28離心率【題型一】判斷橫放豎放求參【典例分析】已知實數成等比數列，則圓錐曲線的離心率為（）A． B．2 C．或2 D．或【經驗總結】依據橢圓和雙曲線定義好幾何性質，對方程中含參判斷，要從以下幾方面：通過討論，確定焦點在x軸還是在y軸上判斷（即俗稱的橫放還是豎放）。“橢圓”要注意避開倆分母相等這個計算坑【變式演練】1.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線M的漸近線方程是（）A． B． C． D．2.已知曲線C：的離心率，則實數m值為（）A．6 B．-6 C． D．3.設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【題型二】直接法【典例分析】橢圓上的點到橢圓的焦點的距離的最大值與橢圓的短軸長相等，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【經驗總結】直接利用橢圓和雙曲線的定義和基礎性質求離心率離心率的公式：橢圓；雙曲線【變式演練】1.已知雙曲線的右焦點到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則C的離心率為（）A． B． C． D．2.在平面直角坐標系xOy中，橢圓上存在點P，使得，其中?分別為橢圓的左?右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．3.設雙曲線E：的離心率為，直線過點和雙曲線E的一個焦點，若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．【題型三】補連另一焦點利用定義【典例分析】已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【經驗總結】橢圓和雙曲線，與一個焦點有關，思維上優先連接另一焦點，分析是否能借助定義解決。【變式演練】1.橢圓的左右焦點分別為?，直線與交于A?兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．2.設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【題型四】余弦定理1：基礎型【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是雙曲線漸近線上一點，且(其中為坐標原點)，交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【經驗總結】一般情況下，焦點三角形，可以構造余弦定理。【變式演練】1.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與交于點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2.設點，分別為雙曲線的左右焦點.點，分別在雙曲線的左，右支上，若，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點，以為直徑的圓過，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【題型五】余弦定理2：勾股定理用兩次【典例分析】如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【經驗總結】焦點三角形或者焦點弦，有垂直（或者在圓上）可以構造勾股定理，特別是焦點弦，倆交點，可以構造兩個勾股定理。【變式演練】1.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點，若，且的周長為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．3.已知，是雙曲線：的左，右焦點，過點傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【題型六】余弦定理3：余弦定理用兩次【典例分析】已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【經驗總結】焦點弦倆交點，可以分開為兩次構造余弦定理【變式演練】1.設分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點的雙曲線Γ經過B，C兩點.若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（

）A． B． C． D．3.．已知橢圓的兩個焦點分別是，，過的直線交橢圓于，兩點，若且，則橢圓的離心率為（

）.A． B．C． D．【題型七】中點型【典例分析】已知橢圓的左焦點為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【經驗總結】中點型可以點差法，，點代入法計算【變式演練】1.已知О為坐標原點，雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線C的漸近線交于A、B兩點，其中M為線段OB的中點．O、A、F、M四點共圓，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．22.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點.點為線段的中點，且.若，則雙曲線的離心率是（）A．2 B． C． D．3.已知，分別是橢圓的左、右焦點．若橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線恰好經過焦點，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型八】多曲線交點1：和拋物線【典例分析】已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【變式演練】1.已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2.橢圓N的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點，，則橢圓N的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知拋物線的焦點F是橢圓的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【題型九】多曲線交點2：與圓【典例分析】已知雙曲線的右焦點為，以實軸為直徑的圓與其中一條漸近線的一個交點為，若直線與另一條漸近線平行，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【變式演練】1.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線與圓在第二象限相交于點分別為該雙曲線的左、右焦點，且，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．23.已知，分別為雙曲線的左?右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為M，N，設四邊形的周長C與面積S滿足則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．【題型十】多曲線交點3：雙曲線和橢圓【典例分析】已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線，則橢圓與雙曲線的離心率之積的范圍為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共交點，且，則橢圓和雙曲線的離心率倒數之和的最大值為A． B． C．2 D．2.橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．3.已知橢圓與雙曲線有公共焦點，，，為左焦點，為右焦點，P點為它們在第一象限的一個交點，且，設，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．【題型十一】雙曲線特性1：漸近線【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點分別是，，在其漸近線上存在一點，滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線，垂足為，為坐標原點，且平分，則的離心率為(

)A．2 B． C．3 D．2.已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、、A為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若線段交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【題型十二】雙曲線特性2：內心【典例分析】已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點（A在B的上方），，點E在y軸上，且軸．若的內心到y軸的距離為，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【變式演練】1.設分別為雙曲線的左右焦點，點為雙曲線上的一點，若的重心和內心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線，的左右焦點記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點為P，若所得的內切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【題型十三】難點1：借助向量構造【典例分析】已知雙曲線的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（

）2.橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線交于，兩點，若，，其中為坐標原點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知雙曲線的虛軸的一個頂點為，左頂點為，雙曲線的左、右焦點分別為，，點為線段上的動點，當取得最小值和最大值時，的面積分別為，，若，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C． D．【題型十四】難點2：小題大做型【典例分析】已知F是橢圓的左焦點，A是該橢圓的右頂點，過點F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點M，N．記，設該橢圓的離心率為e，下列結論正確的是（

）