[基礎(chǔ)過(guò)關(guān)]1．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝150°，則∠1＝()A．30° B．25°C．20° D．15°解析：∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1.∴∠BAD＋∠D＝180°.∴∠BAD＝180°－150°＝30°.∴∠1＝15°.答案：D2．下列說(shuō)法中不正確的是()A．四邊相等的四邊形是菱形B．對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形C．菱形的對(duì)角線互相垂直且相等D．菱形的鄰邊相等解析：A.四邊相等的四邊形是菱形，正確；B．對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，正確；C．菱形的對(duì)角線互相垂直且相等，不正確；D．菱形的鄰邊相等，正確．答案：C3．下列結(jié)論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()A．內(nèi)角和為360° B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相垂直解析：矩形和菱形的內(nèi)角和都為360°，矩形的對(duì)角線互相平分且相等，菱形的對(duì)角線垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)為對(duì)角線相等．答案：C4．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N是BD上兩點(diǎn)，BM＝DN，連接AM，MC，CN，NA，添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是()A．OM＝eq\f(1,2)AC B．MB＝MOC．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)M，N滿足BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN.即OM＝ON.∴四邊形AMCN是平行四邊形．∵OM＝eq\f(1,2)AC，∴MN＝AC.∴四邊形AMCN是矩形．答案：A5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，則CF的長(zhǎng)是()A.eq\f(\r(3)＋1,4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(2,3)解析：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1.在Rt△ABE和Rt△ADF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,AB＝AD，))∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．∴∠BAE＝∠DAF.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°.∴∠DAF＝15°.在AD上取一點(diǎn)G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如圖所示：∴AG＝FG，∠DGF＝30°.∴DF＝eq\f(1,2)FG＝eq\f(1,2)AG，DG＝eq\r(3)DF.設(shè)DF＝x，則DG＝eq\r(3)x，AG＝FG＝2x，∵AG＋DG＝AD，∴2x＋eq\r(3)x＝1.解得x＝2－eq\r(3)，∴DF＝2－eq\r(3).∴CF＝CD－DF＝1－(2－eq\r(3))＝eq\r(3)－1.答案：C6．如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，要使四邊形EMFN為正方形，則需添加的條件是()A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC解析：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴EN，NF，F(xiàn)M，ME分別是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位線．∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝eq\f(1,2)AB＝FM，ME＝eq\f(1,2)CD＝NF.∴四邊形EMFN為平行四邊形．當(dāng)AB＝CD時(shí)，EN＝FM＝ME＝NF，∴平行四邊形EMFN是菱形；當(dāng)AB⊥CD時(shí)，EN⊥ME，則∠MEN＝90°，∴菱形EMFN是正方形．答案：A7．一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為6，面積為28，則該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為()A．8B．12C．16D．32解析：如圖所示．∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝eq\f(1,2)AC，DO＝BO＝eq\f(1,2)BD，AC⊥BD.∵面積為28，∴eq\f(1,2)AC·BD＝2AO·OD＝28，①∵菱形的邊長(zhǎng)為6，∴OD2＋OA2＝36.②由①②兩式，可得(OD＋AO)2＝OD2＋OA2＋2OD·AO＝36＋28＝64.∴OD＋AO＝8.∴2(OD＋AO)＝16，即該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為16.答案：C8．(2021·江西模擬)在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BC于點(diǎn)F交BD于點(diǎn)E，連接CE，若∠ECA＝20°，則∠BDC＝________°.解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC.∵EF垂直平分BC，∴∠ECF＝∠DBC.∵∠ECA＝20°，∴∠BDC＝∠DBC＝eq\f(90°－∠ECA,2)＝eq\f(90°－20°,2)＝35°.故答案為35.答案：359．如圖，在直線AP上方有一個(gè)正方形ABCD，∠PAD＝30°，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，與AP交于點(diǎn)A，M，分別以點(diǎn)A，M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接ED，則∠ADE的度數(shù)為_(kāi)_______．解析：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°.∴∠BAM＝180°－90°－30°＝60°，AD＝AB.當(dāng)點(diǎn)E與正方形ABCD的直線AP的同側(cè)時(shí)，由題意，得，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，∴∠ADE＝45°.當(dāng)點(diǎn)E與正方形ABCD的直線AP的兩側(cè)時(shí)，由題意，得，E′A＝E′M，∴△AE′M為等邊三角形．∴∠E′AM＝60°.∴∠DAE′＝360°－120°－90°＝150°.∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°.故答案為15°或45°.答案：15°或45°10．(2021·南昌模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC.(1)求證：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求證：四邊形ADCE是矩形．證明：(1)∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB∥DE，AB＝DE.∴∠B＝∠EDC.又∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB.∴∠EDC＝∠ACD.∵在△ADC和△ECD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝ED，,∠ACD＝∠EDC，,DC＝CD，))∴△ADC≌△ECD(SAS)；(2)∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD∥AE，BD＝AE.∴AE∥CD.又∵BD＝CD，∴AE＝CD.∴四邊形ADCE是平行四邊形．在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴?ADCE是矩形．11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE∥BF，且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，DF.(1)求證：AE＝CF；(2)若BE＝DE，求證：四邊形EBFD為菱形．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.∴∠AED＝∠CFB.在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠BCF，,∠AED＝∠CFB，,AD＝CB，))∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF；(2)由(1)知△ADE≌△CBF，則DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形．∵BE＝DE，∴四邊形EBFD為菱形．[能力提升]12．(2021·江西一模)如圖，在矩形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，PD平分∠APC，PE⊥PD，連接DE交AP于F，在以下判斷中，不正確的是()A．當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，△APD是等邊三角形B．當(dāng)△ADE∽△BPE時(shí)，P為BC中點(diǎn)C．當(dāng)AE＝2BE時(shí)，AP⊥DED．當(dāng)△APD是等邊三角形時(shí)，BE＋CD＝DE解析：A.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC.在△APB和△DPC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠ABP＝∠DCP，,PB＝PC，))∴△APB≌△DPC(SAS)．∴PA＝PD，∠APB＝∠DPC.∵PD平分∠APC，∴∠APD＝∠CPD.∴∠APB＝∠APD＝∠CPD.∵∠APB＋∠APD＋∠CPD＝180°，∴∠APD＝60°.∵PA＝PD，∴△APD是等邊三角形，∴A正確，故A不符合題意；C．∵PD⊥PE，∴∠BPE＋∠DPC＝90°，∠APE＋∠APD＝90°.∵∠APD＝∠CPD，∴∠APE＝∠BPE.如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AP交PE的延長(zhǎng)線于G，∴∠G＝∠APE＝∠BPE.∴BG＝BP.∵BG∥AP，∴△BEG∽△AEP.∴eq\f(BG,AP)＝eq\f(BE,AE).∴eq\f(BP,AP)＝eq\f(BE,AE).∵AE＝2BE，∴eq\f(BP,AP)＝eq\f(1,2).在Rt△ABP中，sin∠BAP＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(1,2)，∴∠BAP＝30°.∴∠APB＝60°.∴∠BPE＝∠APE＝30°＝∠BAP.∴AE＝PE.∵EA⊥AD，EP⊥PD，∴∠DAE＝∠DPE＝90°.在Rt△ADE和Rt△PDE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DE＝DE，,AE＝PE，))∴Rt△ADE≌Rt△PDE(HL)．∴∠AED＝∠PED.∵AE＝PE，∴DE⊥AP.∴C正確，故C不符合題意；D．∵△APD是等邊三角形，∴AP＝DP，∠APD＝60°.∴∠CPD＝60°＝∠APB＝60°.∴∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°，∴AE＝PE.設(shè)BE＝a，在Rt△PBE中，BP＝eq\r(3)BE＝eq\r(3)a，PE＝2a，∴AE＝2a.∴CD＝AB＝BE＋AE＝3a.易證△APB≌△DPC，∴PB＝PC.∴AD＝BC＝2BP＝2eq\r(3)a.在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝eq\r(AE2＋AD2)＝4a，∵BE＋CD＝a＋3a＝4a＝DE，∴D正確，故D不符合題意．∴符合題意的只有B.答案：B13．(2021·樂(lè)平一模)如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ADC沿AB方向平移，得到圖2，其中A′D交AC于E，A′C′交BC于F.(1)在圖2中，除△ABC與△C′DA′外，指出還有哪幾對(duì)全等三角形(不能添加輔助線和字母)，并選擇一對(duì)加以證明；(2)設(shè)AA′＝x.①當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形A′ECF是菱形？②設(shè)四邊形A′ECF的面積為y，求y的最大值．解：(1)△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，證明：由題意，得，四邊形A′DCB是矩形，∴A′B＝DC，∴AA′＝CC′，∵AB∥CD，∴∠BA′F＝∠C′.由題意，得∠BA′F＝∠A，∴∠A＝∠C′.在△AA′E和△C′CF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C′，,AA′＝C′C，,∠AA′E＝∠C′CF，))∴△AA′E≌△C′CF(ASA)；(2)①設(shè)A′E＝a，A′F＝b，∵A′F∥AC，∴eq\f(A′F,AC)＝eq\f(BA′,BA)，即eq\f(b,5)＝eq\f(4－x,4).解得b＝eq\f(20－5x,4)，同理eq\f(a,3)＝eq\f(x,4)，解得a＝eq\f(3,4)x，當(dāng)A′E＝A′F時(shí)，四邊形A′ECF是菱形，∴eq\f(20－5x,4)＝eq\f(3,4)x.解得x＝eq\f(5,2).∴當(dāng)x＝eq\f(5,2)時(shí)，四邊形A′ECF是菱形；②由①得，四邊形A′ECF的面積為y＝3×(4－x)－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,4)x))×(4－x)×2＝－eq\f(3,4)x2＋3x＝－eq\f(3,4)(x－2)2＋3，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y的最大值為3.14．已知：在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F.(1)如圖1，求證：AE＝CF；(2)如圖2，當(dāng)∠ADB＝30°時(shí)，連接AF，CE，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中四個(gè)三角形，使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的eq\f(1,8).解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC.∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CDF，,∠AEB＝∠CFD，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF；(2)△ABE的面積＝△CDF的面積＝△BCE的面積＝△ADF的面積＝矩形ABCD面積的eq\f(1,8).理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°.∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°.∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)AB，AE＝eq\f(1,2)AD.∴△ABE的面積＝eq\f(1,2)BE×AE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB×eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,8)AB×AD＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面積．∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面積＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面積．作EG⊥BC于G，如圖所示．∵∠CBD＝30°，∴EG＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,4)AB.∴△BCE的面積＝eq\f(1,2)BC×EG＝eq\f(1,2)BC×eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,8)BC×AB＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面積．同理，△ADF的面積＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面積．15．(2021·南昌一模)已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE.(1)當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，如圖1，四邊形ADCE是________形；(2)過(guò)E作EF⊥AC于F，如圖2，求證：F為AC的中點(diǎn)；(3)若AB＝2，①當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，如圖3，求EG的長(zhǎng)；②點(diǎn)D從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，則點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．(直接寫(xiě)出結(jié)果)解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°.∵△ADE為等邊三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠EAC＝30°.∴∠EAC＝∠ACB，∠DAC＝∠ACB.∴AE∥DC，AD＝DC.∵AE＝AD，∴AE＝CD.∴四邊形ADCE為平行四邊形．∵AD＝AE，∴平行四邊形ADCE為菱形．故