試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2023-2024學年山東省日照實驗高級中學高二上學期第一次階段性考試數學試題一、單選題1．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直線上任取兩個不重合的點，可得出直線的一個方向向量.【詳解】在直線上取點、，故直線的一個方向向量為.故選：A.2．已知復數，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】先利用復數除法化簡復數，求其共軛復數，再利用復數的乘法化簡，再利用復數的概念進行求解.【詳解】由條件得，所以，其虛部為2.故選：A．3．兩條不同直線的方向向量分別為，則這兩條直線（

）A．平行 B．垂直 C．異面 D．相交或異面【答案】D【分析】根據方向向量的位置關系判斷直線的位置關系即可.【詳解】因為，，故直線不垂直，又，故直線不平行，所以兩條直線相交或異面.故選：D.4．同學們，當你任意擺放手中筆的時候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】D【分析】由題設條件可知，可以借助投影的概念對及三垂線定理選出正確選項．【詳解】解：由題意，若筆所在直線若與地面垂直，則在地面總有這樣的直線，使得它與筆所在直線垂直；若筆所在直線若與地面不垂直，則其必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，綜上，當你任意擺放手中筆的時候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線垂直．故選D．【點睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，解題的關鍵是熟練掌握線面垂直與三垂線定理，再結合直線與地面位置關系的判斷得出答案．5．是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作圖，找到直線在平面上的投影在構建多個直角三角形，找出邊與角之間的關系，繼而得到線面角；也可將三條射線截取出來放在正方體中進行分析.【詳解】解法一：如圖，設直線在平面的射影為，作于點G，于點H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，所以，設平面的法向量，則令，則，所以，所以．設直線與平面所成角為，所以，所以．故選B．6．如果直線先沿軸負方向平移2個單位長度，再沿軸正方向平移2個單位長度后，又回到原來的位置，那么直線的斜率是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】B【分析】設，寫出平移后點的坐標，由此點也在原直線上，計算斜率即可．【詳解】設是直線上任意一點，則平移后得點，于是直線的斜率.故選：B.7．直線過點且與以點、為端點的線段恒相交，則的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據過點且與以點、為端點的線段恒相交得到直線的移動范圍從到，根據直線傾斜角斜率之間的關系可得斜率范圍.【詳解】如圖，直線與以點、為端點的線段恒相交時，直線從到，直線從到時，傾斜角增大，斜率增大，，斜率范圍為，直線從到時，傾斜角增大，斜率增大，，斜率范圍為，綜上，的斜率取值范圍為，故選：D8．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B二、多選題9．已知均為復數，則下列結論中正確的有（

）A．若，則 B．若，則是實數C． D．若，則是實數【答案】BD【分析】對于選項A，舉反例即可判斷正誤；對于選項B，令，則，進一步計算即可判斷正誤；對于選項C，舉反例即可判斷正誤；對于選項D，令，則，進一步計算即可判斷正誤.【詳解】若，，，而，選項A錯誤；令，則，為實數，選項B正確；設，，則，，，選項C錯誤；若，可令，則，則，選項D正確.故選：BD.10．已知平面的法向量為，點，點，若∥平面，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】CD【分析】根據空間向量判斷線面平行的條件列出等量關系，解之即可.【詳解】因為∥平面，且平面的法向量為，所以，因為，所以，解得或，故選：CD.11．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為120°B．經過點，且在x，y軸上截距互為相反數的直線方程為C．直線l：恒過定點D．已知直線l過點，且與x，y軸正半軸交于點A?B兩點，則△AOB面積的最小值為4【答案】ACD【分析】對于A：先求斜率，進而可得傾斜角；對于C：整理得，令，運算求解即可；對于B、D：設直線l：，進而可得截距，根據題意結合基本不等式運算求解.【詳解】對于選項A：直線的斜率，傾斜角為120°，故A正確；對于選項C：因為，整理得，令，解得，所以直線l恒過定點，故C正確；對于選項B、D：可知直線l的斜率存在，設為，則直線l：，令，解得，即直線l在y軸上的截距為；令，解得，即直線l在x軸上的截距為；對于B：若在x，y軸上截距互為相反數，則，解得或，所以直線方程為或，故B錯誤；對于D：直線l與x，y軸正半軸交于點A?B兩點，則，可知，可得面積，當且僅當，即時，等號成立，所以△AOB面積的最小值為4，故D正確；故選：ACD.12．若將正方形沿對角線折成直二面角，則下列結論正確的有（

）A．與所成的角為 B．與所成的角為C．與平面所成角的正弦值為 D．平面與平面所成角的正切值是【答案】BCD【分析】先找出空間中兩兩垂直的三條直線，建立空間直角坐標系，利用空間向量的知識，分別計算判斷各選項即可.【詳解】由題得示意圖：作的中點，連接，由題可知，所以,又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨令.選項A：易知，所以，所以，則AD與BC所成的角為，故A錯誤；選項B：由選項A得，，所以，則，所以與所成的角為，故B正確；選項C:設平面的一個法向量為，易知，，所以，不妨令，得，又，所以BC與平面ACD所成角的正弦值為，故C正確；選項D：易知平面的法向量為，設平面的法向量為，又，所以，令，則，所以，設平面與平面所成角為，則，所以，，故選項D正確.故選：BCD三、填空題13．設，則=.【答案】【解析】先根據復數代數形式的乘除運算化簡計算復數，再根據復數模的公式即可求出.【詳解】解：，則.故答案為：.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的計算公式，屬于基礎題.14．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程為．【答案】或.【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況求直線方程.【詳解】當直線過原點時，設直線，代入點，得，得，即；當直線不過原點時，設直線，代入點，得，得，即，化簡得.綜上可知，滿足條件的直線方程為或.故答案為：或.15．在四面體中，兩兩垂直，是平面內一點，且點到其他三個平面的距離分別是2，3，6，則點到頂點的距離是．【答案】7【分析】由題意畫出圖形，到的距離是圖形中長方體的對角線的長，根據條件求解即可【詳解】由于兩兩垂直，是面內一點，由題意作出長方體如圖：到三個面的距離分別是，則到的距離即為長方體的體對角線的長：.故答案為：7.16．已知正四面體的棱長為6，P是四面體外接球的球面上任意一點，則的取值范圍為．【答案】【分析】先根據題意求得外接球的半徑，再轉化可得，計算后利用余弦函數的有界性即可求解.【詳解】由題知，如圖所示：設分別是的中點，作平面，垂足為，由正四面體的性質可知，三點共線，且，其中外接球的球心在上，設球心為，又正四面體的棱長為6，則設外接球的半徑為，則所以，解得則，所以又，，所以又，所以.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用向量的運算法則將問題向量轉化為已知向量之間的關系，從而將問題通過三角函數表示出來，再利用三角函數有界性的性質即可解決.四、解答題17．某同學在解題中發現，以下三個式子的值都等于同一個常數.①；②；③（是虛數單位）.（1）從三個式子中選擇一個，求出這個常數；（2）根據三個式子的結構特征及（1）的計算結果，將該同學的發現推廣為一個復數恒等式（不用證明）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用復數的除法運算求解；（2）類比（1）的結論求解.【詳解】（1）①；②；③；（2）由（1）知：.18．（1）如果直線l經過點，且直線l的法向量為，求直線l的方程；（2）已知直線與直線垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線的法向量與斜率的關系再結合點斜式計算即可；（2）根據直線垂直的充要條件計算即可.【詳解】（1）由直線l的法向量為可得直線的一個方向向量為，故直線的斜率為，由點斜式可知直線的方程為：；（2）因為兩直線垂直，故有.19．如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.【答案】【分析】設出基向量，然后根據圖形，結合幾何關系用基向量表示出，.進而根據數量積的運算律求出向量的模以及數量積，即可根據數量積的定義公式得出以及夾角的余弦值.【詳解】設，，，由已知可得.因為，，所以，，，，所以，，所以，，故與所成角的余弦值為.20．已知是虛數單位，復數滿足.(1)求的最大值；(2)若為實數，求復數．【答案】(1)7(2)或或【分析】（1）根據題意，可知的軌跡為以為圓心，以2為半徑的圓，表示點到的距離，結合幾何意義求得結果；（2）根據為實數，列出等量關系式，求得結果.【詳解】（1）設復數，則，即，∴復數在復平面內對應的點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，如圖∴的幾何意義為圓上的點到點的距離，則的最大值為.（2），由為實數，得，則或，若，則，又，得或，即（舍）或；若，又，即，解得，，即或.∴或或.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，且，，，，為上一點．(1)若為中點，求證：平面(2)若點不與和重合，且二面角的余弦值為，求與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析；(2)1.【分析】（1）若為中點，連接，易得為平行四邊形，有，根據線面平行的判定證結論；（2）先證，構建空間直角坐標系，令且，求面、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示列方程求得，再求、面的法向量，即可求線面角余弦值，進而得正切值.【詳解】（1）若為中點，連接，又為中點，故且，而，，，故且，所以為平行四邊形，故，又面，面，所以平面.（2）由平面，平面，則，又，故可構建如下圖示的空間直角坐標系，則，令且，故，若為面一個法向量，則，令，則，，若為面一個法向量，則，令，則，所以，可得.故，則，而面的法向量為，所以，故其正切值為1.22．箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形是一個箏形，，，，沿對角線將折起到點，形成四棱錐．(1)點為線段