專題14空間向量與立體幾何一、知識速覽二、考點速覽知識點1空間向量的概念及有關定理1、空間向量的有關概念（1）空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共線向量(或平行向量)：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一個平面的向量2、空間向量的有關定理（1）共線向量定理：對空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實數，使得.（2）共面向量定理：如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使.（3）空間向量基本定理：如果三個向量，，不共面，那么對空間任一向量，存在有序實數組{x，y，z}，使得，其中，叫做空間的一個基底．知識點2兩個向量的數量積及其運算1、空間向量的數量積及運算律（1）數量積及相關概念①兩向量的夾角：已知兩個非零向量，，在空間任取一點O，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，其范圍是[0，π]，若，則稱與互相垂直，記作.②非零向量，的數量積．（2）空間向量數量積的運算律①結合律：；②交換律：；③分配律：.2、空間向量的坐標表示及其應用設，，向量表示坐標表示數量積共線，，垂直模夾角知識點3空間中的平行與垂直的向量表示1、直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量為直線l的方向向量．（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量，則向量叫做平面α的法向量．2、空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為，直線l的方向向量為，平面α的法向量為平面α，β的法向量分別為，知識點4利用空間向量求空間角1、異面直線所成角設異面直線a，b所成的角為θ，則，其中，分別是直線a，b的方向向量．2、直線與平面所成角如圖所示，設l為平面α的斜線，l∩α＝A，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則.3、二面角（1）若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量與的夾角，如圖a.（2）平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為，平面β的法向量為，，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設二面角大小為φ，則，如圖b，c.知識點5利用空間向量求空間距離1、點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．2、點到平面的距離已知平面的法向量為,是平面內的任一點，是平面外一點，過點作則平面的垂線，交平面于點，則點到平面的距離為（如圖）.3、線面距和面面距線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。（1）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（2）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。一、用基向量表示指定向量的方法（1）結合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【典例1】（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.【典例2】（2021·全國·高三專題練習）在四面體中，，點在棱上，且，為中點，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】點在線段上，且，為中點，，，．故選：B．【典例3】（2023秋·福建廈門·高三校考階段練習）在三棱錐PABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取中點為，三個式子相加可得,又,故選：D二、證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【典例1】（2022·全國·高三專題練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【答案】證明見解析【解析】因為，，，所以，，所以，所以，又為公共點，所以B，C，D三點共線．【典例2】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，，．（1）求證：、、三點共線；（2）若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，，，故,,故，由于有公共點A，故A、、三點共線；（2）由題意，點是平行四邊形的中心，故，故,因為有公共點D，故、、三點共線．【典例3】（2024·全國·高三專題練習）在四棱柱中，，．（1）當時，試用表示；（2）證明：四點共面；【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）四棱柱中，，因為，所以；（2）設（不為0），，則共面且有公共點，則四點共面；【典例4】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【答案】證明見解析【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，因為平面平面，且平面平面，而為等邊三角形，所以，因此平面，因為平面平面，且平面平面，又因為為等邊三角形，所以，因此平面，又因為平面，因此，又因為為等邊三角形，所以，因此兩兩垂直，從而以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，設，則，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空間向量基本定理可知：共面，所以四點共面；三、空間向量數量積的應用1、求夾角：設向量，所成的角為，則，進而可求兩異面直線所成的角；2、求長度（距離）：運用公式，可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題；3、解決垂直問題：利用，可將垂直問題轉化為向量數量積的計算問題。【典例1】（2023·全國·高三對口高考）若為非零向量，，則與一定（）A．共線B．相交C．垂直D．不共面【答案】C【解析】因為，所以，，又因為，所以，又因為，所以.故選：C【典例2】（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，在平行六面體中，底面，側面都是正方形，且二面角的大小為，，若是與的交點，則（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】在平行六面體中，四邊形是平行四邊形，又是的交點，所以是的中點，所以，由題意，，，所以，即．故選：B.【典例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，正三棱柱中，，，，，.（1）試用，，表示；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以.（2）因為，且，，，，可得，，，則，所以異面直線與角的余弦值為.四、利用空間向量證明空間線面位置關系1、利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．證明：平面；【答案】證明見解析【解析】因為，平面BCD，故以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，過點C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，可得，，，，因為是的中點，則，則，因為，，可得，因為平面BCD的法向量可取為，則，且平面BCD，所以PQ平面BCD．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點，求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則．所以，，，，設是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．【典例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點，已知，．（1）求證：；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以．（2）連接，，如圖所示，因為面，面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又因為，、面，所以面，又因為面，所以平面平面．五、用向量法求異面直線所成角的一般步驟（1）建立空間直角坐標系；（2）用坐標表示兩異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．【典例1】（2023秋·江西撫州·高三校考開學考試）在正方體中，是棱上一點，是棱上一點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不妨設，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：A【典例2】（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以，所以互相垂直，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，可得，，所以.所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：C.【典例3】（2023·海南·統考模擬預測）如圖，四棱錐內接于圓柱，為的中點，和為圓柱的兩條母線，，四邊形為正方形，平面與平面的交線平面，當四棱錐的體積最大時，異面直線與所成角的余弦值為．【答案】【解析】如圖所示：設，因為，所以，則，，令，得或（舍去），當時，，當時，，所以當時，取得最大值，此時，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，則，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：六、用向量法求解直線與平面所成角的方法如圖所示，設直線l的方向向量為，平面α的法向量為，直線l與平面α所成的角為φ，向量與的夾角為θ，則有.【典例1】（2023·河北保定·統考二模）如圖，在長方體中，，，對角線與平面交于點．則與面所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，建立空間直角坐標系：,1,，,1,，設平面的法向量為,,，則，令，則，，所以,2,，又,1,，因為點在上，設,,，所以,,，所以,,，因為面，所以，所以,,,2,，所以，解得，所以,,，平面的法向量為,1,，設與平面所成角為，所以，所以，故選：D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.求直線與平面的夾角.【答案】【解析】設，因為菱形和矩形所在的平面互相垂直，平面平面，矩形中，又面，所以平面，以點為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點且平行于的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，因為在菱形中，，，所以是正三角形，則，又，則，因為軸垂直于平面，因此可得平面的一個法向量為，又，設直線與平面的夾角為，則有，即，所以直線直線與平面的夾角為.【典例3】（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，D，E，F分別是棱，BC，AC的中點，．（1）證明：平面平面；（2）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）在中，因為E，F分別是BC，AC的中點，所以．平面，平面，則平面，因為，則，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，則平面，又因為，且平面，所以平面平面．（2）因為，，，由余弦定理可得，所以，從而．以B為坐標原點，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz．故，，，．從而，，．設平面ABD的法向量為，由，得，取，則為平面ABD的一個法向量，所以，所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為．七、利用向量法解二面角問題的策略1、找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小；2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）A．－B．C．－D．【答案】B【解析】設正方體棱長為1，以B為坐標原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系B-xyz，則M，N，.解法一

取MN的中點G，連接BG，AG，則G.因為為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補角．又因為，，所以，，設平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.解法二

設平面AMN的法向量由于，，則，即，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是，同理可求得平面BMN的一個法向量.所以，設平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.故選：B.【典例2】（2023秋·重慶·高三統考階段練習）在四棱錐中，平面平面，側面是等邊三角形，，，在棱上，且滿足.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取中點，連接，，∵，∴，又∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，而，故平行四邊形是矩形，∴，又∵為等邊三角形且為中點.∴，平面，，∴面，面，∴.（2）法一：∵平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，平面，∴，，兩兩垂直，連接、，以中點為坐標原點，、、分別為、、軸，建立如上圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，∴，，平面的一個法向量可取為，設平面的法向量為，所以，即，令，則取，設二面角的平面角為，則，由圖知：二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.法二：由（1）知，∵面面，且面面，平面，又∵，∴平面，而平面，故，如圖，連接、，作于，連接，平面，故平面，平面，故，則即為二面角的平面角，設，在中，,故，是等邊三角形，則，,故.易錯點1忽視零向量點撥：在進行空間向量相關概念判斷時，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等。【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數使得其中正確命題的個數是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；對于④，若共線時，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯誤.于是四個選項都是錯的.故選：A【典例2】（2023秋·重慶萬州·高二校考階段練習）（多選）以下四個命題中錯誤的是（）A．向量，，若，則B．若空間向量、、，滿足，，則C．對于空間向量、、，滿足，，則D．對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若，則P、A、B、C四點共面【答案】ABD【解析】當為零向量時，滿足，但是與不垂直，故A錯；當為零向量時，與不一定共線，故B錯；相等向量具有傳遞性，故C正確；因為，所以不共面，故D錯.故選：ABD.易錯點2忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同點撥：兩異面直線所成角的范圍是。兩向量的夾角的范圍是，需要注意兩者的區別與聯系。【典例1】（2022·安徽安慶·校考三模）已知直平行六面體中，，則直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．0【答案】A【解析】取的中點，連接，因為，所以，故為等邊三角形，故⊥，所以⊥，又平行六面體為直平行六面體，故以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設直線與所成角的大小為，則.與所成角的余弦值為.故選：A易錯點2線面角與向量夾角轉化不清等問題點撥：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則sin=|cos<,>|。容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值；③不清楚線面角的范圍。【典例1】（2023秋·四川眉山·高三校考階段練習）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點，四邊形是矩形．（1）若點是的中點，求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）分