簡支軌道梁振動分析

自20世紀70年代以來，磁浮鐵路作為一個未來的地面信息系統，在[1.2]中得到了迅速發展。相比于傳統的輪軌鐵路交通系統,磁懸浮鐵路具有振動和噪音小、無脫軌風險、維護成本小、能耗與排放少等突出的優點。磁懸浮系統通常可以分為兩個子系統,即磁懸浮列車子系統和軌道梁子系統,這兩個子系統通過控制系統耦連在一起。在過去的幾十年中,對于磁懸浮鐵路的研究[3―8]主要側重于磁懸浮列車的動力性能(如運行穩定性、乘坐舒適度等),而對于軌道梁的動力響應特性的研究則相對較少,尤其是針對軌道梁動力放大系數的研究,往往局限在有量綱影響參數分析的范圍內,所得結論通用性意義不強。本文將磁懸浮列車荷載簡化為移動均布荷載,運用模態疊加法求解得到了簡支軌道梁的動力響應解析解,從理論上分析了影響動力系數大小的主要無量綱參數以及動力系數隨各參數的變化規律。最后,提出了可供設計參考的軌道梁設計頻率限值和動力放大系數之間關系的圖表和數學表達式。1振動模態方程等截面簡支梁橋在外荷載f(x,t)作用下的運動方程可表示為:式中:EI、m、c分別為橋梁抗彎剛度、單位長度質量和阻尼系數;u(x,t)為橋梁的豎向位移。若外荷載為如圖1所示長度為Lt的勻速移動常量均布荷載p,則f(x,t)可表示為:式中:v為荷載移動速度;Lb為橋梁跨度;H為Heaviside函數。式(2)右邊第一個方括號中的項反映梁上荷載的空間屬性;第二個方括號中的項則反映了梁上荷載的時間性質,荷載進入橋梁時由H(t)激活,離開橋梁后則引入H(t-(Lt(10)Lb)/v)將其關閉。對于式(1),可采用模態疊加法進行求解。若僅考慮前S階模態,則簡支梁橋豎向位移可表示為:其中,qn(t)為第n階模態對應的廣義坐標。將式(3)代入式(1),且等式兩邊同時乘以sin(nuf070x/Lb),然后沿橋梁全跨積分,整理后可得橋梁的振動模態方程為:式中分別為橋梁的第n階豎向振動模態的圓頻率和模態阻尼比,Pn(t)、Mn為對應于第n階模態的廣義力與廣義質量。右端項Fn(t)如下式所示:其中:注意到簡支梁的振動初始條件:由式(4)求得nq(t),并代入式(3)可得橋梁的豎向振動位移為:其中:這里,為荷載的第n階激勵圓頻率;為第n階荷載激勵圓頻率與第n階橋梁豎向自振圓頻率的比值;為橋梁第n階有阻尼豎向自振圓頻率。2位移動力分析注意到:并結合三角函數的性質,易知:的最大(小)值將不依賴于wn、或wDn而可由及Lt/Lb這三個無量綱參數唯一確定。簡支梁橋在移動均布荷載靜載作用下,沿跨長各點的最大撓度可表示為,其中η為因數乘子。令為表示關注位置的無量綱參數,為荷載長度與橋梁跨度之比(亦可稱為車橋長度比),則簡支梁橋沿跨長各點的位移動力系數可表示為:即簡支梁橋位移動力放大系數為各階模態阻尼比、頻率比、荷載長度與橋梁跨度之比以及關注位置的函數,而動力系數的精度則取決于所考慮模態的階數S。在實際應用中,一般根據實驗實測資料或工程經驗,并結合一定的理論(如瑞利阻尼理論)給出橋梁各階模態阻尼比。同時注意到:這樣,當考慮確定的橋梁阻尼或者忽略橋梁阻尼時,式(11)可以改寫為:式(12)表明,簡支梁橋在移動均布荷載的作用下,考慮確定的(或忽略)橋梁結構阻尼后,對于一定的關注位置,橋梁豎向位移動力放大系數只是基頻比、車橋長度比的函數。所選取的模態階數S則決定動力系數的分析精度。3列車-橋梁耦合振動取跨度為的簡支梁橋,其抗彎慣矩,彈性模量,線密度。移動常量均布荷載大小為25.6kN/m,阻尼比取為0.01。以橋梁跨中位移為例,分別采用解析式(8)和數值方法計算移動荷載過橋的動力響應,并與磁浮列車-橋梁耦合振動分析的結果進行比較,如圖2所示。在采用數值方法計算移動荷載過橋模型時,均布荷載按0.1m的間距換算為集中荷載列;在列車-橋梁耦合模型中,磁浮列車車輛按4節編組,列車總長110m,磁浮車輛通過間距為1.72m的接觸點與橋梁相互作用。從圖2容易看出解析解與數值解完全吻合,說明解析式推導過程正確。解析解和耦合解比較可以看出,在反映橋梁振動的主要特征和振動規律上是一致的,都是列車剛進橋時由于突然加載的沖擊作用橋梁急速下撓達到最大值,然后在最大值周圍產生微幅振動直至荷載出橋;振動量值非常接近,但耦合解反映的頻率更加豐富。4跨中位移動力系數仍以前述跨度的簡支軌道梁為例,荷載長度則取為100m(約相當于4節編組磁浮列車長度)。考慮不同的橋梁結構阻尼時跨中位移動力系數隨荷載移動速度的變化規律如圖3所示。由圖3中可知,當,即忽略橋梁結構阻尼時,若荷載移動速度達到某些特定值,橋梁跨中位移動力系數大小為1.0,即該速度下橋梁跨中位移動力響應幅值與移動均布荷載靜載過橋引起的靜力位移幅值相等,移動荷載的動力放大效應“消失”,結構出現“消振”現象;在發生“消振”現象的相鄰的兩個速度之間,跨中位移動力系數出現極大值,結構出現“共振”現象。進一步考察圖3可知,在“共振”速度附近,橋梁跨中位移動力系數隨著結構阻尼的增大而減小,而在“消振”速度附近,橋梁跨中位移動力系數則隨著結構阻尼的增大而增大。這樣,隨著結構阻尼的增大,橋梁跨中位移動力系數隨荷載移動速度的變化曲線將變得更加平滑。結合圖2與圖3可知,與承受周期性荷載的情況相比[10―11],移動均布荷載作用下橋梁結構在較短的時間內便達到了最大動力響應,阻尼力沒有足夠多的周期來吸收可觀的能量,因而阻尼對橋梁結構最大動力響應的影響要小得多。5跨中位移動力響應為方便分析動力系數的變化規律,忽略橋梁結構的阻尼,并取橋梁前10階模態進行分析以提高數值計算精度,則可計算得到橋梁跨中位移動力系數隨車橋長度比和基頻比的變化規律如圖4所示。在給定車、橋參數情況下,可通過查圖的方法快速獲取動力系數值。注意到圖4中有這么一個區域:當基頻比一定時,車橋長度比的變化對橋梁跨中位移動力系數沒有影響。即在這個區域中,跨中位移動力系數將僅僅是基頻比的函數,因此可以將這一區域稱為跨中位移動力系數的平穩區。將平穩區的邊界描出,如圖4(b)所示,也可表示如下:對于某一座簡支梁橋來說,橋梁的跨度Lb與豎向自振基頻fb都是確定的,這時g平穩區的特性可以描述如下:對于一定的荷載激勵頻率(對應于一定的基頻比),存在這樣一個均布荷載長度的臨界值Ltcr(對應于一定的車橋長度比),當荷載長度時,在移動荷載的作用下,橋梁跨中位移響應的最大值將不再變化而保持定值。進一步的分析表明,跨中位移響應達到該定值時不同長度移動荷載的前端所達到的位置是相同的,如圖5所示。對于簡支梁橋位移動力響應來說,僅取橋梁基本模態用于分析便能得到精度很高的結果。當忽略橋梁結構阻尼且僅考慮橋梁的基本模態時,根據式(4),橋梁的振動模態方程只余下:即成為單自由度體系在隨時間變化的右端項1F(t)作用下的受迫振動。在荷載前端從橋梁左端移動到橋梁右端的時間段內,即時,右端項F1(t)可表示為:在荷載前端到達橋梁右端至荷載尾端到達橋梁左端的時間段內,即可表示為:在荷載尾端從橋梁左端移動到橋梁右端的時間段內,即可表示為:F1(t)隨時間的變化規律如圖6所示。若荷載長度,則時的荷載曲線變為一平行于時間軸的直線,若再有移動速度,則時間段內的荷載曲線被拉直為平行于縱軸的直線段,換句話說,此時的廣義荷載相當于一個階躍荷載,因此,可知移動均布荷載作用下簡支梁橋位移動力系數的極限值為2.0。6車橋長度比基頻比a目前建成的磁浮交通線路中,無論是試驗線還是商業運營線,磁浮列車的運行速度均不超過800km/h;另一方面,線路上簡支梁橋的豎向基頻fb一般不小于100/Lb。這樣,基頻比:根據前面對動力系數平穩區的討論,在平穩區邊界上,基頻比對應的車橋長度比。至此,不難得出如下結論:在目前的車速范圍內,不管列車長度如何,圖4中在范圍內的部分已完全能反映簡支梁橋跨中位移動力系數變化規律的全貌,重新繪制此范圍內動力系數的等值線如圖7所示。由于基頻比:因此,在有些文獻中,將基頻比也稱為速度參數[13―15]。為了應用與討論的方便,這里引入一個無量綱參數:移動均布荷載作用下不同車橋長度比所對應的簡支梁橋跨中位移動力系數隨無量綱參數uf061的變化規律如圖8所示。為了使橋梁的振動控制在較小的范圍內以保證橋梁自身的安全耐久性,以及避免過大的振動引起行車不安全與旅客乘坐不舒適,通常將橋梁動力系數限制在一定的范圍內。若將動力系數的上限值設定為1.20,由圖8可知:1)若車橋長度比,則當無量綱參數時,橋梁各動力系數均能滿足要求,這里,[uf061]為動力系數1.2時對應的參數uf061的容許下限值;2)若車橋長度比,在滿足動力系數不大于1.20的條件下,不同的值對應的[a]是不一樣的,且大體上值越小,其對應的[a]越大,當時,可視為集中荷載過橋的情況,此時要求[uf061](28)2.12。注意到:易知在軌道梁設計時通過對頻率的限制即可達到將軌道梁動力系數控制在一定范圍內的目標。在實際工程設計中,軌道梁的動力系數不一定非要限制在小于1.20的范圍內,工程設計人員可以根據實際需要選用更嚴格或者更寬松的控制標準。表1和圖9所示為簡支軌道梁跨中位移動力系數與無量綱參數a之間的對應關系。對于中小跨度磁浮軌道梁而言,車橋長度比,因而這里只考慮的情形;在目前的磁浮列車運營速度范圍內,基頻比,故只需考慮的情形;由于磁浮列車實際運行車速可以任意低于設計車速,因此動力系數與參數uf061的關系曲線應采用階梯狀曲線形式。7不同荷載作用下軌道梁動力放大系數通過本文的分析,可以得出以下幾點結論:(1)移動均布荷載過橋模型可以反映軌道梁振動的主要特征和振動規律。移動均布荷載動力作用特征是瞬時的沖擊性,主要表現為荷載快速進橋和出橋時橋上荷載長度快速變化產生的沖擊