2022?2023學年江西省南昌市新建區高一數學（下）月考試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.計算si7i48%osl8。—cos48Ocos72。的結果等于（）

口

A.21BR-VC.—D.小

22

2.下列命題中正確的是（）

A.單位向量都相等B.相等向量一定是共線向量

C.若五〃瓦石〃3則五〃不D.任意向量的模都是正數

3.已知tma另，則"空產=（）

2sina+3cosa

4.已知sin(a=-,則sin(2a+.)=()

5.函數y=e因sin|%|在區間［一2幾,2兀］上的圖象大致是（）

6.函數y=lg(2sinx+1)的定義域為.()

A.{%|fc7r+^<x<fczr+fcezj

B.{%|fc7r+看VxVZTT+R,k6zj

C.{%|2/CTT+.V%V2/CTT+￡z}

D.{x^2kn—^<%<2/CTT+￡,kGzj

7.已知函數f(x)=2cos2(sx—")一*3>0)在［0,河上恰有7個零點，則3的取值范圍是

()

A.舄,今Bd片］C.碧凈D.點片)

8.如圖是古希臘數學家波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，直徑分別為直角

三角形4BC的斜邊48、直角邊BC、AC,N為4c的中點，點。在以AC為直徑的半圓上，已知

以直角邊AC,BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3,sin^DAB=|,則cos/DNC的值為()

A24口+7B24y-7c7C+24口7/3-24

?-50~-50~-50~-50~

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列各式中，值為1的是()

A.4cos215。—2B.4sinl50sin75°

口l+tanl50

C.V^(cosl5°—s譏15°)

*IT即15°

10.下列各式中能化簡為而的有()

A.而+而-麗B.(AD+麗)+(BC+CM)

C.(AB+~CD)+BCD.OC-OA+CD

11.已知函數f(x)=sin(2x+拳)+2COS2X,neZ,則下列說法正確的是()

A.當n=l時，f(x)圖象的一個對稱中心為(1,1)

B.當n為奇數時，f(x)的最小正周期是九

C.當n為偶數時，/(x)max=1+42

D.當n為偶數時，f(x)在d)上單調遞減

OO

12.已知函數/'(%)=(sinx+cosx){sinx-|cosx|),說法正確的是()

A./(x)在區間[—2兀,一|用上單調遞增

B.方程f(x)=0在工￡[-2兀,27rl的解為%1，X2，…，xnf且％1+%2+…+工九="

C.f(%)的對稱軸是％=3+kn(k6Z)

D.若f(%i)-/(%2)=3,則%1—%2=2kn(kGZ)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13./(%)=tanx+sinx+1,若/(b)=2,貝行(一b)=.

14.+J線的最小值為______-

sinxcos"

15.求值：sin200+sin40°+sm60°—sinQ00=.

16.已知函數A%)=｛：：；；：；:秘：!eQ,+8)，若存在非零實數k滿足f9)=/3)=

/(c)=/(d)=k(a,b,c,d互不相等)，則a+b+c+d的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

計算下列兩個小題

(1)計算sin等-cos岑+tan(一殍)；

(2)己知角a終邊上有一點P(_。,?)，求小學拿誓誓的值.

22tan(7r+a)sm(7r+a)

18.(本小題12.0分)

已知tan(a-/?)==一；,且a€(0,[),夕E(日兀).

(1)求tana的值;

(2)求2a—0的值.

19.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=2'J~3sinxcosx—2cos2x+1.

(1)求函數f(x)的最小正周期及單調遞增區間；

(2)求函數f(x)在區間[一招幣的值域.

20.(本小題12.0分)

函數/(x-f)=Asin^x+<p)(A>0,a)>0,\<p\<"的部分圖象如圖所示.

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)若函數g(x)=2/(|x)-a在區間V，段］上恰有3個零點，求a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

設函數/(X)=cos(2cox+0)((0>0,0<0<7T),將函數/(x)的圖象向左平移工單位長度后得

到函數g(x)的圖象，已知g(x)的最小正周期為兀，且g(x)為奇函數.

(1)求/'(x)的解析式；

(2)令函數/i(x)=2g(x)+3cos22久+m-3對任意實數x6［-3,|兀］,恒有八(x)N0,求實數

m的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,且/(；)=13-9>J~2.

(1)求a的值，并求出y=/(x)的最小正周期(不需要說明理由)；

(2)若xG［0,"，求y=f(x)的值域；

⑶是否存在正整數n,使得y=/(x)在區間［0,麗］內恰有2025個零點，若存在，求由的值;

若不存在，說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：sin48°cosl80-cos48°cos72°

=sin48°cosl8°—cos48°cos(90°-18°)

=sin48°cosl80—cos480sinl8°

=sin(48°-18°)

=sin30°

_1

=2'

故選:A.

利用誘導公式，兩角差的正弦公式化簡，進而利用特殊角的三角函數值即可求解.

本題考查了誘導公式，兩角差的正弦公式以及特殊角的三角函數值在三角函數化簡求值中的應用,

屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：對于4單位向量的模長相等，方向不一定相同，故A錯誤；

對于B,相等向量一定是共線向量，故8正確；

對于C,若石=6，a//b,b//c＜而行與下不一定平行，故C錯誤；

對于。，零向量的模長是0,故。錯誤.

故選：B.

根據單位向量，共線向量及向量的基本概念逐項分析即得.

本題考查平面向量的相關概念，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：因為tana=g,

2sina-cosa2tana-11-1八

SPhl---------=--------=-；——=0

7719sina+3cosQtana+3I4.3,

故選：B.

變換迎詈吧=咨式，代入計算得到答案.

sina+3cosatana+3

本題主要考查了同角基本關系的應用，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解:sin(2(z+看)=cos[^—(2a+^)]—cos(2ct—今=1-2sin2(ct—^)=1—2x(；)?—

故選：C.

由誘導公式和余弦的二倍角公式求解.

本題主要考查三角函數的誘導公式，以及余弦的二倍角公式，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：根據題意,設f(x)=elMsin|H，其定義域為R,

則/(-x)=e|x|sin|x|=e|z|sin|x|=/(x),則函數/(x)為偶函數，排除ZC,

在區間(兀,2乃)時，sin|x|<0,則/(x)<0,排除D.

故選：B.

根據題意，先分析函數的奇偶性，排除4C,再分析區間6,2兀)上，/(久)的符號，排除D,即可得

答案.

本題考查函數的圖象，涉及函數奇偶性和函數值符號的分析，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：由2sinx+1>0,得sinx>-1,

即2/OT—B(尤<2/OT+?,keZ,

o6

二函數y=lg(2sinx+1)的定義域為｛X|2/OT-^<x<2kn+?,keZ].

故選：D.

由對數式的真數大于0,然后求解三角不等式得答案.

本題考查函數的定義域及其求法，考查三角不等式的解法，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：函數/'(X)=2COS2(3X-￡)-g

__cos(23x-')+l1

—cos(2tt>x——)4-

因為％G[0,n],

則一￡42COX-^<2COTT

boo

令丫=COS(2OJ久一Jy=-1,

因為函數f(x)在[0,兀]上恰有7個零點，

即函數y=cos(23X—看)與y=—2的圖象有7個交點,

所以孚W23X-‘〈竽，

5o5

所以3的取值范圍是舄,今

故選：A.

先利用二倍角公式化簡函數f（%）的解析式，由工的范圍求出23%一2的范圍，構造函數7=

C0S（23X-6,y=-l,將問題轉化為兩個函數的圖象有7個交點，由此列式求解即可.

本題考查了函數的零點與方程的根的綜合應用，解決函數零點或方程根的問題，常用的方法有：（1）

方程法（直接解方程得到函數的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數的圖象分析得解）；（3）方程+圖象

法（令函數為零，再重新構造兩個函數，數形結合分析得解）.屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：兩個半圓的面積之比為3,則半徑之比為q,

即tan。4c=孕,4BACE（0片），

故sin^DAB=^DAB&（0,^）,

故COSNDAB=V1—sin2Z.DAB=1,cos乙DAN=cos（Z.DAB-=/cos4￡MB+；sinz>￡MB=

2y/~3,

---1----3,

510

所以cos/DNC=cos24DAN=2cos?乙DAN-1=2（手+^）2-1=

故選：A.

根據面積比得到4B4C=也確定cosZ_DA8=cos^DAN=+國再根據coszJ）NC=

°5510

cos2z￡MN計算得到答案.

本題主要考查了三角函數的實際應用，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：4項，4cos215°—2=2(2COS215°-1)=2cos300=A/-3,錯誤；

8項,4sml5°sm75°=4sml5°cosl5°=2sm30°=1,正確；

C項，y/~~2(cosl50-s比15°)=2(ycosl50—?s出15°)=2(cos45°cosl50—sin45°sml5°)=

2cos60°=1,正確；

。項，=tan(45。+15。)=t即60。=C，錯誤.

；1—+t：叱anl5：：=1—tan4譽5ta"nI1：5；''

故選：BC.

由余弦的二倍角公式化簡選項A；由正弦的二倍角公式化簡選項8；由輔助角公式化簡選項C；

由兩角和的正切公式化簡選項D.

本題考查三角恒等變換，考查兩角和公式和二倍角公式的應用，屬于基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于選項A,而+而-麗=而+說+初=2而+而*而，故選項A錯誤;

對于選項B,(AD+MB)+(BC+CM}=AD+(BC+CM+MB)=AD^故選項B正確；

對于選項C,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AD＞故選項C正確；

對于選項。，OC-OA+CD=AC+~CD=AD，故選項O正確.

故選:BCD.

由向量的加法與減法法則逐一驗證即可.

本題主要考查向量的加法與減法，屬于基礎題.

11.【答案】ACD

【解析】解：A選項：當n=1時，則/(x)=sin(2x+今+2cos2x—cos2x+cos2x+1=2cos2x+1,

可得/卷)=2cos岑+1=1,故f(x)圖象的一個對稱中心為弓,1),故A正確;

8選項：當n為奇數時，則有：

若n=4k+l(/ceZ),則/'(x)=sin(2x+2kn+今+2cos2x=sin(2x+,+2cos2x=cos2x+

cos2x+1=2cos2x+1,

此時函數/Xx)的最小正周期是兀；

若n=4/c—l(fceZ),則f(x)=sin(2x+2kn—+2cos2x=sin(2x-^)4-2cos2x=—cos2x+

cos2x+1=1,

顯然沒有最小正周期；故B錯誤；

C選項：當n為偶數時，則有：

若n=4k(keZ),則/(#)=sin(2x+2/CTT)+2cos2x=sin2x+cos2x+1=V_2sin(2x+.)+1,

f(x)max=q+1；

若n=4/c+2(k6Z),則/'(x)=sin(2x+2kn+兀)+2cos2x=sin(2x+兀)+2cos2x=-sin2x+

cos2x+1=Ccos(2x+》+1,/'(x)max=「+1，故C正確.

。選項：由選項C可知：當n為偶數時，f(x)=Csin(2x+9+l或/(x)=Ccos(2x+》+l,

-.■xe(^y),所以2刀+江&兀)，故f(x)在質曲上單調遞減，故。正確.

故選：ACD.

對4：根據對稱中心的性質分析運算；對B：分n=4k+l(k€Z)和n=4k-l(keZ)兩種情況討

論，整理分析；對C：分n=4k(k€Z)和"=4/￡+2(憶62)兩種情況討論，結合輔助角公式運算

求解；對D：根據選項C的結果，結合單調性分析運算.

本題考查三角函數的性質，化歸轉化思想，屬中檔題.

12.【答案】AB

【解析】解:/(%)=(sinx+

cosx^sinx—|cos%I)=

sin2%—cos2%,2k7i—^<%<2kn+]

(sinx4-cosx)2,2kn4-^<%<2kn+

fcGZ,

jl7T

—cos2x,2kn--<%<2kn+-

27r3,r，(fcGZ),

1+sin2xt2kn+-<x<2kn+—

—cos2x(2kn—^<x<2kn+勺

???f(x)=1+sin2x(2kn+1<x<2kn+^k

???/(X)的圖象如下所示：

由圖可知函數是周期為27r的周期函數，函數在[。]網上單調遞增，

.??/(X)在區間[—2兀，一|句上單調遞增，故A正確，

由圖可知x=1+kn(_keZ)不是函數的對稱軸，故C錯誤；

3

,?"(x)-『0，

??.y=|與y=/(久)的交點即為所求，如圖知有四個交點，

□，r/3TT、37rc57r57r

且與+x2=2xx3+x4=2x—=

???xr+x2+x3+x4=n,故B正確.

由圖象可知，:/Qi)-/(乂2)=3,二/(X1)=2,/(x2)=-1>

???X1=、+kj.兀，h6Z,x2=k2n,k2GZ,

：■x1-x2=^+krn-k2n,自eZ,k2GZ,故。錯誤.

故選:AB.

將函數寫成分段函數，即可畫出函數圖象，再結合函數圖象一一分析即可.

本題主要考查了三角函數的圖象和性質，考查了數形結合的數學思想，屬于中檔題.

13.【答案】0

【解析】解:因為/(x)=tanx+sinx+1,令g(x)=/(%)—1=tanx+sinx,

所以g(一%)=tan(—%)+sin(—x)=—(tanx+sinx)——g(x)，

所以g(—b)=—g(b),BP/(-b)-1=-[/(fa)-1],

所以J(-b)=1一[/(b)-1]=2-2=0.

故答案為：0.

利用函數的奇偶性進行求解.

本題主要考查函數奇偶性的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

14.【答案】9

【解析】解：令￡=5由2%,則+=2+甘7，

sinxcos"ti-t

=<+占［t+（1-t）］=5+￡+與N9>

當且僅當工=處組時取等號，

1—tt

故答案為：9.

☆t=siMx,則-V+m=：+A，然后利用乘1法即可求解.

sin'coszxt1-t

本題主要考查利用乘1法求解最值，屬于中檔試題.

15.【答案】?

［解析］解：sin2004-s譏40°+sm60°—sin800

=sin200+sin(60°—20°)+sin600—sin(60°+20°)

=sin20°+三cos200-1sin200+三一三cos200-；sin20°

故答案為：￡3.

由已知結合兩角差與和的正弦公式進行化簡即可求解.

本題主要考查了兩角和與差的正弦公式的應用，屬于基礎題.

16.【答案】（7,當

【解析】解:函數.=｛靄me（2,+8）的圖象如下圖所示:

存在實數kG［0,1)滿足/(a)=f(b)=/(c)=/(d)=k(a,b,c,d互不相等),

不妨設QVbvcvd,則由圖可知a,b關于％=2對稱，所以Q+b=l；

當0</c<1時，令|log2(%—2)|=1,解得％=|或％=4,故而|<c<3,3VdV4,

且由圖可得-log2(c-2)=log2(d-2),Alog2(c-2)T=log2(d-2),

1151

，c+d=cd----+2=c—2d----+4,***—<Zc<3,c—2EG，1),

c—zc—izL

設亡=。—2,則c+d=t+；+4在tW(；,1)上單調遞減，

113

t=-,c4-d=—,t=1,c+d=6,

所以c+dW(6,竽)，所以Q+b+c+d€(7,9)，

綜上所述a+b+c+dE(7,^).

故答案為：(7,,).

畫出函數/'(x)的圖象，根據圖象確定a,b關于x=g對稱，所以a+b=l,再根據圖象，找到c,d

的范圍，將c+d的范圍表示出即可.

本題考查方程的根與函數圖象交點問題，屬于難題.

17.【答案】解：(l)sin等-cos亭+tan(-竽)=sin(^+4TT)-cos(-y+4兀)+tan(-^-3兀)

.n27r47rl.八

=sin7—cos——tan7=-+--1=0；

63422

(2)因為角a終邊上有一點P(—g,?),

<3￡5

所以sina=tana=

sin(a—^)cos(^—a)tan(7r—a)_(^—cosa)sina(-tand)

tan(7r+a)sin(7r4-a)tana(-sina)

【解析】(1)利用誘導公式直接化簡求解即可;

(2)先利用三角函數的定義求sina,cosa,tana,再利用誘導公式代入求解即可.

本題主要考查了三角函數定義，誘導公式在三角化簡求值中的應用，屬于基礎題.

18.【答案】解：（l）tma=tan［（a-6）+刃=^^3=金=/（6分）

tan(a—0)+tQ〃a

(2)tan(2a—/?)=tan[(a-/?)+?]=分)

1—tan(a—/?)tana=1(9

c71Tle

v0<a<-,-</?<yr,

rrTT

???0<2a<-,—n<-/?<--

:.-7i<2a—p<0（11分）

2a-0=-手.（13分）

【解析】（1）把所求式子中的角a變為（a-/7）+a,利用兩角和與差的正切函數公式化簡后，將各

自的值代入即可求出值；

（2）先把2。一夕變為（。-0）+西利用兩角和的正切函數公式即可求出tan（2a-0）的值，然后根

據a和,的范圍求出2a—夕的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出2a—夕的度數.

此題考查學生靈活運用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道基礎

題.學生做題時注意角度的變換.

19.【答案】解：(l)f(x)=2y[~3sinxcosx—2cos2x+1=\/~3sin2x—cos2x=2sin(2x—?

，函數/(x)的最小正周期為T=y=7T,

令一2+2kir<2x—g4尚+2kji,kEZf

則一g+kn<%4-kn,kWZ,

o3

.?.單調遞增區間為[-，+/ot(+E：],keZ.

(2)vxG[-§,=],

??.2x-旌Hr5],

sin(2x—^)G[—1,1]>

f(x)=2sin(2x—^)G[—2,1],

則函數f(x)在區間[-瑞幣的值域為[-2,1].

【解析】（1）利用三角恒等變換化簡，再利用正弦函數的圖形與性質求解即可;

（2）利用正弦函數的圖形與性質求解即可.

本題考查了三角恒等變換的運用，正弦函數的圖形與性質，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)令h(x)=4sin(3x+s),

由圖象可知:4=2,最小正周期7=4x(1—$=等

==3,九得)=2sin償+</>)=2,

則等+3=言+2k7r(k6Z),解得：<jp=—?+2kn(kGZ),

OLJ

又⑼<p.*?(P=

???h(x)=2sbi(3%—^),

???/(%)=Kx+$=2s譏［3(%+今一芻=2sin(n+3%--)=-2sin(3x-今；

(2)由(1)得：g(x)=-4sin(2x-1)-a,

當xeV，居］時,2x-fe［-^］,

令t=2%則?n(t)=-4sint^tG［一手，咨上與y=a恰有3個交點,

J5o

作出m(t)與y=a的圖象如下圖所示，

由圖象可知：當一-2時，m(t)=-4sint與y=。恰有3個交點，

即若g(x)在［―(普］上恰有3個零點，則a的取值范圍為

【解析】⑴令無。)=一金=AS譏(3X+0),結合圖象可求得/i(x)的解析式，則由/(%)=h(x+

9可求得/(x);

(2)由⑴可得g(x),令t=2%-三,將問題轉化為m(t)=-4sint在te［-4，*上與y=a恰有3個

JJO

交點，采用數形結合的方式可求得結果.

本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題可知，將/(%)的圖象向左平移色個單位長度后得到函數g(x)的圖象，

則g(x)=cos［2w(x+5)+。］=cos(2a?x+詈+0),

由g(x)的最小正周期為兀，得舁=兀,3=1

由g(x)為奇函數可得等+。=升而，^e=l+kn,

因為0V6<7T,

所以6=*

所以/(%)=cos(2x4-^).

(2)由(1)得g(%)=-sin2x,

所以九(%)=2g(%)4-3COS22X4-m-3=-2sin2x+3cos22x+m—3=-3sin22x—2sin2x+m,

根據九(%)>0恒成立，可得m>3sin22x+2s譏2%對任意實數％e［一看,|兀］恒成立；

令t=sin2x,r(t)=3t24-2t=3(t+1)2—g,

因為xeV，爭，所以2xe［-9爭，根據正弦函數單調性可得或ge

即t6［一?，1卜

再根據二次函數單調性可得r(t)G［-|,5］,

因此m>5,

即實數m的取值范圍為［5,+8).

【解析】(1)根據函數圖象平移變換以及最小正周期為兀，可得3=1,利用平移后的函數g(x)為

奇函數，即可求解.

(2)將g(x)=—sin2x代入化簡可得/i(x)=—3sin22x-2sin2x+m,再利用換元法根據xe

|捫由二次函數單調性即可求得實數m的取值范圍.

本題主要考查三角函數的圖象與性質，考查轉化能力，屬于中檔題.

22.【答案】解:⑴函數f(x)=a(\sinx\