專題11解答壓軸題：二次函數綜合一．解答題（共42小題）1．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．（1）求該拋物線的表達式；（2）點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．2．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，且交軸于點，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的表達式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．3．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．4．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點為直線上方拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點關于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸經過點．點在新拋物線上，點在上，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．5．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過，．直線交軸于點，是直線下方拋物線上的一個動點．過點作，垂足為，軸，交于點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）當的周長取得最大值時，求點的坐標和周長的最大值；（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點．是新拋物線上一點，是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．6．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線為該拋物線的對稱軸，點與點關于直線對稱，點為直線下方拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值．（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移個單位，得到新的拋物線，點為點的對應點，點為的對稱軸上任意一點，在上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．7．（2023?沙坪壩區模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點，點的坐標為，拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，連接，過點作交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是線段下方拋物線上的一個動點，過點作軸交直線于點，過點作交直線于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在第（2）小問的條件下，將原拋物線沿著射線方向平移，平移后的拋物線過點，點在平移后拋物線的對稱軸上，點是平面內任意一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．8．（2023?九龍坡區校級模擬）如圖1，點為直線與拋物線在軸上的一個交點，點為直線上一點，拋物線與軸交于點．（1）求的面積；（2）點是直線上方的拋物線上一點，過作軸交直線于，作軸交直線于，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位得到新拋物線，平移后的拋物線與原拋物線交于點，點是新拋物線的對稱軸上一點．若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．9．（2023?沙坪壩區校級一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，點是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點作交對稱軸于點，在直線下方對稱軸右側的拋物線上有一動點，過點作軸交直線于點，過點作交于點，求最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿著軸正方向平移，使得新拋物線經過原點，點是新拋物線上一點，點是平面直角坐標系內一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形是以為對角線的菱形，若存在，求所有符合條件的點的坐標．10．（2023?沙坪壩區校級一模）如圖，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，拋物線的對稱軸與直線的交點為．（1）如圖1，求直線的表達式；（2）如圖1，點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值和此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線方向平移4個單位得到新拋物線，新拋物線與坐標軸軸交于點．點與點關于軸對稱，連接，將沿直線平移得到△．平移過程中，在直線上是否存在點，使得，，，為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標，并寫出求解其中一個點坐標的過程．11．（2023?九龍坡區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，與軸于點，連接，為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，過作于點，過作軸于點，交直線于點，求的最大值，以及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線方向平移，平移后的圖象經過點，點為的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限．在平面直角坐標系中確定點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，請寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．12．（2023?渝中區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、點（點在點的左側），與軸交于點，連接．（1）求線段的長度；（2）如圖1，點為直線上方拋物線上一動點，過點作交軸于點，連接交于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，點與點關于原拋物線對稱軸對稱，將原拋物線沿著射線方向平移個單位，得到新拋物線，為直線與軸的交點，為直線上一點，將直線繞著點逆時針旋轉得到直線，交新拋物線于點，點為平面直角坐標系內任意一點，直接寫出所有使得四邊形為菱形的點的橫坐標．13．（2023?沙坪壩區校級二模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點（點在點左側），與軸交于點．（1）求直線的解析式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿著射線方向平移得到新拋物線，且新拋物線經過線段的中點，新拋物線與軸交于點，點為新拋物線對稱軸上一點，點為坐標平面內一點，若以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．14．（2023?渝中區校級二模）如圖1，拋物線與軸交于和兩點（點在點左側），與軸交于點，連接，直線經過點、．（1）求直線的函數表達式；（2）點是位于直線上方拋物線上的一個動點，過點作于點，連接．求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線方向平移個單位得到新拋物線，與原拋物線相交于點，點是新拋物線對稱軸上的一個動點，點為平面內一點，若以、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．15．（2023?渝中區校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求的面積；（2）點是直線下方拋物線上一動點，過作于點，求線段的最大值及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，將沿直線平移得到△（不與重合），若以點，，為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．16．（2023?沙坪壩區校級模擬）如圖1，拋物線與軸相交于點、（點在點左側），與軸相交于點．（1）求點到直線的距離；（2）點是直線上方拋物線上一動點，過點作直線的垂線，垂足為點，過點作，平行軸交于點，求周長的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為直線上的一點，點是平面坐標系內一點，是否存在點，，使以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．17．（2023?兩江新區一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點為線段下方拋物線上的一動點，過點作軸交直線于點，為上一點，且，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線方向平移，得到新拋物線，新拋物線和原拋物線交于點，與軸交于點，點是新拋物線對稱軸上的一點，若是以為腰的等腰三角形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．18．（2023?沙坪壩區校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．（1）求線段的長度；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，且點在拋物線對稱軸左側，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點．求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿著射線方向平移個單位長度，得到一條新拋物線，為射線上的動點，過點作軸交新拋物線的對稱軸于點，點為直角坐標系內一點，請直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．19．（2023?渝中區校級一模）已知拋物線與軸交于、兩點點在點左側），與軸交于點，且，該拋物線的對稱軸為直線．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，為直線下方拋物線上一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）將該拋物線沿射線方向平移個單位，得到新的拋物線，為與軸的交點，為新拋物線對稱軸上一點，點平移后的對應點為，平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請寫出所有點的坐標，并寫出其中一種情況的過程；若不存在，請說明理由．20．（2023?九龍坡區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線相交于軸上的點，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側）．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，連接，點為直線、之間第二象限拋物線上的一動點，過點作軸交直線點，過點作交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，新拋物線與直線交于第一象限的點記為，線段在直線上運動，記運動中的點為，點為，當△是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的橫坐標．21．（2023?北碚區校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側）．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，點為線段上方的拋物線上任意一點，過點作軸于點，交于點．求的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位后得到新拋物線，為新拋物線的對稱軸上一動點，為平面直角坐標系內的任意一點，請直接寫出所有使以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出其中一個點的求解過程．22．（2023?沙坪壩區校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接、．（1）求的面積；（2）如圖1，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，過點作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，點為原拋物線的頂點，動點為新拋物線對稱軸上一點，當為等腰三角形時，請寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．23．（2023?九龍坡區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接、．（1）求的面積；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，過點作軸交直線點，求的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，點為新拋物線對稱軸上一動點，點為新拋物線上一動點，當以、、、為頂點的四邊形的對角線互相平分時，請直接寫出此時點的縱坐標．24．（2023?大渡口區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，連接交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向右平移3個單位，平移后點，的對應點分別為，，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．25．（2023?沙坪壩區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．（1）求線段的長度；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的垂線分別交，軸于點，，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，點是平移后的拋物線的對稱軸上的一點，平面直角坐標系內是否存在一點，使得以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．26．（2023?重慶模擬）如圖，拋物線與軸相交于點，點在的左側），與軸相交于點，連接，．（1）求的面積；（2）如圖，點是第一象限內拋物線上的動點，過點作軸，交直線于點，當有最大值時，求的最大值與點的坐標；（3）將拋物線向右平移2個單位得到新拋物線，點為原拋物線與新拋物線的交點，點是原拋物線對稱軸上一點，當是以為腰的等腰三角形時，直接寫出點的坐標．27．（2023?渝中區模擬）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求此拋物線的函數表達式；（2）若點是第三象限拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）若點在拋物線的對稱軸上，線段繞點順時針旋轉后，點的對應點恰好也落在此拋物線上，求點的坐標（如果有多個答案只需寫出其中一個答案的解答過程，其余答案直接寫出結果）．28．（2023?九龍坡區模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于，兩點（點在點左側），與軸交于點．（1）求的面積；（2）點為直線上方拋物線上的任意一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿著水平方向向右平移2個單位長度得到新的拋物線，點為原拋物線與平移后的拋物線的交點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一動點，點為坐標平面內的一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的求解過程寫出來．29．（2023?九龍坡區校級模擬）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，且點的坐標為．（1）求點的坐標；（2）如圖1，若點是第二象限內拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．30．（2023?沙坪壩區校級模擬）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）如圖1，連接，，若點是第二象限內拋物線上一點，過作軸，交于點，過作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，當取最大值時，將拋物線沿射線方向平移個單位，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，為軸右側新拋物線上一點，過作軸交射線于點，連接，當為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．31．（2023?沙坪壩區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，連接，．（1）求出的面積；（2）如圖，點是直線上方拋物線上一點，是線段上一點且滿足，求的最大值及此時點的坐標；（3）將該拋物線沿射線方向平移2個單位得到新的拋物線，為與軸的交點，為新拋物線對稱軸上一點，點平移后的對應點為，在平面內確定一點，使得以，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出其中一種情況的過程．32．（2023?大渡口區模擬）如圖，直線與反比例函數的圖象相交于點，與軸交于點．（1）求和的值．（2）若點與點關于直線對稱，連接．①求點的坐標；②若點在反比例函數的圖象上，點在軸上，以點，，，為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出點的坐標；若不能，請說明理由．33．（2023?九龍坡區模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知，直線的解析式為．（1）求拋物線的解析式；（2）在線段上有一動點，過點作交拋物線于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值以及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿軸向下平移5個單位長度得到新拋物線，平移后的拋物線與坐標軸的交點分別為、、，在平面內找一點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點的坐標．34．（2023?潼南區二模）拋物線交軸于、兩點，交軸于點．直線交軸于點，交拋物線于、兩點．（1）如圖1，求，，的值；（2）如圖2，為直線上方拋物線上一動點，軸交軸于點，交于點；過點平行軸的直線交于點，求線段的最大值及此時對應點的坐標；（3）如圖3，將拋物線沿線平移一定的距離得新拋物線，使得拋物線過點，為新拋物線的頂點．點為拋物線上的一動點，點、為直線上的兩個動點，當以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并選一個點坐標，寫出推理過程．35．（2023?銅梁區模擬）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，（1）求拋物線的函數表達式；（2）如圖1，是線段上方拋物線上一動點，過作交于，交于，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線向左平移4個單位長度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，為直線上一動點，是坐標平面上一點，為（2）中取最大值時的點，當以，，，為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．36．（2023?潼南區一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點為直線上方拋物線上的一點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值以及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線的方向平移，使得平移后的拋物線經過線段的中點，且平移后拋物線的對稱軸與軸交于點．，是直線上任意兩點，為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形的點的橫坐標．37．（2023?重慶模擬）如圖1，拋物線與軸交于，．兩點（點在點的左邊），與軸交于點，直線經過點，．（1）求直線的解析式；（2）點為直線上方拋物線上的一個動點，過點作于點，過點作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）問取得最大值的情況下，將該拋物線沿射線方向平移個單位后得到新拋物線，點為新拋物線對稱軸上一點，在新拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．38．（2023?江津區二模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點，，與軸的另一個交點為．（1）求的面積；（2）點是直線下方拋物線上一動點，求四邊形面積最大時點的坐標；（3）在拋物線上是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．39．（2023?萬州區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點（點在的右側），與軸交于點，若．（1）求、的值；（2）如圖1，若點是點下方軸上一動點，過作交直