考點22圖形的軸對稱、平移與旋轉一、軸對稱圖形與軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形定義如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸性質對應線段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′對應點所連的線段被對稱軸垂直平分區別(1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；(2)對稱軸不一定只有一條(1)軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形；(2)只有一條對稱軸關系(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱(1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形1．常見的軸對稱圖形等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．【注意】凡是在幾何圖形中出現“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關系，借助勾股定理建立關系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數學思想方法．3．作某點關于某直線的對稱點的一般步驟（1）過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足；（2）在這條直線另一側從垂足除法截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點．4．作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟（1）作出圖形的關鍵點關于這條直線的對稱點；（2）把這些對稱點順次連接起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形．二、圖形的平移1．定義在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大小．2．三大要素一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離．3．性質（1）平移前后，對應線段平行且相等、對應角相等；（2）各對應點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；（3）平移前后的圖形全等．4．作圖步驟（1）根據題意，確定平移的方向和平移的距離；（2）找出原圖形的關鍵點；（3）按平移方向和平移距離平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；（4）按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形．三、圖形的旋轉1．定義在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角．2．三大要素旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度．3．性質（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等．4．作圖步驟（1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；（2）找出原圖形的關鍵點；（3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；（4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形．【注意】旋轉是一種全等變換，旋轉改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發生改變，所以在解答有關旋轉的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質的運用、銳角三角函數建立的邊角關系起著關鍵的作用．四、中心對稱圖形與中心對稱中心對稱圖形中心對稱圖形定義如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱性質對應點點A與點C，點B與點D點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′對應線段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′區別中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形中心對稱是指兩個圖形的關系聯系把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則這“兩個圖形”成中心對稱把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形常見的中心對稱圖形平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．考向一軸對稱軸對稱圖形與軸對稱的區別與聯系區別：軸對稱圖形是針對一個圖形而言，它是指一個圖形所具有的對稱性質，而軸對稱則是針對兩個圖形而言的，它描述的是兩個圖形的一種位置關系，軸對稱圖形沿對稱軸對折后，其自身的一部分與另一部分重合，而成軸對稱的兩個圖形沿對稱軸對折后，一個圖形與另一個圖形重合.聯系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體時，它就成了一個軸對稱圖形．典例1第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行，全國上下掀起喜迎冬奧熱潮，下列四個漢字中是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【答案】A【解析】A、是軸對稱圖形，故此選項正確；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選A．1．下列圖形中不是軸對稱圖形的是A． B． C． D．考向二平移1．平移后，對應線段相等且平行，對應點所連的線段平行（或共線）且相等．2．平移后，對應角相等且對應角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．3．平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．典例2下列運動中：①蕩秋千；②鐘擺的擺動；③拉抽屜時的抽屜；④工廠里的輸送帶上的物品，不屬于平移的有A．4個 B．3個C．2個 D．1個【答案】C【解析】①蕩秋千，是旋轉，不是平移；②鐘擺的擺動，是旋轉，不是平移；③拉抽屜時抽屜的運動，是平移；④工廠里的輸送帶上的物品運動，是平移；故選C．2．下列四組圖形都含有兩個可以重合的三角形，其中可以通過平移其中一個三角形得到另一個三角形的是A． B．C． D．3．如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時從A出發爬到B，則A．乙比甲先到 B．甲比乙先到 C．甲和乙同時到 D．無法確定考向三旋轉通過旋轉，圖形中的每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等．在旋轉過程中，圖形的形狀與大小都沒有發生變化．典例3如圖，在中，，以點A為旋轉中心，將繞點A逆時針旋轉，得，連接，若，則的大小是A． B． C． D．【答案】A【解析】∵△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′的位置，∴AB′=AB，∠B′AC′=∠BAC=，∴∠AB′B=∠ABB′，∵BB′∥AC，∴∠ABB′=∠CAB=65°，∴∠AB′B=∠ABB′=65°，∴∠BAB′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC′=∠B′AC′–∠BAB′=65°–50°=15°，故選A．4．五角星可以看成由一個四邊形旋轉若干次而生成的，則每次旋轉的度數可以是A．36° B．60° C．72° D．90°5．如圖將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AED，若點B、D、E在同一條直線上，∠BAC=20°，則∠ADB的度數為A．55° B．60° C．65° D．70°考向四中心對稱識別軸對稱圖形與中心對稱圖形：①識別軸對稱圖形：軸對稱圖形是一類具有特殊形狀的圖形，若把一個圖形沿某條直線對稱，直線兩旁的部分能完全重合，則稱該圖形為軸對稱圖形．這條直線為它的一條對稱軸．軸對稱圖形有一條或幾條對稱軸．②中心對稱圖形識別：看是否存在一點，把圖形繞該點旋轉180°后能與原圖形重合．典例4下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是A． B．C． D．【答案】B【解析】A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項正確；C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項錯誤，故選B．6．下列圖形中，△A′B′C′與△ABC成中心對稱的是A． B． C． D．1．下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．已知點A的坐標為（3，–2），則點A向右平移3個單位后的坐標為A．（0，–2） B．（6，–2） C．（3，1） D．（3，–5）3．下列說法中正確的有①旋轉中心到對應點的距離相等；②對稱中心是對稱點所連線段的中點；③旋轉后的兩個圖形的對應邊所在直線的夾角等于旋轉角；④任意一個等邊三角形都是中心對稱圖形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，在方格紙中的△ABC經過變換得到△DEF，正確的變換是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC繞著點A順時針旋轉90°，再向右平移6格D．把△ABC繞著點A逆時針旋轉90°，再向右平移6格5．如圖，已知菱形OABC的頂點O（0，0），B（–2，–2），若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為A．（1，–1） B．（–1，–1） C．（1，1） D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，點E，F分別是邊AB，BC邊上的動點，沿EF折疊△BEF，使點B的對應點B’始終落在邊CD上，則A、E兩點之間的最大距離為__________．7．將一張長方形紙條折成如圖所示的形狀，若∠1=110°，則∠2=__________°．8．如圖所示，直線EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O，且分別交AD、BC于E、F，那么陰影部分的面積是平行四邊形ABCD面積的____．9．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α（0°<α<90°）．若∠1=112°，則∠α=__________°．10．△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示．（1）若△A1B1C1與△ABC關于原點O成中心對稱，則點A1的坐標為__________；（2）將△ABC向右平移4個單位長度得到△A2B2C2，則點B2的坐標為__________；（3）畫出△ABC繞O點順時針方向旋轉90°得到的△A3B3C3，并求點C走過的路徑長．11．如圖，在中，D為BC上任一點，交AB于點交AC于點F，求證：點關于AD的中點對稱．12．在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在正方形網格的格點（網格線的交點）上．（1）請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系，使點A坐標為（1，3），點B坐標為（2，1）；（2）請作出△ABC關于y軸對稱的△A'B'C'，并寫出點C'的坐標；（3）判斷△ABC的形狀．并說明理由．13．如圖，已知∠BAC=40°，把△ABC繞著點A順時針旋轉，使得點B與CA的延長線上的點D重合，連接CE．（1）△ABC旋轉了多少度？（2）連接CE，試判斷△AEC的形狀．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度數．1．（2019?樂山）下列四個圖形中，可以由下圖通過平移得到的是A． B． C． D．2．（2019?湘西州）在平面直角坐標系中，將點（2，1）向右平移3個單位長度，則所得的點的坐標是A．（0，5） B．（5，1） C．（2，4） D．（4，2）3．（2019?海南）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，1），點B（3，–1），平移線段AB，使點A落在點A1（–2，2）處，則點B的對應點B1的坐標為A．（–1，–1） B．（1，0） C．（–1，0） D．（3，0）4．A．30° B．90° C．120° D．180°5．（2019?海南）如圖，在ABCD中，將△ADC沿AC折疊后，點D恰好落在DC的延長線上的點E處．若∠B=60°，AB=3，則△ADE的周長為A．12 B．15 C．18 D．216．（2019·棗莊）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′=1，則A′D等于A．2 B．3 C．4 D．7．（2019，棗莊）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為20，DE=2，則AE的長為A．4 B．2 C．6 D．28．（2019?邵陽）如圖，將等邊△AOB放在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點B在第一象限，將等邊△AOB繞點O順時針旋轉180°得到△A′OB′，則點B′的坐標是__________．9．（2019?山西）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為△ABC內一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AC重合，點D的對應點為點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為__________cm．10．（2019?新疆）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，將△ABC繞點A順時針旋轉30°，得到△ACD，延長AD交BC的延長線于點E，則DE的長為__________．11．（2019?黑龍江）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△OAB的三個頂點O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格點上．（1）畫出△OAB關于y軸對稱的△OA1B1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△OAB繞原點O順時針旋轉90°后得到的△OA2B2，并寫出點A2的坐標；（3）在（2）的條件下，求線段OA在旋轉過程中掃過的面積（結果保留π）．12．（2019·日照）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的中點為O，點G，H在對角線AC上，AG=CH，直線GH繞點O逆時針旋轉α角，與邊AB、CD分別相交于點E、F（點E不與點A、B重合）．（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的長．13．（2019?福建）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將△ABC繞點A順時針旋轉一定的角度α得到△DEC，點A、B的對應點分別是D、E．（1）當點E恰好在AC上時，如圖1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°時，點F是邊AC中點，如圖2，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．變式拓展變式拓展1．【答案】A【解析】A．不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．故選A．2．【答案】D【解析】A、可以通過軸對稱得到，故此選項錯誤；B、可以通過旋轉得到，故此選項錯誤；C、可以通過軸對稱得到，故此選項錯誤；D、可通過平移得到，故此選項正確；故選D．3．【答案】C【解析】由平移的性質可知，甲、乙兩只螞蟻的行走的路程相同，且兩只螞蟻的速度相同，所以兩只螞蟻同時到達，故選C．4．【答案】C【解析】根據旋轉的性質可知，每次旋轉的度數可以是360°÷5=72°或72°的倍數．故選C．5．【答案】C【解析】∵將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AED，

∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故選C．6．【答案】A【解析】A、是中心對稱圖形，故本選項正確；

B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、是旋轉變換圖形，故本選項錯誤；

D、是旋轉變換圖形，故本選項錯誤．

故選A．考點沖關考點沖關1．【答案】C【解析】A、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選C．2．【答案】B【解析】∵將點A（3，–2）向右平移3個單位所得點的坐標為（6，–2），∴正確答案是B選項.故選B．3．【答案】C【解析】①旋轉中心到對應點的距離相等，正確；②對稱中心是對稱點所連線段的中點，正確；③旋轉后的兩個圖形的對應邊所在直線的夾角等于旋轉角，正確；④任意一個等邊三角形都是中心對稱圖形，錯誤．說法正確的有3個，故選C．4．【答案】D【解析】根據圖象，△ABC繞著點A逆時針方向90°旋轉與△DEF形狀相同，向右平移6格就可以與△DEF重合．故選D．5．【答案】C【解析】菱形OABC的頂點O（0，0），B（–2，–2），得D點坐標為（，），即（–1，–1）．每秒旋轉45°，則第60秒時，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周，OD旋轉了7周半，菱形的對角線交點D的坐標為（1，1）；故選C．6．【答案】2【解析】如圖，作AH⊥CD于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB∥CD，∴∠D+∠BAD=180°，∴∠D=60°，∵AD=AB=2，∴AH=AD·sin60°，∵B，B′關于EF對稱，∴BE=EB′，當BE的值最小時，AE的值最大，根據垂線段最短可知，當EB′時，BE的值最小，∴AE的最大值=2，故答案為：2．7．【答案】55【解析】∵，紙條的兩邊互相平行，∴根據翻折的性質，故答案為：55．8．【答案】【解析】根據中心對稱圖形的性質，得，則陰影部分的面積等于的面積，為平行四邊形ABCD面積的．故答案為：．9．【答案】22【解析】如圖，∵（對頂角相等），∴∴∴旋轉角故答案為：22．10．【解析】（1）若△A1B1C1與△ABC關于原點O成中心對稱，則點A1的坐標為（2，–3）．（2）將△ABC向右平移4個單位長度得到△A2B2C2，則點B2的坐標為（3，1）．（3）將△ABC繞O點順時針方向旋轉90°，則點C走過的路徑長==π．11．【解析】如圖，連接EF交AD于點O．交AB于交AC于F，四邊形AEDF是平行四邊形，點關于AD的中點對稱．12．【解析】（1）如圖所示：（2）如圖所示：即為所求：C'的坐標為（3）∴∴是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC=40°，∴∠BAD=140°，∴△ABC旋轉了140°．（2）由旋轉的性質可知AC=AE，∴△AEC是等腰三角形．（3）由旋轉的性質可知，∠CAE=∠BAD=140°，又AC=AE，∴∠AEC=（180°–140°）÷2=20°．直通中考直通中考1．【答案】D【解析】∵只有D的圖形的形狀和大小沒有變化，符合平移的性質，屬于平移得到；故選D．2．【答案】B【解析】將點（2，1）向右平移3個單位長度，則所得的點的坐標橫坐標增加3，即（5，1）．故選B．3．【答案】【解析】由點A（2，1）平移后所得的點A1的坐標為（–2，2），可得坐標的變化規律是：左移4個單位，上移1個單位，∴點B的對應點B1的坐標為（–1，0）．故選C．4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋轉的角度是120°的整數倍，∴旋轉的角度至少是120°．故選C．5．【答案】C【解析】由折疊可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折疊可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴△ADE的周長為6×3=18，故選C．6．【答案】B【解析】∵S△ABC=16.S△A′EF=9，且AD為BC邊的中線，∴S△A′DE=S△A′EF=，S△ABD=S△ABC=8，∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，則，即，解得A′D=3或A′D=﹣（舍），故選B．7．【答案】D【解析】∵△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置．∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于20，∴AD=DC=2，∵DE=2，∴Rt△ADE中，AE==2，故選D．8．【答案】（﹣2，﹣2）【解析】作BH⊥y軸于H，如圖，∵△OAB為等邊三角形，∴OH=AH=2，∠BOA=60°，∴BH=OH=2，∴B點坐標為（2，2），∵等邊△AOB繞點O順時針旋轉180°得到△A′OB′，∴點B′的坐標是（﹣2，﹣2）．故答案為：（﹣2，﹣2）．9．【答案】10–2【解析】如圖，過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉知：AD=AE，∠DAE=90°，∠CAE=∠BAD=15°，∴∠AED=∠ADG=45°，在△AEF中，∠AF