據面面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點，連接，根據面面垂直的性質證明平面，再根據結合棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1），，，，平面，平面，又平面，，由直角梯形，，，，，得，則，所以，又，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）取的中點，連接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）得，則，，，，，即三棱錐的體積為.

19．2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了200人進行調查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生有20人表示對冰球運動沒有興趣．(1)完成列聯表，并回答能否有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”？有興趣沒興趣合計男110女合計(2)已知在被調查的女生中有5名數學系的學生，其中3名對冰球有興趣，現在從這5名學生中隨機抽取2人，求至少有1人對冰球有興趣的概率．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635．【正確答案】(1)填表見解析；有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”；(2).【分析】（1）根據給定數據，完善列聯表，計算的觀測值，再與臨界值表比對作答.（2）對5人編號，利用列舉法結合古典概型概率公式計算作答.【詳解】（1）根據已知數據得到如下列聯表：有興趣沒有興趣合計男9020110女603090合計15050200根據列聯表中的數據，得，，所以有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”.（2）記至少1人對冰球有興趣為事件D記5人中對冰球有興趣的3人為A、B、C，對冰球沒有興趣的2人為m、n，則從這5人中隨機抽取2人，有，共10個結果，其中2人對冰球都有興趣的有，共3個結果，1人對冰球有興趣的有，共6個結果，則至少1人對冰球有興趣的有9個結果，所以所求事件的概率．20．設A，B是橢圓上異于的兩點，且直線AB經過坐標原點，直線PA，PB分別交直線于C，D兩點．(1)求證：直線PA，AB，PB的斜率成等差數列；(2)求面積的最小值．【正確答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）設，，表達出直線，直線，直線的斜率，由證明出結論；（2）寫出直線PA的方程，與聯立求出，同理求出，求出，利用三角換元，求出的最小值，結合到直線的距離，求出面積的最小值.【詳解】（1）設，則，，直線的斜率，直線的斜率為，直線的斜率為，，故直線PA，AB，PB的斜率成等差數列；（2）直線PA的方程為，與聯立得：，同理可得：直線PB的方程為，與聯立得：，故，因為，設，故，其中，故當時，取得最小值，最小值為，又點到直線的距離，故面積的最小值為.圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．21．已知函數.(1)若且函數在上是單調遞增函數，求的取值范圍；(2)設的導函數為，若滿足，證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由題意可得在上恒成立，令，求導，分、討論在上恒成立即可；(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求導得當時，，即有，于是得以，代入①式中化簡即可得證.【詳解】（1）解：當時，，，因為在上是單調遞增函數，所以在上恒成立，令，則，當時，，令，，所以在上遞增，即，所以在上恒成立，符合題意；當時，，，且在為單調遞增函數，所以存在唯一使得，所以當時，，在遞減，即，，不符合題意；綜上所述；（2）證明：，當時，由（1）可知是增函數，所以，設，，移項得，由（1）知，即，所以，即，①設，，所以當時，，即，所以，即，所以，代入①式中得到，即，所以，命題得證.方法點睛：本題考查