秘密★啟用前理科數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．3．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．復數z滿足，則在復平面內對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．設集合，，則A．B．C．D．3．設a，b為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則4．在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節氣倒計時驚艷亮相，與節氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．我國古代天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節氣及晷長變化如圖1所示，相鄰兩個節氣晷長減少或增加的量相同，周而復始．已知立夏的晷長為4.5尺，處暑的晷長為5.5尺，則夏至所對的晷長為A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺5．若實數x，y滿足約束條件，則的最小值為A．B．C．2D．46．如圖2，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點，則的最小值為A．B．5C．D．77．已知，則的值為A．B．C．D．8．開學典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學從左至右排成一排上臺領獎，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學的排法有（）種．A．12B．16C．20D．249．已知隨機變量，且，則的最小值為A．9B．6C．4D．210．設函數有4個不同的零點，則正實數的取值范圍為A．B．C．D．11．已知，分別為橢圓E：的左、右焦點，E上存在兩點A，B使得梯形的高為c（其中c為半焦距），且，則E的離心率為A．B．C．D．12．在給出的①；②；③三個不等式中，正確的個數為A．0個B．1個C．2個D．3個二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數列的前n項和為，若，，則．14．已知向量，，若與的夾角為60°，則．15．如圖3，經過坐標原點O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓相交于A，C，B，D四點，則四邊形ABCD面積的最大值為．16．如圖4，在棱長為4的正方體中，已知點P為棱上靠近于點的四等分點，點Q為棱CD上一動點．若M為平面與平面的公共點，N為平面與平面ABCD的公共點，且點M，N都在正方體的表面上，則由所有滿足條件的點M，N構成的區域的面積之和為．三、解答題（共70分．解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）已知△ABC中的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角B為鈍角，且．（1）求角B的大小；（2）若點D在AC邊上，滿足，且，，求BC邊的長．18．（本小題滿分12分）如圖5，在直三棱柱中，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，點D，E分別為棱BC，上的中點．（1）求證：AD//平面；（2）若二面角的大小為，求實數t的值．19．（本小題滿分12分）某中學為增強學生的環保意識，舉辦了“愛貴陽，護環境”的知識競賽活動，為了解本次知識競賽活動參賽學生的成績，從中抽取了n名學生的分數（得分取正整數，滿分為100分，所有學生的得分都在區間中）作為樣本進行統計，按照，，，，，的分組作出如圖6甲所示的頻率分布直方圖，并作出如圖乙的樣本分數莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數據）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值；（2）在選取的樣本中，從競賽成績不低于80分的2組學生中按分層抽樣抽取了5名學生，再從抽取的這5名學生中隨機抽取2名學生到觀山湖公園參加環保知識宣傳活動，設抽到的學生成績在的人數為X，將樣本頻率視為概率，求X的概率分布列及期望．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，F為橢圓C的右焦點，M為橢圓上的點，若MF的最小值為．（1）求橢圓C的方程；（2）若圓E：的切線l與橢圓C交于A，B兩點，求△FAB面積的最大值．21．（本小題滿分12分）已知函數，．（1）當時，討論的單調性；（2）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡，上把所選題目的題號涂黑．注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答區域指定位置答題．如果多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）[選修4-4；坐標系與參數方程]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的方程是．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）若點A的坐標為（1，0），直線1與曲線C交于P，Q兩點，求的值．23．（本小題滿分10分）[選修4-5：不等式選講]已知函數的最小值為m．（1）求m；（2）已知a，b，c為正數，且，求的最小值．貴陽第一中學2023屆高考適應性月考卷（二）理科數學參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案DCCACDACCAAB【解析】1．由，得，，故在復平面內所對應的點為，在第四象限，故選D．2．，，所以，故選C．3．A．當時，，可以成立，本選項結論不正確；B．當時，若，，，此時，成立，因此本選項結論不正確；C．因為，所以，，，所以，而，，所以，而，所以，所以本選項結論正確；D．當時，若，，此時，成立，因此本選項結論不正確，故選C．4．設相鄰兩個節氣晷長減少或增加的量為，則夏至到處暑增加4d，立夏到夏至減少3d，夏至的晷長為x，則，解得，故選A．5．可行域如圖1所示，作出直線，可知z要取最小值，即直線經過點A，解方程組得，所以，故選C．6．如圖2，以B點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，，因為，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以當，即時，的最小值為7，故選D．7．由，得，∴，所以，∴，所以，故選A．8．若甲與丙之間為乙，即乙在甲、丙中間且三人相鄰，共有種情況，將三人看成一個整體，與丁戊兩人全排列，共有種情況，則此時有種排法；若甲與丙之間不是乙，先從丁、戊中選取1人，安排在甲、丙之間，有種選法，此時乙在甲的另一側，將四人看成一個整體，考慮之前的順序，有種情況，將這個整體與剩下的1人全排列，有種情況，此時有種排法，所以總共用種情況符合題意，故選C．9．由隨機變量，則正態分布的曲線的對稱軸為，又因為，所以，所以．當時，有，當且僅當，即時等號成立，故最小值為4，故選C．10．當時，，即，分別畫出圖像知有一個交點，故有一個零點，所以當時，函數有3個零點，令，即，，解得，由題可得區間內的3個零點分別是，1，2取得，所以即在和之間，即，解得，故選A．11．如圖3，因為，所以，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，則，因為梯形的高為c，所以，在中，，則即．設，則，在，即，解得，同理，又，所以，即，所以，故選A．12．令，則，所以時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減；可得，即，故①正確；因為，所以，即，所以，即，故②錯誤；再令，則，所以當時，，即在上單調遞增，所以，則，即．又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③錯誤，故選B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號13141516答案9445【解析】13．由已知，，①，當時，，當時，②，①－②得：，整理得：，即，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，所以，所以，所以．14．由題意得，故，解得，其中不合題意，舍去，故．15．如圖4，由題設，則圓心，半徑，若圓心到直線AC，BD的距離，且，，，而，所以，令，則，當，即時，．16．如圖5，由已知得：平面與平面的交線與平行，M的軌跡為平面與平面的交線在矩形內線段所構成的圖形，當點Q與點D重合時，M軌跡為線段，當點Q從點D沿DC往點C運動時，M的軌跡為以P為一端點，另一端點落在線段AG上的線段，其中G為棱AB上靠近于點B的四等分點，綜上，M的軌跡為線段以及三角形APG及其內部，所以點M構成區域的面積為．同理可得N的軌跡為平面與平面ABCD的交線在矩形ABCD內線段所構成的圖形，N構成區域為梯形AGCD，面積為，所以M，N構成的區域的面積之和為．三、解答題（共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）解：（1）由已知：，則．由正弦定理，，∵A，，故，∴，∴，即．∵，則，∴，即．（2）由題意，得．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴，，則，∴．18．（本小題滿分12分）（1）證明：如圖6，點D，E分別為BC，的中點，在直三棱柱中，，，所以四邊形為平行四邊形，連接DE，則，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面．（2）解：方法一：在平面ABC內，過點C作AD的垂線，由ABC為等腰直角三角形知垂足為D，則為二面角的平面角，即，在等腰直角三角形ABC中，不妨設，，則，在中，，∴，∴．方法二：平面ABC，又，以為正交基底建立如圖7所示的空間直角坐標系A-xyz，設，，則，則，，，所以，．設平面的一個法向量為，由，得，又平面ADC的一個法向量為，因為二面角的大小為，所以．即，∴，∴．19．（本小題滿分12分）解：（1）由直方圖可知，分數在中的頻率為，根據莖葉圖可知，分數在中的頻數為3，所以樣本容量，根據莖葉圖可知，分數在中的頻數為1，所以分數在中的頻率為，所以，所以，由，得，綜上所述：，，．（2）由題意，本次競賽成績樣本中分別在中的學生有名，分數在中的學生有名，抽取分數在中的學生有名，抽取分數在中的學生有名．由題可知，X的所有取值有0，1，2，，，，所以，X的分布列為：X012P∴．20．（本小題滿分12分）解：（1）橢圓的離心率，又MF的最小值為，即：，得，，∴，故橢圓C的方程為．（2）由（1）點，若直線l的斜率不存在，l不能過點，則l的方程只能為，∴，．若直線l的斜率存在，設l的方程為：，，，由直線l與圓E相切得，化簡得，則，．由，得，，則，．．又到直線l的距離．．設，則，．綜上，△FAB面積的最大值為4．21．（本小題滿分12分）解：（1），由，得出，．當，由，得或，，得，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；同理，當時，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，，則在上單調遞增．（2）由可轉化為，令，，令，，令，得，在上遞增，在上單調遞減，所以時，在內存在唯一零點，當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞境，故．因為，所以，所以，所以，即．22．（本小題滿分10分）【選修4：