2022北京平谷中學初二（下）期中

數學

一、選擇題（共10小題，滿分30分）

1.下列是最簡二次根式的為（）

A.岳B.扃(a>0)C.冊■1

2.下列運算正確是（）

A.V2+V3=V5B.3近-近=3

C.6x6，=底D.#+2=6

3.已知口ABCD的周長為24,AB=4,則BC的長為（）

A.6B.8C.10D.12

4.若四邊形兩條對角線相等，則順次連接其各邊中點得到的四邊形是（)

A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形

5.幾可■的化簡結果為（）

A.3B.-3C.±3D.9

6.下列命題中，正確個數是（）

①若三條線段的比為1:1:0,則它們組成一個等腰三角形；

②兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；

③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；

④兩個鄰角相等的平行四邊形是矩形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=4,的平分線與8c的延長線交于點E,與。C交于點凡且

點F為邊OC的中點，DG1AE,垂足為G,若0G=1,則AE的邊長為（）

A.2&B.4石C.4D.8

8.若菱形的兩條對角線長分別是6和8,則它的周長為（）

A.20B.24C.40D.48

9.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和8為圓心，大于的長為

半徑畫弧，兩弧相交于c、D,則直線8即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形AOBC一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

10.如圖，正方形ABC。中，A8=12,點E在邊BC上，BE=EC,將AOCE沿QE對折至△￡>￡￡,延長EF

交邊于點G,連接￡>G、BF,給出以下結論：①△D4G絲△OFG；②BG=24G；③SA°GF=48；@S^BEF

=孑72.其中所有正確結論的個數是（）

二、填空題（每小題3分，總共18分）

11.式子百善在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

12.甲、乙兩個樣本，甲方差為0.102,乙的方差為0.06,哪個樣本的數據波動大？答：.

13.在四邊形ABCQ中，AC±BD,A8=AO,要使四邊形ABC。菱形，只需添加一個條件，這個條件可

以是（只要填寫一種情況）.

15.如圖所示，OE為AABC的中位線，點F在OE上，且/AFB=90。，若A8=6,BC=10,則EF的長為

16.如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為BC上的一點，BE=l,尸為A8上的一點，4尸=2,P為AC上的

一個動點，則PF+PE的最小值為

三、解答題(共72分)

17.(1)2V12+V27-3V48;

(2)(6一后一一偽(6+偽.

18.已知°=仃-2，8=2+6,求+的值.

19.如圖，四邊形A3CC是菱形，對角線AC與8。相交于。，AB=5,A0=4,求8。的長.

20.如圖：四邊形ABCZ)是菱形，對角線AC與B。相交于。，菱形ABCO的周長是20,80=6.

(1)求AC的長；

(2)求菱形A8CD的高。石的長.

21.把一張長方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和點。重合，折痕為EF.若AB=4，BC=8,

(1)求。尸的長；

(2)求重疊部分的面積.

22.如圖，已知以MBC的三邊為邊，在BC的同側分別作等邊三角形AB。、BCE和ACE

E

(1)求證：四邊形AOEF是平行四邊形；

(2)AABC滿足什么條件時，四邊形AOEF是菱形？是矩形？并說明理由；

(3)這樣的平行四邊形即是否總是存在？請說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OA8C的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，點8(4，b)

在第一象限，且“、人滿足標+2〃-24812人+36=0,AP平分NC4B交OB于P,

(1)求點B的坐標；

(2)求N。%的度數及OP的長；

(3)點尸不動，將正方形OABC繞點。逆時針旋轉至圖2的位置，ZCOP=60°,AP交08于點凡連接

CF,求證：OF+CF=PF

參考答案

一、選擇題(共10小題，滿分30分)

1.【答案】A

【解析】

【分析】根據最簡二次根式的定義可直接進行求解.

【詳解】解：A.G最簡二次根式，故A符合題意；

B.歷扃，不是最簡二次根式，故B不符合題意；

C.血=2及，不是最簡二次根式，故C不符合題意；

D$=S不是最簡二次根式，故D不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式滿足的條件：一是被開方數不能含有開得盡

方的因數或因式，二是被開方數不能含有分母.

2.【答案】C

【解析】

【分析】根據合并同類二次根式的法則和二次根式的乘法、除法法則即可的出答案.

【詳解】解：A選項中，血與相不是同類二次根式，不能合并，故A選項不正確，不符合題意；

B選項中，30-0=2血，故B選項不正確，不符合題意；

C選項中，&X0=個3義2=瓜，故C選項正確，符合題意；

D選項中，6+2=邁，故D選項不正確，不符合題意；

2

故選C.

【點睛】本題考查合并同類二次根式、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟練掌握相應運算法則是解題

的關鍵.

3.【答案】B

【解析】

【分析】根據平行四邊形的性質得A8=CQ,AD^BC,根據2(AB+BC)=24即可求解.

【詳解】解：???四邊形A8CD是平行四邊形

：.AB=CD,AD=BC

?.?平行四邊形ABCD的周長是24

：.1(AB+BC)=24

，BC=8

故正確答案為：B

【點睛】此題主要考查平行四邊形的性質，利用平行四邊形的兩組對邊分別相等是解題的關鍵.

4.【答案】A

【解析】

【分析】根據順次連接四邊形各邊中點，所得的圖形是平行四邊形；順次連接對角線相等的四邊形的各邊

中點，所得的圖形是菱形；順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得的圖形是矩形；順次連接

對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點，所得的圖形是正方形；即可選出答案.

【詳解】解：如圖，AC=BD,E、F、G、〃分別是線段4?、BC、CD、力〃的中點，

則以AG分別是△/1劭、ZXH力的中位線，EF、僅7分別是△/"、a1的中位線，

根據三角形的中位線的性質知，EH=FG=\BD,EF=HG=\-AC,

22

'：AC=BD,

:.EH=FG=FG=EF,

四邊形EFGH是菱形.

故選：A.

【點睛】本題主要考查中點四邊形、三角形中位線定理、菱形的判定，牢記中點四邊形的結論，會應用三

角形中位線定理對中點四邊形進行推導是解題的關鍵.

5.【答案】A

【解析】

【分析】根據二次根式性質行=同直接求解即可.

【詳解】解：J(-3)2=卜3|=3,

故選：A.

【點睛】本題主要考查二次根式的性質化簡，涉及到絕對值運算，熟練掌握相關性質及運算法則是解決問

題的關鍵.

6.【答案】D

【解析】

【分析】利用等腰三角形的判定及矩形的判定方法分別判斷后即可確定答案.

【詳解】解：①根據三條線段的比為1：1：、后，則可得到該三角形的兩邊相等，所以它們組成一個等腰

三角形，正確；

②兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，正確;

③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確；

④兩個鄰角相等的平行四邊形是矩形，正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及矩形的判定方法，屬于基礎題，比較簡單.

7.【答案】B

【解析】

【分析】由AE為角平分線，得到NQAE=NBAE,由ABC。為平行四邊形，得到OC//AB,推出AO=OF,

由尸為0c中點，AB=CD,求出A。與。尸的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出A尸的長，再由

△ADF絲△ECF(4AS),得出AF=E尸，即可求出AE的長.

【詳解】解：；AE為/D48的平分線，

NDAE=NBAE,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

:.DC/IAB,

；.NBAE=NDFA,

：.ZDAE^ZDFA,

.'.ZDAE=ZDFA,

：.AD=FD,

又尸為0c的中點，

：.DF=CF,

：.AD=DF=：DC=；AB=2,

在R/AAOG中，DG=\,

AG二7AD2-DG2=6，

,：DGLAE,

...AF=2AG=2G，

：四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZDAF=ZE,ZADF=ZECF,

NDAF=NE

在^ADF和4ECF中，＜NADF=NECF,

DF=CF

：.AADF^AECFCAAS),

：.AF=EF,

則AE=2AF=4G.

故選：B.

8.【答案】A

【解析】

【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分的性質，利用對角線的一半，根據勾股定理求出菱形的邊長，再根

據菱形的四條邊相等求出周長即可.

【詳解】解：如圖所示，

根據題意得AO=gx8=4,BO=gx6=3,

?.?四邊形ABC。是菱形，

:.AB=BC=CD=DA,ACVBD,

...△AOB是直角三角形，

二A8=^AO2+BO-=J16+9=5，

，此菱形的周長為：5x4=20.

故選A.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，利用勾股定理求出菱形的邊長是解題的關鍵，同學們也要熟練掌握

菱形的性質：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

9.【答案】B

【解析】

【詳解】解：；分別以A和8為圓心，大于aAB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D,

：.AC=AD=BD=BC,

，四邊形A。8c一定是菱形，

故選：B.

10.【答案】B

【解析】

【分析】①根據正方形的性質和折疊的性質可得NA=/GF￡>=90。，于是根據“HL”判定

RmADG沿RmFDG；②再由G尸+GB=GA+GB=12,EB=EF,ABGE為直角三角形,可通過勾股定理列方

程求出AG=4,BG=8,即可判斷；③根據①即可求出三角形。GF的面積；④結合①可得AG=GF,根據

等高的兩個三角形的面積的比等于底與底的比即可求出三角形8EF的面積.

【詳解】解：①??,四邊形ABCD是正方形，

：.AD=DC,/C=/A=90。，

由折疊可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

：.ZDFG^180°-ZDF￡=90°,

尸G=NA=90°,

在Rt^ADG和Rt^FDG中,

AD=DF

DG=DG'

:.RmADGmRMDG(HL),

故①正確；

②..?正方形邊長是12,

BE=EC=EF=6,

設AG—FG—x,則EG—x+6,BG=12-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(X+6)2=62+(12-%)2,

解得：x=4,

：.AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,

故②正確；

③?：Rt/XADGmRt叢FDG,

SADGF-SAADG=gXAG*AD=gx4x12=24,

故③錯誤；

?VSAGBE=yBE?BG=gx6x8=24,

VGF=AG=4,EF=BE=6,

?S&BFG.G尸二2

??S^BFFEF3'

3372

X

SABEF=g24=—>

故④正確.

綜上可知正確的結論的是3個，

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，折疊的性質等知識，靈活運用

性質解決問題是本題的關鍵.

二、填空題(每小題3分，總共18分)

11.【答案】忘-3

【解析】

【分析】根據二次根式有意義的條件，根號內的式子必需大于等于0,即可求出答案.

【詳解】解：式子有彳在實數范圍內有意義，則3+xX),

解得：x>-3.

故答案為：x>-3.

【點睛】本題主要考查了二次根式有意義，熟練其要求是解決本題的關鍵.

12.【答案】甲的波動比乙的波動大.

【解析】

【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩定，故可得到正確答案.

【詳解】解：根據方差的意義，甲樣本的方差大于乙樣本的方差，故甲的波動比乙的波動大.

故答案：甲的波動比乙的波動大.

【點睛】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均

數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越

小，即波動越小，數據越穩定.

13.【答案】AB//CD（本題答案不唯一）

【解析】

【分析】首先根據條件可得NAOD=NAOB=90°,再證明心△ABOWRSADO,從而得至ljBO=DO,再證

明△ABO會口△CDO,進而得至UAB=CD,再加上條件AB〃CD可得到四邊形ABCD是平行四邊形，又有

AB=AD可證出四邊形ABCD是菱形.

【詳解】VAC±BD,.,.ZAOD=ZAOB=90°,

在RIAABO和RtAADO中AO=AO,AB=AD,.*.RtAABO^RtAADO,；.BO=DO,

；AB〃CD,，/ABO=NCDO,

在△ABO和RtZkCDO中ZAOB=ZDOC,ZCDO=ZABO,BO=DO,

.?.△ABO彩RtACDO,，AB=CD,四邊形ABCD是平行四邊形，

又AB=AD,四邊形ABCD是菱形.

【點睛】此題主要考查了菱形的判定，屬于基礎題型.解決問題的關鍵是證明AB=CD,從而得到四邊形

ABCD是平行四邊形.

14.【答案】V2

【解析】

【分析】根據二次根式的乘法法則和減法法則進行計算即可.

詳解】解：0

^^24X1-4X

=V8-4x—

4

=26-6

V2，

故答案為：血.

【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵.

15.【答案】2

【解析】

【分析】由三角形中位線定理可得OE的長，再由直角三角形斜邊上中線的性質可得。F的長，則可得EF

的長.

【詳解】解：為^ABC的中位線，

:.DE=gBC=5,

VZAFB=90°,。是AB中點，

：.DF=^AB=3,

：.EF=DE-DF=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理與直角三角形斜邊上中線的性質，掌握這兩個知識點是本題的關鍵

所在.

16.【答案】V17

【解析】

【分析】作點/關于AC對稱點尸根據正方形A8CO是軸對稱圖形，AC是一條對稱軸，可得點尸關于AC

的對稱點在線段A。上，連結EF,P為AC上的一個動點，PF=PF',則PF+PE=PF*P拒EF,PF+PE^J

最小值為E9的長即可.

【詳解】解：作點F關于4c對稱點尸，

正方形ABCD是軸對稱圖形，AC是一條對稱軸，

...點尸關于AC的對稱點在線段AO上，連結EF,

為AC上的一個動點，

：.PF=PF'

貝ljPF+PE=PF'+PE>EF',

PF+PE的最小值為E尸的長，

VAB=4,AF=2,

.\AF'=AF=2,

【點睛】本題考查正方形性質，軸對稱性質，兩點之間線段最短，掌握正方形性質，軸對稱性質，兩點之

間線段最短是解題關鍵.

三、解答題(共72分)

17.【答案】(1)-573；(2)4-2底

【解析】

【分析】(1)先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式計算.

【詳解】解：(1)2X/12+V27-3A/48

=2X2^+3/-3X4G

=473+373-1273

——5A/3

(2)(6-揚2一(百一物(百+揚

=(3-2A/6+2)-(3-2)

=3-2指+2-3+2

=4-2娓

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即

可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往

往能事半功倍.

18.【答案】ab(a+h).-273

【解析】

【分析】先將代數式因式分解，進行二次根式的混合運算計算。仇。+人的值，再代入求解即可.

【詳解】a2b+ab2

=ab(a+b)

a=\/~3-2?h=2+V3

0人=(百+2)(石一2)=—1

。+6=舁2+2+班=26

原式=-1x=-2\/^.

【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，二次根式的混合運算，先用提公因式法因式分解是解題的關

鍵.

19.【答案】BO長為6

【解析】

【分析】根據菱形的性質得出ACLB。，DO=BO,然后根據放AAOB的勾股定理求出80的長度，然后根

據BD=28O求出答案.

【詳解】?.?四邊形488是菱形，對角線AC與8。相交于0,

：.ACA.BD,DO=BO,

"：AB=5,A0=4,

.?.80=:52.42=3,

:.BD=2BO=2x3=6.

【點睛】此題考查了菱形的性質，解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質.

24

20.【答案】（1）8；（2）y

【解析】

【分析】（1）先根據菱形的性質求得。C、的長，再根據勾股定理即可求得結果；

（2）根據菱形的兩種面積公式利用等面積法列式求解即可.

【詳解】解：（1）：四邊形ABCD是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,ACVBD,B0=0B,A0=0C,

???菱形的周長是20,

：.DC=5.

,:BD=6,

：.OD=3,

在RQOOC中，OC=NDC°-OD^=4,

，AC=2OC=8；

（2）S^ABD=ABDE=-BDAC,

2

.-.5DE=-x6x8,

2

解得。E=g.

【點睛】本題考查了菱形的性質，以及勾股定理等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的對角線互相垂

直平分，四條動相等；同時熟記菱形的面積有兩種求法：（1）底乘以相應底上的高；（2）對角線乘積的一

半.

21.【答案】（1）5；（2）10.

【解析】

【分析】（1）根據折疊的性質知：BF=DF,設DF=x,用x表示出FC,在Rt^DCF中，利用勾股定理可求

得DF的長；

（2）作FHLAD于點H,求得FH,由折疊的性質和平行線的性質證得NEFD=/DEF,得出DE=DF,進一

步利用三角形的面積計算公式即可求解.

【詳解】解：（1）設DF=x,由折疊可知BF=DF=x,

，FC=BC-BF=8-x,

.四邊形ABCD為長方形，

，DC=AB=4,ZC=90°,

在RtaDCF中，DF2=DC2+FC2,

.\x2=42+(8-x)2,解得x=5,

，DF=5；

(2)作FH_LAD于點H,則FH=AB=4,

由折疊可知，ZEFB=ZEFD,

：AD〃BC,.?.NDEF=NEFB,/.ZEFD=ZDEF,

/.ED=DF=5,

，SADEF=；ED-FH=；X5X4=10.

【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質，勾股定理的運用，長方形的性質，三角形的面積，掌握折疊的

性質得出對應的線段和角相等是解決問題的關鍵.

22.【答案】(1)證明見解析；

(2)當A8=AC時，四邊形AOEF是菱形，當/BAC=150。時，四邊形AOEF是矩形.理由見解析；

(3)不總是存在，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據等邊三角形性質得出AC=A凡AB=BD,BC=BE,ZEBC=ZABD=60°,求出

NDBE=NABC,根據SAS推出AOBE絲△ABC,根據全等得出OE=AC,求出。E=A尸，同理

根據平行四邊形的判定推出即可；

(2)當A8=AC時，四邊形AOEF是菱形，根據菱形的判定推出即可；當N8AC=150。時，四邊形AOEF

是矩形，求出ND4F=90。，根據矩形的判定推出即可；

(3)這樣的平行四邊形AOE尸不總是存在，當N84C=60。時，此時四邊形49EF就不存在.

【小問1詳解】

證明：-：/\ABD.MCE和Mb是等邊三角形，

：.AC=AF,AB=BD,BC=BE,ZEBC=ZABD=60°,

：.ZDBE=ZABC=6Q°-ZEBA,

在AOBE和8c中

BD=BA

NDBE=ZABC,

BE=BC

：./\DBE^/\ABC(SAS),

：.DE=AC,

\'AC=AF,

：.DE=AF,

同理

二四邊形AOEr是平行四邊形；

【小問2詳解】

解：當AB=AC時，四邊形AOEP是菱形，

理由是：和"FC是等邊三角形，

：.AB=AD,AC=AF,

'：AB=AC,

：.AD=AF,

?.?四邊形AOE尸是平行四邊形，

四邊形AOE尸是菱形；

當/2AC=150。時，四邊形ADEF是矩形，

理由是：..?△AB。和0b是等邊三角形，

：.ZDAB^ZFAC=60°,

VZBAC=150°,

二NDAF=90。,

?；四邊形AOE尸是平行四邊形，

，四邊形AOE/是矩形；

【小問3詳解】

解：這樣的平行四邊形AOEF不總是存在，

理由是：當/B4C=60。時，ND4F=180。，

此時點。、A、尸在同一條直線上，此時四邊形AOEF就不存在.

【點睛】本題考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四邊形的判定，等邊三角形的性質，全等三角形的性

質和判定的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

23.【答案】(1)(6,6)

(2)ZOPA=67.5°；OP=6

(3)見解析

【解析】

【分析】(1)將等式＞+2招36126+36=0進行變形,利用偶數次方的非負性,求出。、b的值即可;

（2）根據正方形的性質，得出NQ4C=NCAB=NAO5=45。，根據AP平分/C48,得出

ZCAP=ZBAP=-ZCAB=22.5°,根據三角形內角和算出NO/X=67.5。；根據點8的坐標為（6,

2

6）得出0A=0C=BC=AB=6,根據ZO