專題02第二章實數【專題過關】類型一、判斷無理數【解惑】下列實數是無理數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據無理數是無限不循環小數，可得答案．【詳解】解：A．是無限不循環小數，是無理數，故本選項符合題意；B．是有限小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；C．是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；D．是無限循環小數，是分數，屬于有理數，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了無理數的定義，明白無限不循環小數是無理數是解題的關鍵．【融會貫通】1.（2023秋·陜西西安·八年級校考開學考試）下列各數：，，，，（兩個1之間依次多一個0），中無理數的個數為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．【詳解】解：，是有理數，即，，（兩個1之間依次多一個0）是無理數，共3個；故選：B．【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：，等；開方開不盡的數；以及像（兩個1之間依次多一個0），等有這樣規律的數．2．（2023春·福建福州·七年級統考期中）下列各數中，是無理數的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】無限不循環小數叫做無理數，根據無理數的定義判斷即可．【詳解】解：為無理數，，，是有理數．故選：A．【點睛】本題考查了無理數的定義，牢記常見的無理數的類型是解題的關鍵．3．（2023春·西藏日喀則·七年級校考期中）在下列實數，，4，，，，中，有理數的個數為a，無理數的個數為b，則得值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據有理數及無理數的定義即可求解．【詳解】解：有理數有：，4，，，，則，無理數有：，，則，則，故選B．【點睛】本題考查了有理數及無理數的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．4．（2023春·安徽合肥·七年級統考期中）在，，，這四個實數中，負無理數是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據小于零的無理數是負無理數，即可得到答案．【詳解】解：是有限小數，屬于有理數，故選項A不符合題意；是分數，屬于有理數，故選項B不符合題意；是正無理數，故選項C不符合題意是負無理數，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如，，每兩個之間依次多個等形式．5．（2023春·四川自貢·七年級校考期中）在下列各數：、、、、、、、中，無理數的個數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據無限不循環小數是無理數逐項判斷即可．【詳解】解：為有理數，為有理數，為有理數，為無理數，為無理數，為有理數，為有理數，為無理數，∴無理數的個數為3個．故選B．【點睛】此題主要考查無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：，等；開方開不盡的數；以及像，等有這樣規律的數．類型二、求一個數的算術平方根【解惑】化簡的結果是（）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】根據算術平方根的定義，求解即可.【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查求算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵.【融會貫通】1．（2023春·河南·七年級校聯考階段練習）若一個自然數的算術平方根是a，則比這個數大1的數的算術平方根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于一個自然數的算術平方根是a，可求這個自然數就是，進而可求比它大1的數即可．【詳解】解：∵一個自然數的算術平方根是a，∴這個自然數就是，那么比這個自然數大1的數的算術平方根是．故選：D．【點睛】本題考查了算術平方根，解題的關鍵是注意乘方和開方互為逆運算．2．（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習）的算術平方根為（

）A．13 B． C． D．【答案】C【分析】先將化簡，再根據算術平方根的定義進行解答即可．【詳解】解：∵，∴的算術平方根為，故選：C．【點睛】本題主要考查了求一個數的算術平方根，解題的關鍵是掌握一個非負數x的平方等于y，則x是y的算術平方根．3．（2023春·河南漯河·七年級校考階段練習）25的算術平方根是（

）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】根據算術平方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴25的算術平方根是5．故選：B．【點睛】本題考查了算術平方根，如果一個正數x的平方等于a，即，那么x叫做a的算術平方根．4．（2023春·江蘇南通·七年級校考階段練習）的算術平方根是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據算術平方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴的算術平方根是，故選：B．【點睛】本題考查了算術平方根的定義，解題的關鍵是熟練掌握：若一個正數x的平方等于a，則這個正數x為a的算術平方根．5．（2023春·山東聊城·八年級校考階段練習）求下列各數的算術平方根．(1)64(2)(3)(4)【答案】(1)8(2)2(3)3(4)【分析】根據算術平方根的定義求解即可．【詳解】（1）64的算術平方根是；（2），所以的算術平方根是；（3），所以的算術平方根是；（4）的算術平方根是．【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根，如果一個非負數x的平方等于a，那么x叫做a的算術平方根，熟知概念是關鍵．類型三、求一個數的平方根【解惑】9的平方根是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根據平方根的含義和求法，可得9的平方根是：，據此解答即可；【詳解】9的平方根是：故選：A【點睛】此題主要考查了平方根的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根【融會貫通】1．（2023春·福建莆田·七年級校聯考期中）下列說法正確的是（

）A．1的平方根是 B．的平方根是C．的平方根是 D．的算術平方根是【答案】C【分析】根據平方根與算術平方根的定義，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.1的平方根是，故該選項不正確，不符合題意；B.沒有平方根，故該選項不正確，不符合題意；C.的平方根是，故該選項正確，符合題意；

D.的算術平方根是，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平方根與算術平方根，熟練掌握平方根與算術平方根的定義是解題的關鍵．2．（2023秋·河北石家莊·八年級統考期末）16的平方根是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根據平方根的定義即可求解．【詳解】解：，的平方根是，故選：C．【點睛】本題主要考查了平方根，解題的關鍵是掌握正數的平方根有兩個，互為相反數．3．（2023春·山東德州·七年級校考期中）的平方根為（

）A．9 B． C． D．【答案】D【分析】由，9的平方根為，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴的平方根為，故選D【點睛】本題考查的是算術平方根的含義，平方根的含義，熟記算術平方根與平方根的含義是解本題的關鍵．4．（2023春·河南駐馬店·七年級統考期中）的平方根是（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據以及4的平方根是即可得到答案．【詳解】解：∵，4的平方根是，∴的平方根是，故選：D【點睛】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵．5．（2023春·西藏日喀則·七年級校考期中）若，則的平方根是．【答案】【分析】先把式子左右兩邊同時平方求出，進而得到，再根據平方根的定義即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵的平方根是，∴的平方根是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求一個數的平方根，正確求出x的值是解題的關鍵，注意一個正數的平方根有兩個．類型四、求一個數的立方根【解惑】若，則的值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根據立方根的定義進行求解即可．【詳解】解：∵，∴；故選A．【點睛】本題考查求一個數的立方根．解題的關鍵是掌握立方根的定義：一個數的立方等于，這個數叫做的立方根．【融會貫通】1．（2023春·吉林松原·七年級校考階段練習）一個自然數的算術平方根為3，則的立方根是（

）A． B．2 C．3 D．9【答案】B【分析】先根據算術平方根的定義求出a的值，再根據立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵一個自然數的算術平方根為3，∴，∴，∴的立方根是．故選B．【點睛】本題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解答本題的關鍵．2．（2023春·河南許昌·七年級統考期中）實數的立方根是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根據即可得出答案．【詳解】解：，，故選：B．【點睛】本題考查的是立方根，熟知立方根的定義是解答此題的關鍵．3．（2023春·河南信陽·七年級校考階段練習）的算術平方根是7；的立方根是；的平方根是．【答案】49【分析】根據平方運算，可得平方根、算術平方根和立方根．【詳解】解：∵，∴49的算術平方根是7；∵，∴的立方根是；∵，∴9的平方根是．即的平方根是．故答案為：49；；．【點睛】本題考查了算術平方根、平方根和立方根，平方和立方運算是求平方根和立方根的關鍵．4．（2023春·河北保定·七年級校聯考期中）的算術平方根是，的立方根是．【答案】【分析】根據算術平方根和立方根的定義進行求解即可得到答案．【詳解】解：，，的算術平方根是，的立方根是，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了算術平方根和立方根的定義，一個正數的平方等于，即，則這個正數為的算術平方根，如果一個數的立方等于，那么這個數叫的立方根，熟練掌握算術平方根和立方根的定義是解題的關鍵．5．（2023春·吉林松原·七年級校考階段練習）一個正數的兩個平方根是和，則這個正數的立方根是多少？【答案】【分析】分析題目根據正數的兩個平方根互為相反數可得；接下來解方程可得x的值，從而可求出這個正數；然后根據立方根的定義可得答案．【詳解】解：由題意得：，，，，∴，∴9的立方根是．【點睛】本題考查平方根和立方根，知道正數的兩個平方根互為相反數是解題的關鍵．類型五、實數的分類【解惑】將下列各數填入相應的集合中∶，0，1.121121112，3，正數∶（

）整數∶（

）無理數∶（

）【答案】；；【分析】根據正數，整數，無理數的定義分類即可．【詳解】解：（1）根據大于零的數是正數知：正數集合有：（）．（2）整數集合：{}，（3）根據無理數是無限不循環小數知：無理數集合：（）．故答案為：；；【點睛】本題考查實數的分類，理解整數，正數，無理數的定義是求解本題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·福建莆田·七年級校聯考期中）把下列各數填入相應的空格內：4，，，0.303003，，0(1)有理數：（

）(2)無理數：（

）(3)正實數：（

）(4)負實數：（

）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據實數的分類逐一解答即可.【詳解】（1）；所以有理數：；（2）無理數：；（3）正實數：；（4）負實數：.【點睛】本題考查了實數的分類，熟知實數分為有理數和無理數是解題的關鍵.2．（2022秋·江蘇連云港·七年級校考階段練習）把下列各數填在相應的大括號中：①整數集合{..}.②負數集合合{..}.③有理數集合{..}.④無理數集合{..}．【答案】，0，11；，，；，，，0，，11，，；，【分析】按照實數分類方法進行解答即可．【詳解】①整數集合{，0，11……}②負數集合{，，……}③有理數集合{，，，0，，11，，…}④無理數集合{，……}【點睛】此題考查了實數，熟練掌握實數的分類是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇鹽城·七年級校考階段練習）把下列各數填在相應的大括號內：，1.1，，0，2，1.2121121112…，，，．正分數集合：{_______…}；負有理數集合：{_______…}；無理數集合：{_______…}．【答案】正分數集合：1.1，；負有理數集合：，，；無理數集合：1.2121121112…，【分析】根據實數的分類，逐一判斷即可解答．【詳解】正分數集合：1.1，；負有理數集合：，，；無理數集合：1.2121121112…，；【點睛】本題考查了實數的分類，熟練掌握實數的概念是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇鹽城·七年級校考階段練習）把下列各數的序號填在相應的大括號里：①，②，③，④，⑤……，⑥，⑦0，⑧正分數集合：{___________}非負整數集合：{___________}負有理數集合：{___________）無理數集合：{___________}【答案】①，⑥；④，⑦，⑧；③；②，⑤【分析】按照實數的分類解答即可．【詳解】解：，，正分數集合：{①，⑥}非負整數集合：{④，⑦，⑧}負有理數集合：{③}無理數集合：{②，⑤}【點睛】此題考查了實數的分類，熟練掌握實數的概念和無理數的概念是解題的關鍵．5．（2023春·安徽亳州·七年級校考階段練習）把下列各數填入相應的集合里：，，，，，（兩個之間依次增加一個）．正數集合：

；質數集合：

；有理數集合：

；無理數集合：

．【答案】正數集合：；負數集合：；有理數集合：；無理數集合：．【分析】根據實數的分類，逐一判斷即可解答．【詳解】解：正數集合：；負數集合：；有理數集合：；無理數集合：．【點睛】此題考查了實數，熟練掌握實數的分類是解題的關鍵，實數分為正實數、零和負實數，正實數分為正有理數和正無理數，負實數分為負有理數和負無理數．類型六、判斷二次根式【解惑】下列式子，一定是二次根式的共有（

），1，，，，A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】D【分析】根據二次根式的定義進行解答即可．【詳解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2個，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握定義，一般地，形如的代數式叫做二次根式．【融會貫通】1．（2023春·廣西南寧·八年級統考期中）下列式子不屬于二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式．故選：B【點睛】本題考查了二次根式的定義，掌握知識點是解題關鍵．2．（2021春·廣東廣州·八年級校考階段練習）下列式子是二次根式的是（

）A． B．π C．0 D．【答案】D【分析】根據二次根式的定義分別進行判定即可．【詳解】解：，π，0都沒有開方，不是二次根式，符合二次根式的定義．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的定義：形如叫二次根式．3．（2023春·青海西寧·八年級統考期末）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次根式的定義：形如的式子叫做二次根式，即可解答．【詳解】解：A、沒有意義，故A不符合題意；B、不是二次根式，故B不符合題意；C、是二次根式，故C符合題意；D、當時，是二次根式，當時，沒有意義，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了二次根式的識別，熟練掌握二次根式的定義是解題的關鍵．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、的被開方數，不是二次根式，故本選項不符合題意；B、，∵，∴，是二次根式，故本選項符合題意；C、的根指數是3，不是2，不是二次根式，故本選項不符合題意；D、當時，，∴不是二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關鍵，形如的式子叫二次根式．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）下列各式屬于二次根式的是（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的定義：形如，進行判斷即可．【詳解】解：1，，，中屬于二次根式的是；故選B．【點睛】本題考查二次根式的判斷．熟練掌握二次根式的定義，是解題的關鍵．類型七、二次根式有意義【解惑】若使有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解出即可得出答案．【詳解】解：若使有意義，則，即．故選C【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，其中列出符合題意不等式是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯考階段練習）要使式子在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．2．（2023春·浙江溫州·八年級統考期中）要使二次根式有意義，則應滿足下面哪個選項（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：由題意得，，解得，，故選：D．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．3．（2023春·貴州黔東南·八年級校考階段練習）代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．【答案】/【分析】根據二次根式有意義的條件進行解答即可．【詳解】解：∵代數式在實數范圍內有意義，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的被開方數為非負數．4．（2023秋·北京西城·九年級北京市第一六一中學校考開學考試）若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．【答案】/【分析】直接利用二次根式有意義的條件進而得出答案.【詳解】解：式子在實數范圍內有意義，則，即故實數x的取值范圍是.故答案為：【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關定義是解題關鍵.5．（2023·湖南湘西·模擬預測）若式子有意義，則x的取值范圍是．【答案】【分析】根據二次根式有意義的條件“被開方數為非負數”，求解即可．【詳解】解：要使有意義，必須且，解得：，即x的取值范圍是，故答案為：．【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式的被開方數為非負數．類型八、二次根式乘除法【解惑】計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據零指數冪的意義、二次根式的性質和二次根式的除法法則運算，然后合并即可；（2）先根據平方差公式和完全平方公式計算，然后合并即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則和零指數冪的意義是解決問題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·山東濱州·八年級校考階段練習）計算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據二次根式的除法運算即可求解；（2）根據二次根式的混合運算法則即可求解；（3）運用乘法公式，二次根式的混合運算即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質，乘法公式，二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．2．（2022秋·上海普陀·八年級校考階段練習）計算：【答案】【分析】先確定結果的符號，再把除法化為乘法，最后進行化簡．【詳解】．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．3．（2023春·廣西柳州·八年級校考期中）計算：【答案】【分析】根據二次根式乘除混合運算的法則進行計算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握運算法則是解題的關鍵．4．（2023春·四川廣安·八年級校考期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡即可；（2）先根據乘法分配律展開，再計算二次根式的乘法最后計算加減即可．【詳解】（1）（2）【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．5．（2023春·河南信陽·七年級校考期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據二次根式的乘除混合運算法則求解即可；（2）利用乘法公式計算即可．【詳解】（1）；（2）．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，記住先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．類型九、判斷同類二次根式【解惑】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據同類二次根式的概念判斷即可．【詳解】，A、與不是同類二次根式；B、，與是同類二次根式；C、，與不是同類二次根式；D、，與不是同類二次根式；故選：B．【點睛】本題考查的是同類二次根式的概念，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．【融會貫通】1．（2023春·河南駐馬店·八年級校考階段練習）若可以合并為一項，則可以是(

)A．9 B．18 C．27 D．54【答案】B【分析】根據同類二次根式進行逐項分析即可．【詳解】解：∵可以合并為一項，∴與是同類二次根式，當時，；當時，；當時，；當時，．故選：B．【點睛】本題考查同類二次根式的定義，解題關鍵是理解能夠合并成一項，即化簡后它們的被開方數相同．2．（2023春·甘肅定西·八年級校考階段練習）若最簡二次根式與能合并，則．【答案】1【分析】根據兩個最簡二次根式能合并，可得到它們是同類二次根式，即被開方數相同，進而列方程求解即可．【詳解】解：∵最簡二次根式與能合并，∴，解得，故答案為：1．【點睛】本題考查同類二次根式的定義、解一元一次方程，熟知同類二次根式的被開方數相同是解答的關鍵．3．（2022秋·河南周口·九年級校考期中）若二次根式是最簡二次根式，且與是同類二次根式，則整數a的值可以是．【答案】1【分析】根據同類二次根式的定義列式求解即可．【詳解】解：∵二次根式是最簡二次根式，且與是同類二次根式，∴，∴．故答案為：1．【點睛】】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解答本題的關鍵．化成最簡二次根式后，如果被開方式相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．4．（2023春·河南駐馬店·八年級統考期末）如果最簡二次根式與能夠合并為一項，那么m的值為．【答案】【分析】根據同類二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：由題意得：解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是同類二次根式的概念，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．5．（2023春·寧夏石嘴山·八年級校考期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式；（2）利用完全平方公式，二次根式的除法，最后合并同類二次根式．【