考點08函數(shù)與方程1.【2023全國乙卷】函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個零點，則a的取值范圍是．(

)A.(?∞,?2) B.(?∞,?3) C.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及單調(diào)性與極值，屬于中檔題．根據(jù)函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個零點，得出函數(shù)f(x)的極大值必大于0，極小值小于0，令f【解答】解：由已知，f’∵函數(shù)f(x)=x3+ax+2∴令f’(x)=3x2+a=0，則必有x

?∞,??

f+

0

?

0

+

f(x)↑

極大值↓

極小值↑

∴f(x)f(x)解得：a<?故選：B．2.【2020天津】已知函數(shù)f(x)=x3,x≥0,?x,x<0.若函數(shù)g(x)=f(x)?|kx2?2x|(k∈R)恰有A.(?∞,?12)∪(22,+∞) B.(?∞,?【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的零點，參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵利用分類討論思想，分析函數(shù)的交點，屬于拔高題．

問題轉(zhuǎn)化為f(x)=|kx2?2x|有四個根，?y=f(x)與y=?(x)=|kx2?2x|有四個交點，再分三種情況當k=0時，當k<0時，當【解答】

解：若函數(shù)g(x)=f(x)?|kx2?2x|(k∈R)恰有4個零點，

則f(x)=|kx2?2x|有四個根，

即y=f(x)與y=?(x)=|kx2?2x|有四個交點，

當k=0時，y=f(x)與y=|?2x|=2|x|圖象如下：

兩圖象有2個交點，不符合題意，

當k<0時，y=|kx2?2x|與x軸交于兩點x1=0，x2=2k(x2<x1)

圖象如圖所示，

兩圖象有4個交點，符合題意，

當k>0時，

y=|kx2?2x|與x軸交于兩點x1=0，x2=2k(x2>x1)

在[0,2k)內(nèi)兩函數(shù)圖象有兩個交點，所以若有四個交點，

只需y=x3與y=kx2?2x3.【2023天津】若函數(shù)fx=ax2?2x?x2【答案】?∞,0∪【解析】【分析】本題是含參數(shù)的函數(shù)零點問題，主要是分類討論思想的考查，屬綜合題．

根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷a的取值范圍．

本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根(或零點)的個數(shù)，從而解出．【解答】

解：(1)當x2?ax+1≥0時，即a?1x?1若a=1時，x=?1，此時x2若a≠1時，x=1a?1或若方程有一根為x=?1，則1+a+1≥0，即a≥?2且a≠1；若方程有一根為x=1a?1，則1a?12?a×若x=1a?1=?1時，a=0(2)當x2?ax+1<0時，即a+1x?1若a=?1時，x=1，顯然x2若a≠?1時，x=1或x=1若方程有一根為x=1，則1?a+1<0，即a>2；若方程有一根為x=1a+1，則1a+1若x=1a+1=1時，a=0綜上，當a<?2時，零點為1a+1，1當?2≤a<0時，零點為1a?1，?1當a=0時，只有一個零點?1；當0<a<1時，零點為1a?1，?1當a=1時，只有一個零點?1；當1<a≤2時，零點為1a?1，?1當a>2時，零點為1,?1．所以，當函數(shù)有兩個零點時，a≠0且a≠1．故答案為：?∞,0∪4.【2022天津】設(shè)a∈R，對任意實數(shù)x，記f(x)=min{|x|?2,x2?ax+3a?5}.若f(x)至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為

【答案】[10,+∞)

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的零點、方程的根的個數(shù)，屬于較難題．

設(shè)g(x)=x2?ax+3a?5，?(x)=|x|?2，分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零點，可得出Δ≥0，求出a的取值范圍，然后對實數(shù)a的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)a【解答】

解：設(shè)g(x)=x2?ax+3a?5，?(x)=|x|?2，

∵當|x|?2=0時，x=±2，

又∵函數(shù)f(x)至少有3個零點，則函數(shù)g(x)至少有一個零點，

∴Δ=a2?4(3a?5)≥0，

解得a≤2或a≥10，

①當a=2時，g(x)=x2?2x+1，作出函數(shù)g(x)、?(x)的圖象如下圖所示：

此時函數(shù)f(x)只有兩個零點，不符合題意，故舍，

②當a<2時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為x1、x2(x1<x2)，

要使得函數(shù)f(x)至少有3個零點，則x2≤?2，

所以a2<?2g(?2)=5a?1≥0，無解，故舍去，

③當a=10時，g(x)=x2?10x+25，作出函數(shù)g(x)、?(x)的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3，符合題意，

④當a>10時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為x3、x4(5.【2021北京】已知f(x)=|lgx|?kx?2，給出下列四個結(jié)論：

(1)若k=0，則f(x)有兩個零點；

(2)?k<0，使得f(x)有一個零點；

(3)?k<0，使得f(x)有三個零點；

(4)?k>0，使得f(x)有三個零點；

以上正確結(jié)論的序號是

．【答案】(1)(2)(4)

【分析】本題考查了已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題,屬于中檔題.

由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【解答】解:對于①，當時，由，可得或，①正確；

對于②，考查直線與曲線相切于點，

對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，

所以，存在，使得只有一個零點，②正確；

對于③，當直線過點時，，解得，

所以，當時，直線與曲線有兩個交點，

若函數(shù)有三個零點