第三章一元二次方程枳溝初中本章知識結構方程的解法方程的解法實際問題一元二次方程應用直接開平方法因式分解法配方法公式法考點考法說明：課標對于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，會用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，以及用一元二次方程的知識解決實際問題。一元二次方程應用廣泛，在日常生活、科學技術、環境保護、經濟開展等領域均有涉及，解題關鍵是分析題中的等量關系，列方程解應用題以及方程與不等式、函數等結合的綜合性題目將是今后中考的趨勢。中考中對這章的考查形式多樣，注重對學生方程思想、轉化思想等思想方法的考查，對于學生分析問題和解決問題的能力要求也比擬高。【考點一】考查概念問題通常是考查一元二次方程的定義，此時要注意二次項系數不為0，在討論含字母系數的一元二次方程問題時，命題者常利用a≠0設計陷阱。例1．〔1〕方程(m+1)xm2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，那么m=．思路分析：首先根據一元二次方程的定義得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得m+1≠0來求m的值．解：m=3．〔2〕假設關于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常數項為0，那么m等于〔〕A．1B．2C．1或2D．0思路分析：首先得出m2-3m+2=0；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得m-1≠0來求m的值．解：m=2．【考點二】一元二次方程的解法要根據方程的特點，靈活選用具體方法。對于特殊的方程要通過適當的變換，使之轉化為常規的一元二次方程，如用換元法。例2．用適當的方法解一元二次方程(1)x2=3x(2)(x-1)2=3(3)x2-2x-99=0(4)2x2+5x-3=0思路分析：方程〔1〕選用因式分解法；方程〔2〕選用直接開平方法；方程〔3〕選用配方法；方程〔4〕選用公式法例3．假設(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,那么x2+y2=_________。思路分析：用換元法設x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1對所求結果，還要結合“x2+y2〞進行取舍，從而得到最后結果．解：x2+y2=5【考點三】一元二次方程的根的判別式可以用來：(1)不解方程，判斷根的情況；(2)利用方程有無實數根，確定取值范圍，解題時，務必分清“有實數根〞、“有兩個實數根〞，“有兩個相等實數根〞，“有兩個不相等實數根〞等關鍵性的字眼。例4.〔1〕一元二次方程x2-2x-1=0的根的情況為〔〕Ａ．有兩個相等的實數根Ｂ．有兩個不相等的實數根Ｃ．只有一個實數根Ｄ．沒有實數根思路分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=80解：B〔2〕假設關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩不相等的實數根，那么k的取值范圍是〔〕A．k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0思路分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+40得k-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得k≠0．解：B例5．關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根，求的值。思路分析：分式化簡，一元二次方程根的判別式解：∵ax2+bx+1=0(a≠0)有兩個相等的實數根，∴b2-4a=0．∵a≠0，∴【考點四】列方程解應用題雖然是傳統的題型，但一直是中考的熱點,近年來熱點又有新特點，注重考查了能力問題，外表文字比擬復雜,但認真閱讀，抓住實質，問題就迎刃而解了。例6.上海世博會的某紀念品原價168元，連續兩次降價a%后售價為128元,以下所列方程中正確的選項是〔〕A．168(1+a%)2=128B．168(1-a%)2=128C．168(1-2a%)=128D．168(1-a2%)=128思路分析：增長率問題，利用關系式：變化前數量×(1±x)2=變化后的數量。解：B例7.某商場將銷售本錢為30元的臺燈以40元的價格售出，平均每月銷售600個．市場調查說明：這種臺燈的售價每上漲1元，每月平均銷售數量將減少10個．假設銷售利潤率不得高于100％，那么銷售這種臺燈每月要獲利10000元，臺燈的售價應定為多少元？思路分析：如果這種臺燈售價上漲x元，那么每個臺燈獲利(40＋x－30)元，每月平均銷售數量為(600－10x)個，銷售利潤為(40＋x－30)和(600－10x)的積．用一元二次方程解決實際問題時，所求得的結果往往有兩個，而實際問題的答案常常是一個，這就需要我們仔細審題，看清題目的要求，進而作出正確的選擇。解：設這種臺燈的售價上漲x元，根據題意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．解得x1=10，x2=40．所以每個臺燈的售價應定為50元或80元．當臺燈售價定為80元時，銷售利潤率為不符合要求；當臺燈售價定為50元時，銷售利潤率為符合要求．答：每個臺燈售價應是50。一元二次方程復習課一、課前延伸〔一〕知識點梳理1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的解法〔1〕列舉解法：〔2〕解法比擬：3.根的判別式及與一元二次方程之間的關系：4.用一元二次方程解決問題(1)解決問題的思路：〔2〕列一元二次方程解決問題的步驟：〔二〕.畫出本章的知識樹二、課內探究〔一〕獨立思考，解決以下問題1.以下關于x的方程：其中是一元二次方程的有〔〕A.4個B.3個C.2個D.1個2.解以下方程：〔1〕2〔x-1)2=32〔開平方法與因式分解法〕〔2〕-3x2+4x=2〔配方法與公式法〕3.不解方程，判別方程3x2+2x-9=0根的情況.4.某超市10月份的利潤為25000元，要使12月份的利潤到達36000元，平均每月的增長率是多少？5.用7m長的鋁合金做成透光面積〔矩形ABCD的面積〕為2m2的“日〞型窗框〔AB>BC)，求窗框的寬度？〔鋁合金的寬度忽略不計〕〔二〕、合作討論，交流答案〔三〕、精講點撥〔四〕、有效訓練1.關于x的方程〔m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，那么m=.2.請用四種方法解方程：〔2x-3)2=x23.〔1〕關于x的一元二次方程x2-4x+2m=0無實數根，求m的取值范圍〔2〕關于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有實數根，求m的取值范圍.4.某產品的生產本錢為1000元，進過兩次改良技術后該產品的本錢為720元，假設第一次改良技術本錢降低的百分率是第二次的2倍，求第二次本錢降低的百分率？5.用7m長的鋁合金改做做成透光面積為2m2的如左圖所示形狀的窗框，假設窗框的寬〔BC〕的長為xm,求x的值.〔鋁合金的寬度忽略不計，π≈3〕三、課后提升1.某商場銷售一批襯衫，每件本錢為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價5元出售，其銷售量就減少100件.如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優惠，那么這種襯衫售價應定為多少元？2.如圖，A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達點B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動.經過多長時間P、Q之間的距離是10cm？一元二次方程檢測題一、選擇題：1．以下關于的方程中，一定是一元二次方程的為〔〕A．B．C．D．2．用配方法解方程時，正確的配方是〔〕A．B．C．D．3．根據以下表格的對應值：判斷關于的一元二次方程的一個解的范圍是〔〕A．B．C．D．4．假設分式的值為零，那么的值為〔〕A．B．或C．D．5．假設代數式的值大1，那么的值為〔〕A．B．C．D．或6．某服裝原價為元，連續兩次漲價℅后，售價為元，那么的值為〔〕A．B．C．D．7．直角三角形三邊長為三個連續偶數，它的面積為24，那么該直角三角形的邊長為〔〕A．B．C．D．8.某經濟開發區今年一月份工業產值達億元，第一季度總產值為億元．問二月、三月的產值的月平均增長率是多少？設二月、三月的產值月平均增長率為，根據題意，所列方程為〔〕A．B．C．D．9．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代數式的值的情況．他們作了如下分工：小明負責找值為時的值，小亮負責找值為時的值，小梅負責找最小值，小花負責找最大值．幾分鐘后，各自通報探究的結論，其中錯誤的選項是〔〕A．小明認為只有當時，的值為1；B．小亮認為找不到實數，使的值為；C．小梅發現的值隨的變化而變化，因此認為沒有最小值；D．小花發現當取大于的實數時，的值隨的增大而增大，因此認為沒有最大值．10．等腰三角形三邊長分別為，其中為底邊，假設關于的一元二次方程滿足，那么等腰三角形的一個底角是〔〕A．B．C．D．二、填空題：11．把方程化成一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿，它的二次項系數是＿＿＿，一次項是＿＿＿，常數項是＿＿＿.12．寫出關于的一元二次方程的求根公式.13．方程的解為＿＿＿＿＿＿＿.14．方程的解為＿＿＿＿＿＿＿.15．關于的一元二次方程+有一個根為，那么_____.16．實數滿足，那么代數式的值為.17．三角形兩邊的長是和，第三邊的長是方程的一個根，那么該三角形的面積是.18．如圖1，在一塊長、寬的矩形耕地上挖三條水渠〔水渠的寬都相等〕，水渠把耕地分成面積均為的6個矩形小塊，水渠應挖多寬?設水渠應挖寬，根據題意，可列方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.19．是一元二次方程的一個根，那么代數式的值是__________.20．在△ABC中，BC＝，AB＝，AB邊上的中線CD＝，且滿足，那么∠A的度數是°.三、解答題21．解以下方程〔1〕〔2〕〔3〕〔用配方法求解〕〔4〕22．某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，每天可售出100件．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經過市場調查，發現這種商品售價每降低1元，商場銷量平均每天可增加10件．〔1〕假設銷售單價降低元，那么銷售每件這種商品所獲得的利潤是元；這種商品每天的銷售量是件〔用含的代數式表示〕；〔2〕假設商場經營該商品一天要獲利潤2160元，那么每件商品應降價多少元？23．如圖，某劇組在東海拍攝廣泛風光片，拍攝基地位于A處，在其正南方向海里處有一小島B，在B的正東方向海里處有一小島C，小島D位于AC上，且距小島A海里．〔1〕求點D到BC的距離；〔2〕攝制組甲從A處乘甲船出發，沿A→B→C的方向勻速航行，攝制組乙從D處乘乙船出發，沿南偏西方向勻速直線航行，甲船的速度是乙船速度的2倍，假設兩船同時出發并且在B、C間的F處相遇，問相遇時乙船航行了多少海里？25．機械加工需用油進行潤滑以減小摩擦，某企業加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克．為了建設節約型社會，減少油耗，該企業的甲乙兩個車間都組織了人員為減少實際油耗量進行攻關．=1\*G