第0章矢量分析下頁返回（VectorAnalysis）本章內容0.1

矢量代數0.2

三種常用的正交曲線坐標系0.3

標量場的梯度0.4

矢量場的通量與散度0.5

矢量場的環流與旋度0.6

亥姆霍茲定理0.7電磁場的特殊形式1.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數表示：0.1矢量代數矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

矢量用坐標分量表示zxy（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2.矢量的代數運算矢量的加法矢量的減法兩矢量的加法和減法運算：對應方向上的分量相加減結合律：交換律：（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角若，則（4）矢量的矢積（叉積）用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則矢量與的叉積q（5）矢量的混合運算——

分配律——

分配律——

標量三重積——

矢量三重積“BACK_CAB”法則（背靠背）三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。0.2

三種常用的正交曲線坐標系在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。1.直角坐標系

位置矢量：面元矢量：線元矢量：體積元:坐標變量：坐標單位矢量：

點P(x0,y0,z0)0y=（平面）

x

y

z0x=（平面）0zz=（平面）

直角坐標系

xyz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odydxdzxy2.圓柱坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）3.球坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系（半平面）（圓錐面）（球面）4.坐標單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系foqrz單位圓

柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系qq0.3標量場的梯度標量場：如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。矢量場：如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。靜態場：與時間無關的場。動態場（時變場）：與時間有關的場。場的概念：物理量的空間分布稱為場。

如果對于確定空間上的每一點都有確定的物理量與之對應，則稱在該區域上定義了一個場。1、標量場和矢量場從數學上看，場是定義在空間區域上的函數標量場可表示為：、矢量場可表示為：、在直角坐標系下，矢量場可表示為：（靜態矢量場）（動態矢量場）靜態矢量場：動態矢量場：三維場：二維場：矢量線矢量場---矢量線其方程為：在直角坐標下：下頁上頁返回形象描繪場分布的工具——場線標量場---等值面 等值面方程：

等值面2、標量場的等值面 等值面:

標量場取得同一數值的點在空間形成的曲面。意義:

形象直觀地描述了物理量（標量）

在空間的分布狀態。等值面方程：等值面的特點：常數C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

3.方向導數意義：方向導數表示標量場沿某方向對于距離的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減小；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向導數的概念

特點：方向導數既與點M0有關，也與的方向有關。故在定點M0處，沿不同的方向導數不同。——

的方向余弦。

式中：

思考：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？復合函數求導4.標量場的梯度(gradient)（或）意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向。推導：顯然，du可以表示為與某矢量的標量積，即：位移矢量：圓柱坐標系：

球坐標系：直角坐標系：

梯度的表達式：上式括號內的矢量可以用哈密頓算子表示為：標量場u的梯度可以認為是哈密頓算子對標量函數u一種運算。兼有矢量和微分的雙重性質哈密頓算符：標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場的變化最大（增大）的方向，其數值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數，等于梯度在該方向上的投影。即：梯度的性質：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面），且指向標量場的數值增加的方向。例0.3.1

三維高度場的梯度

三維高度場的梯度高度場的梯度與過該點的等高線垂直；數值等于該點位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。下頁上頁返回例0.3.2

電位場的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數值等于該點的最大方向導數；指向電位增加的方向。下頁上頁返回

解

(1)由梯度計算公式，可得P點的梯度為：

例0.3.4

設一標量函數

(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標量場。試求：

(1)該函數

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數

沿單位矢量方向的方向導數，并以點P(1,1,1)處的方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。例0.3.3（見謝處方編《電磁場與電磁波》

P13~P14）

24表征其方向的單位矢量

(2)由方向導數與梯度之間的關系式，則沿el方向的方向導數為：上述方向導數在P點處的取值為：顯然，梯度描述了P點處標量函數

的最大變化率，即最大的方向導數，故恒成立。25P點處的梯度值（大小）為：0.4矢量場的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場在空間的

分布狀態。矢量線方程：概念：對于矢量場，可用一些有向曲線來描述其在空間的分布狀態，這些有向曲線稱為矢量線。矢量線上任一點的切線方向都與該點處矢量場的方向相同。例:電場線，磁場線等。矢量線OM假設，且M點的位置矢量為：所以面積元矢量2.矢量場的通量和散度（FluxandDivergenceofVector）

問題：如何定量描述矢量場的大小？通量的概念：閉合曲面時：矢量場穿過曲面的通量為：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。面元方向的選取：如果曲面S

不閉合（開曲面），則面元方向與圍繞曲面的閉合曲線成右手螺旋關系；如果曲面S閉合，則面元方向由閉合曲面內指向外(即曲面的外法線方向)。有凈的矢量線穿出有源有凈的矢量線進入有溝進入與穿出閉合曲面的矢量線相等無源無溝矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源之間的關系。通量的物理意義293.矢量場的散度

為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間內的任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。----(通量元密度)

它表示某點處單位體積上的通量。散度的意義

在矢量場中，若

?

A=0，稱之為有源場，

稱為(通量)源密度；若矢量場中處處

?A=0

，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；散度代表矢量場的通量源的分布特性。(無源）

(正源)

(負源)下頁上頁返回圓柱坐標系：球坐標系：直角坐標系：散度的表達式：散度的有關公式：直角坐標系下散度表達式的推導（自學）

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則根據泰勒定理展開：oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP根據定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為

同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為4.散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S由散度的定義：

散度定理反映了閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，

它在電磁理論中有著廣泛的應用。矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于其散度在該閉合曲面

所包含體積上的體積分。例如：已知真空中靜電場的高斯定理（積分形式）：根據散度定理：則有：上式即為高斯定理的微分形式，表明空間任意一點電場強度的散度與該處的電荷密度有關，靜電荷是靜電場的通量源0.5矢量場的環流與旋度

（CirculationandRotationofVectorField）

不是所有的矢量場都是由通量源所激發。還存在另一類矢量源，它所激發的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零，但在場所定義的空間中閉合路徑上的積分卻不為零。水流沿平行于水管軸線方向流動

（無渦旋運動）流體做渦旋運動

（有產生渦旋的源）例：流速場

=0

0環量的大小與閉合路徑有關，它表示繞環線旋轉趨勢的大小。下頁上頁返回環量的計算1、矢量場的環流（環量）（Circulation）定義：該矢量場對有向閉合曲線C的線積分，

稱為矢量場對于閉合曲線C的環流：如果矢量場的任意閉合回路的環流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發有旋矢量場的源稱為旋渦源。例如：電流是產生磁場的旋渦源。矢量場的環流（環量）描述的是矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源之間的宏觀聯系。為了描述空間任意點處矢量場與其旋渦源間的關系，引入矢量場的環流面密度和旋度的概念。

2.矢量場的旋度(Rotation)

（1）環流面密度稱為矢量場在點M處沿方向的環流面密度。它表示某點處沿某方向單位面積上的環量。特點：其值與點M處的方向

有關。

過點M作一小面元

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當

S

0時取極限得思考：在什么方向環流面密度值最大？最大值為多少？概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其大小為M點處的環流面密度的最大值，其方向為環量密度取得最大值時面積元的法線方向，即：旋度的物理意義：（2）矢量場的旋度旋渦源密度矢量。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。某點旋度的大小是該點環量密度的最大值，其方向是最大環量密度的方向。矢量場在點M處沿某方向的環流面密度等于旋度在該方向上的

投影。即：若矢量場處處，稱之為無旋場。在矢量場中，若稱之為旋度場（或渦旋場)，稱為旋度源（或渦旋源）。下頁上頁返回矢量場的旋度是一個矢量，它在直角坐標系中可以分解為三個分量：而

oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖推導

的示意圖如下圖所示。于是：

同理可得：故得：旋度的計算公式:直角坐標系：

圓柱坐標系：

球坐標系：44旋度的有關公式：兩個恒等式標量場的梯度的旋度恒為零（梯無旋）矢量場的旋度的散度恒為零（旋無散）

任意矢量場旋度的散度等于零，“旋無散”。標量場的梯度的旋度恒等于零，“梯無旋”。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消3.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)由旋度的定義：則：斯托克斯定理是矢量函數在閉合曲線積分與曲面積分之間的相互轉換。它在電磁理論中有著廣泛的應用。矢量場沿任意閉合曲線的環量等于其

旋度在該閉合曲線所圍曲面的面積分。4.散度和旋度的區別

1.矢量場的源散度源：是標量，其產生的矢量場在包圍源的封閉曲面上

通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的

總和，源在一給定點處的（體）密度等于（或正

比于）矢量場在該點處的散度。

旋度源：是矢量，其產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲

面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉

合回路的環量，在給定點上，這種源的（面）密

度等于（或正比于）矢量場在該點處的旋度。0.6無旋場與無散場2.矢量場按源的分類（1）無旋場性質：線積分與路徑無關是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，即：無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場由斯托克斯定理得：（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場（3）無旋、無散場（源在所討論的區域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分例0.6.1

試判斷下列各圖中矢量場的性質。000000下頁上頁返回

若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數連續有界，源分布在有限區域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為：式中：0.7亥姆霍茲定理（HymherzeTheorem）

亥姆霍茲定理表明：

在無界空間區域，矢量場可由其散度及旋度確定。有界區域

在有界區域，矢量場不但與該區域中的散度和旋度有關，還與區域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關。亥姆霍茲定理：

矢量場的散度產生矢量場的一種源，而旋度是產生矢量場的另外一種源，當著兩種源在空間的分布確定時，則矢量場本身也就唯一確定了。亥姆霍茲定理總結了矢量場的基本性質，意義很重要。在無界空間中，散度和旋度都為零的矢量場是不存在的，因為任何一個物理量都必須有源，源是激發場的起因，場是同源一起出現的。所以，產生矢量場的源要么為散度源，要么為旋度源，或者兩種源都有。所以，分析矢量場時，總是從研究它的散度和旋度著手，從而得到其散度方程和旋度方程，這兩個方程組成了矢量場的基本方程的微分形式。

但是，因為矢量場的散度和旋度都包含著對空間坐標的微分運算，而微分運算必須在矢量場連續的區域內才有意義，在矢量場不連續的區域內（表面）則不存在其導數，因而就不能使用散度和旋度來分析表面附近的場的性質了，此時就要從矢量場沿閉合曲面的通量和沿閉合曲線的環量著手，從而得到矢量場的基本方程的積分形式。亥姆霍茲定理說明：

亥姆霍茲定理：在有限區域內，矢量場可以由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的