一次函數(shù)與勾股定理專項訓(xùn)練卷如圖，在中，，，，為的中點，過點作，、分別交射線、于點、，則的最小值為5．．【分析】首先過點作于點，作于點，易得四邊形是矩形，可得，，又由，，為的中點，可求得與的長，然后由勾股定理求得的長，又由垂線段最短，可得當(dāng)與重合，即與重合時，最短，求得答案．【解答】解：過點作于點，作于點，，四邊形是矩形，，，，，，，，，為的中點，，，，由垂線段最短，可得當(dāng)與重合，即與重合時，最短，的最小值為5．故答案為：5．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及垂線段最短的知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2019春?羅湖區(qū)期末）在中，，，，的角平分線與的角平分線相交于，且交于，則的長等于．【分析】思想利用勾股定理的逆定理證明，利用面積法求出，設(shè)，，構(gòu)建方程組解決問題即可．【解答】解：如圖，作于，于，于．，，，，同理可證：，，，，，，，，，易證四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)，，則有，解得，補(bǔ)充方法：根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可．故答案為．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（2019秋?甌海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點，長方形的頂點、分別在軸與軸上，已知，，點為軸上一點，其坐標(biāo)為，點在線段上運動，當(dāng)點與點重合時停止運動．（1）點在運動過程中，當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出此時點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點關(guān)于的對稱點落在軸上時，求點的坐標(biāo)．【分析】（1）求出的長，然后分和是直角兩種情況求出，再寫出點的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，然后判斷出是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，然后寫出點的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1），，，若，則，點的坐標(biāo)為，若，則，點的坐標(biāo)為，以為直徑作圓顯然與沒有交點，所以不可能是，綜上所述，為直角三角形時，點的坐標(biāo)為或；（2）點關(guān)于的對稱點落在軸上，，是等腰直角三角形，，點的坐標(biāo)為．【點評】此題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（1）分情況討論，（2）判斷出是等腰直角三角形．（2021秋?東明縣期末）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，且與軸以及一次函數(shù)的圖象分別交于點、，點的坐標(biāo)為．（1）關(guān)于、的方程組的解為．（2）求的面積；（3）在軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題目中點的坐標(biāo)，從而可以得到關(guān)于、的方程組的解；（2）根據(jù)點的坐標(biāo)可得，計算的長，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，可知有三種情況，然后分別進(jìn)行討論計算即可解答本題．【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，且點的坐標(biāo)為，關(guān)于、的方程組的解是，關(guān)于、的方程組的解是，故答案為：；（2）把點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中得：，解得：，，，，；（3）存在，如圖1，當(dāng)點為直角頂點時，過點作軸于，，；當(dāng)點為直角頂點時，軸上不存在點；當(dāng)點為直角頂點時，過點作交軸于點，作軸于，設(shè)，當(dāng)時，，，，，，，，，，在中，，在中，，在中，，，解得，，綜上，點的坐標(biāo)為：或．【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)與軸、軸的交點、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，三角形的面積、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．（2020秋?成都期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸于點，．（1）求點的坐標(biāo)；（2）點為軸正半軸上一點，，點為線段上一動點，設(shè)的縱坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示點到軸的距離；（3）在（2）的條件下，過點作交軸于點，連接，，當(dāng)為等腰三角形時，求的面積．【分析】（1）用表示出，，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．（2）如圖1中，過點作的角平分線交于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，由此構(gòu)建方程求解即可．（3）在（2）的條件下，，因為，推出，，分兩種情形：當(dāng)時，過點作于，②當(dāng)時，分別求出直線的解析式，構(gòu)建方程組即可解決問題．【解答】解：（1）由題意，直線直線交軸于點，交軸于點，在中，，，或（舍棄），，．（2）如圖1中，過點作的角平分線交于．，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，直線的解析式為，的縱坐標(biāo)為，點橫坐標(biāo)為，，．（3）在（2）的條件下，，，，，①當(dāng)時，過點作于，，，，，，，，，，直線過點，，直線的表達(dá)式為，由，解得，，，．②當(dāng)時，，直線的表達(dá)式為，由，解得，，，．【點評】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．（2022春?桂林期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點、坐標(biāo)分別為，，．（1）直接寫出點的坐標(biāo)，并求出直線的解析式；（2）若是直線上的一個動點與、不重合），當(dāng)?shù)拿娣e是3時，請求出點的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在一點，使得是不以點為直角頂點的直角三角形．若存在，請求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)確定點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式求得的高，然后利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求點坐標(biāo)；（3）設(shè)點坐標(biāo)為，然后結(jié)合勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）在平行四邊形中，，，又頂點、坐標(biāo)分別為，，，點坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，將，，代入，得：，解得：，直線的解析式為：；（2），且的面積是3，設(shè)的邊上的高為，則，解得：，點縱坐標(biāo)為或，又是直線上的一個動點，在中，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，點坐標(biāo)為，或，；（3）設(shè)點坐標(biāo)為，由題意可得：，，，①當(dāng)點為直角頂點時，，，解得：，此時，點坐標(biāo)為；②當(dāng)點為直角頂點時，，，解得：，此時，點坐標(biāo)為；綜上，點坐標(biāo)為或．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理解直角三角形，理解相關(guān)性質(zhì)定理，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．（2017?和平區(qū)三模）將一個直角三角形紙片，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點，，點，點（1）過邊上的動點（點不與點，重合）作交于點，沿著折疊該紙片，點落在射線上的點處．①如圖，當(dāng)為中點時，求點的坐標(biāo)；②連接，當(dāng)為直角三角形時，求點坐標(biāo)；（2）是邊上的動點（點不與點重合），將沿所在的直線折疊，得到△，連接，當(dāng)取得最小值時，求點坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．【分析】（1）①由為中點結(jié)合，可得出為的中位線，再根據(jù)點、的坐標(biāo)即可得出點的坐標(biāo)；②根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合角的計算可得出，分和兩種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，找出當(dāng)點在軸上時，取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出直線的解析式，再根據(jù)點、的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）①，，．為中點，為的中位線，點為線段、的中點，點的坐標(biāo)為，．②由折疊可知：，，，．是直角三角形，或．當(dāng)時，如圖1所示．．在中，，，，，，，．在中，，，，，，．．點的坐標(biāo)為，；當(dāng)時，如圖2所示．，，，．在中，，，，，，．在中，，，，，．，點的坐標(biāo)為，．綜上所述：當(dāng)為直角三角形時，點坐標(biāo)為，或，．（2）由折疊可知：△，，，又，當(dāng)點在軸上時，取最小值，如圖3所示．，，直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為，將，、代入中，，解得：，直線的解析式為．聯(lián)立直線、的解析式成方程組，，解得：，當(dāng)取得最小值時，點坐標(biāo)為，．【點評】本題考查了三角形的中位線、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）①找出為的中位線；②分和兩種情況求點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系找出取得最小值點的位置．（2019秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線經(jīng)過點，點坐標(biāo)為，（1）求點的坐標(biāo)；（2）若為射線上的一點，當(dāng)是直角三角形時，求點坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)直線經(jīng)過點，可得，易求，即可得點坐標(biāo)；（2）考慮有兩種情況：①當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)與點的橫坐標(biāo)相同，均為4，把代入，易求，從而可得點坐標(biāo)；當(dāng)時，可先設(shè)點坐標(biāo)是，根據(jù)勾股定理易得，解可求，（舍去），進(jìn)而可求點坐標(biāo)，綜上所述：當(dāng)是直角三角形時，點的坐標(biāo)為或．【解答】解：（1）直線經(jīng)過點，，解得：，點的坐標(biāo)為；（2）①當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)與點的橫坐標(biāo)相同，均為4，將代入，得，點的坐標(biāo)為，②當(dāng)時，，設(shè)點坐標(biāo)為，，解得，（舍去），點的坐標(biāo)為，綜上所述：當(dāng)是直角三角形時，點的坐標(biāo)為或．【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題、勾股定理．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖，要根據(jù)點的不同位置進(jìn)行分類求解．（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）（1）如圖1，在和中，，，且點在邊上滑動（點不與點，重合），連接，①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：；（2）如圖2，在四邊形中，．若，，求的長．【分析】（1）①證明，得出，可得；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，得到，根據(jù)勾股定理計算即可；（2）作，使，連接，，證明，得到，根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】（1）①解：，理由如下：，，即，在和中，，，，；故答案為：；②證明：中，，，由（1）得，，，，，，在中，，又，；（2）解：作，使，連接，，如圖2所示：，即，在與中，，，，，，，，，．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（2021?新吳區(qū)二模）已知中，，，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在處，，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)（保持點在內(nèi)部），連接、、．（1）如圖1求證：；（2）如圖2當(dāng)三角板繞點旋轉(zhuǎn)到點、、在同一直線時，求的長；（3）設(shè)射線與射線相交于點，連接，寫出旋轉(zhuǎn)過程中、、之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由題意可得：，即可證，可得；（2）作于，由題意可求，可得，根據(jù)勾股定理可求，即可求的長；（3）作于，于，設(shè)交于，由題意可證，可得，，即可證，，，則可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】證明：（1）如圖1中，，且，（2）解：如圖2中，作于、、共線，，，，在中，（3）解：結(jié)論：理由：如圖3中，作于，于，設(shè)交于．，，，，，，，，，，，，，，，，，【點評】本題考查了幾何變換綜合題，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．如圖所示，在中，，是斜邊的中點，，分別在邊，上，，若，，，求線段的長度．【分析】延長至點，使得，連接，，易證，可得，，可證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，由勾股定理得出方程，解方程求出、，再由勾股定理求出即可．【解答】解：延長至點，使得，連接，，如圖所示：為斜邊的中點，，在和中，，，，，，，即，，設(shè)，，，，，，，，在中，，，即，解得：，，，，，，．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；證明是解題的關(guān)鍵．（2020秋?姑蘇區(qū)期末）如圖，在中，，，．翻折，使點落在斜邊上某一點處，折痕為（點、分別在邊、上）．（1）當(dāng)點與重合時，則2；（2）連接，當(dāng)時，求的長；（3）在（2）條件下，求證：．【分析】（1）由圖形的翻折知，，即可求解；（2）證明，同理可得：，故；（3）證明，得到是的中垂線，則，則，再證明，，即可求解．【解答】解：（1）由圖形的翻折知，，在中，，，則，故，故答案為2；（2）連接，由圖形的翻折知，，，，，而，，同理可得：，；（3）如圖2，延長取，連接，由（2）知，而，，，，，，故是的中垂線，，則，，，，在中，，而，．【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了圖形的翻折、直角三角形的中線定理、三角形全等、勾股定理的運用等，綜合性很強(qiáng)，難度較大．（2021春?羅湖區(qū)期末）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1：連，，求證：；（2）若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點，，恰好在同一條直線上時，如圖2所示，線段，與交點為，若，，求出線段的長；（3）若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點恰好落在邊上時，如圖3所示，與交點為，求證：．【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可．（2）分別求出，即可．（3）如圖2中，在上取一點，使得，連接，．證明，可得，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1中，，，，，．（2）如圖中，設(shè)交于，，，又，，，，，，，，，，，，，，，．（3）證明：如圖2中，在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，．解法二：連結(jié)，證明與全等，然后說明是直角，可得結(jié)論．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．如圖1，在中，，，為的中點，，分別為，上的點，且．（1）求證：；（2）如圖2，若，分別在、的延長線上，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，，，，再利用等角的余角相等得到，然后根據(jù)“”可判斷，則；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，，，，求出，然后根據(jù)“”可判斷，推出即可．【解答】證明：（1）如圖1，連接，是等腰直角三角形，為斜邊的中點，，，，，，，，，在和中，，，，在中，，，由勾股定理得：，即；（2）解：，理由是：如圖2，連接，是等腰直角三角形，為斜邊的中點，，，，，，，，，，在和中，，，，在中，，，由勾股定理得：，即．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能推出是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．（2020春?涪城區(qū)校級期