高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2022-2023學年高一下學期期末質量檢測數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則復數（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，故選：B2.甲、乙兩名運動員進入男子羽毛球單打決賽，假設比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機產生1~5之間的隨機數，當出現隨機數1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組，產生20組隨機數：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據此估計甲獲得冠軍的概率為（）A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68〖答案〗C〖解析〗由題意得甲獲勝的情況有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計甲獲得冠軍的概率為，故選：C3.在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴．故選：D．4.我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應數表，這是世界數學史上最早的正切函數表，根據三角學知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”進行兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，，若第一次的“晷影長”是“表高”的2.5倍，且，則第二次“晷影長”是“表高”的（）A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，所以，即第二次的“晷影長”是“表高”的倍.故選：A.5.擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一枚出現奇數點”，“第二枚出現偶數點”，則與的關系為（）．A.互斥 B.互為對立C.相互獨立 D.相等〖答案〗C〖解析〗擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一枚出現奇數點”，“第二枚出現偶數點”，事件與能同時發生，故事件與既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；，，，，因為，所以與獨立，故選項C正確；事件與不相等，故選項D錯誤.故選：C.6.在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，由正弦定理得所以，又，所以則，即，則由余弦定理可得，所以.故選：B.7.已知點，，點在軸上，當取最小值時，點的坐標是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則，所以，由二次函數的性質得，當時有最小值，所以點的坐標是．8.如圖是一座山的示意圖，山體大致呈圓錐形，且圓錐底面半徑為2km，山高為，B是母線SA上一點，且.為了發展旅游業，要建設一條從A到B的環山觀光公路，這條公路從A出發后先上坡，后下坡.當公路長度最短時，下坡路段長為（）A. B.3km C.3.6km D.〖答案〗C〖解析〗由題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長，所以展開圖的圓心角，如圖，是圓錐側面展開圖，結合題意，，由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，即點為公路的最高點，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長度為．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數（i為虛數單位），對于復數的以下描述，正確的有（）A. B.C.的共軛復數為 D.在復平面內對應的點在第三象限〖答案〗BD〖解析〗，對于A，，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，因為，所以，所以C錯誤，對于D，因為，所以在復平面內對應的點在第三象限，所以D正確，故選：BD10.某校舉行“歌唱祖國，為青春喝彩”歌唱比賽．比賽由9名專業人士和9名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分．兩個評委小組（記為小組A，小組B）對同一名選手打分分值的折線圖如下，則（）A.小組A打分分值的眾數為47B.小組B打分分值第90百分位數為75C.小組A打分分值的方差大于小組B打分分值的方差D.小組B打分分值的極差為39〖答案〗ABD〖解析〗由折線圖知，小組A打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，眾數為47，故A正確；小組B打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，∵，∴小組B打分分值第90百分位數為第9個數75，故B正確；小組A打分分值的均值，小組A打分分值的方差，小組B打分分值的均值，小組B打分分值的方差，故C錯誤；小組B打分分值的極差為75－36＝39，故D正確．故選：ABD．11.若函數，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為偶函數〖答案〗BCD〖解析〗因為.對于選項A：的最小正周期為，故A錯誤；對于選項B：因為，則，且在上單調遞增，所以在單調遞增，故B正確；對于選項C：因為為最大值，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；對于選項D：將的圖象向右平移個單位長度，得到，且為偶函數，故D正確；故選：BCD.12.已知三棱錐，，是邊長為2的正三角形，為中點.下列結論正確的是（）A.異面直線CE與AB所成角余弦值為B.直線CE與平面ABC所成角的正弦值為C.二面角余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗BD〖解析〗三棱錐，，是邊長為2的正三角形，所以，則，同理對于A，如圖，取中點，連接因為為中點，位中點，所以，所以為異面直線CE與AB所成角或其補角，因為，所以，同理，在中，，所以異面直線CE與AB所成角的余弦值為，故A不正確；對于B，如圖，連接，作平面于，則直線CE與平面ABC所成角為因為，所以，則，所以，則直線CE與平面ABC所成角的正弦值為，故B正確；對于C，如圖，取中點為，連接因為，，為中點，所以且，則，所以，則為二面角的平面角，所以，故C不正確；對于D，把三棱錐還原為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球．設其半徑為，由正方體的外接球滿足，所以．所以球的表面積為．故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，且.寫出滿足條件的一個非零向量__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，形如）〖解析〗設，而向量，且，因此，即，又，則令，所以，取，得.故〖答案〗為：14.已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4和8，高為2.該正四棱臺的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗因為正四棱臺的側面等腰梯形，又正四棱臺的上、下底面的邊長分別是4、8，高為2，所以側面梯形的斜高為，則梯形的面積，上下底底面面積分別為，，所以該四棱臺的表面積為．故〖答案〗為：．15.我省新高考實行“3+1+2”模式，即語文、數學、英語必選，物理與歷史2選1，政治、地理、化學和生物4選2.今年高一小王與小李都準備選歷史與地理，若他倆再從其他三科中任選一科，則他們選科相同的概率為_________.〖答案〗〖解析〗依題意，今年高一的小王與小李都準備選歷史與地理，則他倆再從其他三科中任選一科基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他們選課相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，所以他們選課相同的概率．故〖答案〗為：.16.在中，點D在邊BC上，，，．當取得最小值時，_________.〖答案〗〖解析〗設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求與的夾角.解：（1）因為向量，，，且，所以在上的投影向量為.（2）因為向量，，，且，所以，所以，記與的夾角為，則，又，所以與的夾角為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，F為的中點，，且，，.（1）證明：平面PCD；（2）證明：平面PCD.證明：（1）取PD中點E，連接EF、EC，如圖所示，因為E、F分別為PD、PA中點，所以，且，又因為，且，所以且，所以四邊形EFBC為平行四邊形，所以，因為平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．（2）因為，F為PA中點，所以，又，則，因為，平面PCD，，所以平面PCD.19.全民國家安全教育日是為了增強全民國家安全意識，維護國家安全而設立的節日.2024年4月15日是我國第八個全民國家安全教育日，某校組織國家安全知識競賽，共有20道題，三位同學獨立競答，甲同學能答對其中的12道，乙同學能答對其中的8道，丙同學能答對其中的道，現從中任選一道題，假設每道題被選中的可能性相等.（1）求甲、乙兩位同學恰有一個人答對的概率；（2）若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率為，求的值.解：（1）設“任選一道題甲答對”，“任選一道題乙答對”，則，，，，“甲，乙兩位同學恰有一個人答對”的事件為，且與互斥，由每位同學獨立競答，知A，B互相獨立，則A與，與B，與均相互獨立，則，所以任選一道題，甲，乙兩位同學恰有一個人答對的概率為.（2）令“任選一道題丙答對”，則，，設“甲，乙，丙三個人中至少有一個人答對”，由（1）知，，解得，所以.20.“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環，為推進生態文明建設，某市在全市范圍內對環境治理和保護問題進行滿意度調查，從參與調查的問卷中隨機抽取200份作為樣本進行滿意度測評（測評分滿分為100分）.根據樣本的測評數據制成頻率分布直方圖如下：根據頻率分布直方圖，回答下列問題：（1）求的值；（2）估計本次測評分數的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）和第85百分位數（精確到0.01）；（3）從樣本中成績在，的兩組問卷中，用分層抽樣的方法抽取5份問卷，再從這5份問卷中隨機選出2份，求選出的兩份問卷中至少有一份問卷成績在中的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可知；（2）本次測評分數的平均數為，即本次測評分數的平均數約為76.2分.在頻率分布直方圖中，前5組頻率之和為0.84，小于0.85，故第85百分位數位于第6組，所以，即第85百分位數約為90.63；（3）第5，6組的問卷數分別為48人，32人，從第5，6組中用分層抽樣的方法抽取5份問卷，則第5，6組抽取的問卷數分別為3人，2人，分別記為，，，，，從5份問卷中隨機抽取2人，有，，，，，，，，，共10個基本事件，這2份中有一份在內的基本事件，，，，，，共6個，2份都在內的基本事件，所以.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面ABCD，且M是PD的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點D到平面AMC的距離.（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.又四邊形ABCD是矩形，∴，∵，平面PAD∴平面PAD，∵平面PAD，∴，又M是PD的中點，，∴，∵，平面PCD，所以平面PCD，又平面AMC，所以平面平面PCD.（2）解：法一：取AD中點為N，連接MN，在中，M，N分別為線段PD，AD的中點，故，，∵平面ABCD，∴平面ABCD，∴.由（1）得平面PCD，∵平面PCD，∴，∵，∴，，又，∴，∴，設點D到平面AMC的距離為，則，解得：，所以點D到平面AMC的距離為.法二：在平面PCD內，過點D作，H為垂足.由（1）知平面平面PCD，又平面平面，平面PCD，所以平面AMC，故點D到平面AMC的距離為DH.因為平面ABCD，所以，因為，所以，又M為PD的中點，所以，又因為平面PAD，所以，在直角中，所以，.22.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，且的面積為.（1）求A，C兩點間的距離；（2）設的角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且.作的內切圓，求這個內切圓面積的最大值.解：（1）在中，因為，所以.由余弦定理可得，所以.故A，C兩點間的距離是.（2）根據三角形面積公式有，即，又因為，所以，所以，所以，，得.設內切圓的半徑是，因，則.所以又，因此，解法一：在中，，.由正弦定理得，所以，，于是.又，所以.當時，取得最大值，從而取得最大值2故內切圓面積的最大值為.解法二：所以，所以，當且僅當時等號成立，此時.內切圓面積的最大值為.福建省南平市2022-2023學年高一下學期期末質量檢測數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則復數（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，故選：B2.甲、乙兩名運動員進入男子羽毛球單打決賽，假設比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機產生1~5之間的隨機數，當出現隨機數1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組，產生20組隨機數：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據此估計甲獲得冠軍的概率為（）A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68〖答案〗C〖解析〗由題意得甲獲勝的情況有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計甲獲得冠軍的概率為，故選：C3.在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴．故選：D．4.我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應數表，這是世界數學史上最早的正切函數表，根據三角學知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”進行兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，，若第一次的“晷影長”是“表高”的2.5倍，且，則第二次“晷影長”是“表高”的（）A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，所以，即第二次的“晷影長”是“表高”的倍.故選：A.5.擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一枚出現奇數點”，“第二枚出現偶數點”，則與的關系為（）．A.互斥 B.互為對立C.相互獨立 D.相等〖答案〗C〖解析〗擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一枚出現奇數點”，“第二枚出現偶數點”，事件與能同時發生，故事件與既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；，，，，因為，所以與獨立，故選項C正確；事件與不相等，故選項D錯誤.故選：C.6.在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，由正弦定理得所以，又，所以則，即，則由余弦定理可得，所以.故選：B.7.已知點，，點在軸上，當取最小值時，點的坐標是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則，所以，由二次函數的性質得，當時有最小值，所以點的坐標是．8.如圖是一座山的示意圖，山體大致呈圓錐形，且圓錐底面半徑為2km，山高為，B是母線SA上一點，且.為了發展旅游業，要建設一條從A到B的環山觀光公路，這條公路從A出發后先上坡，后下坡.當公路長度最短時，下坡路段長為（）A. B.3km C.3.6km D.〖答案〗C〖解析〗由題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長，所以展開圖的圓心角，如圖，是圓錐側面展開圖，結合題意，，由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，即點為公路的最高點，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長度為．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數（i為虛數單位），對于復數的以下描述，正確的有（）A. B.C.的共軛復數為 D.在復平面內對應的點在第三象限〖答案〗BD〖解析〗，對于A，，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，因為，所以，所以C錯誤，對于D，因為，所以在復平面內對應的點在第三象限，所以D正確，故選：BD10.某校舉行“歌唱祖國，為青春喝彩”歌唱比賽．比賽由9名專業人士和9名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分．兩個評委小組（記為小組A，小組B）對同一名選手打分分值的折線圖如下，則（）A.小組A打分分值的眾數為47B.小組B打分分值第90百分位數為75C.小組A打分分值的方差大于小組B打分分值的方差D.小組B打分分值的極差為39〖答案〗ABD〖解析〗由折線圖知，小組A打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，眾數為47，故A正確；小組B打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，∵，∴小組B打分分值第90百分位數為第9個數75，故B正確；小組A打分分值的均值，小組A打分分值的方差，小組B打分分值的均值，小組B打分分值的方差，故C錯誤；小組B打分分值的極差為75－36＝39，故D正確．故選：ABD．11.若函數，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為偶函數〖答案〗BCD〖解析〗因為.對于選項A：的最小正周期為，故A錯誤；對于選項B：因為，則，且在上單調遞增，所以在單調遞增，故B正確；對于選項C：因為為最大值，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；對于選項D：將的圖象向右平移個單位長度，得到，且為偶函數，故D正確；故選：BCD.12.已知三棱錐，，是邊長為2的正三角形，為中點.下列結論正確的是（）A.異面直線CE與AB所成角余弦值為B.直線CE與平面ABC所成角的正弦值為C.二面角余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗BD〖解析〗三棱錐，，是邊長為2的正三角形，所以，則，同理對于A，如圖，取中點，連接因為為中點，位中點，所以，所以為異面直線CE與AB所成角或其補角，因為，所以，同理，在中，，所以異面直線CE與AB所成角的余弦值為，故A不正確；對于B，如圖，連接，作平面于，則直線CE與平面ABC所成角為因為，所以，則，所以，則直線CE與平面ABC所成角的正弦值為，故B正確；對于C，如圖，取中點為，連接因為，，為中點，所以且，則，所以，則為二面角的平面角，所以，故C不正確；對于D，把三棱錐還原為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球．設其半徑為，由正方體的外接球滿足，所以．所以球的表面積為．故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，且.寫出滿足條件的一個非零向量__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，形如）〖解析〗設，而向量，且，因此，即，又，則令，所以，取，得.故〖答案〗為：14.已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4和8，高為2.該正四棱臺的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗因為正四棱臺的側面等腰梯形，又正四棱臺的上、下底面的邊長分別是4、8，高為2，所以側面梯形的斜高為，則梯形的面積，上下底底面面積分別為，，所以該四棱臺的表面積為．故〖答案〗為：．15.我省新高考實行“3+1+2”模式，即語文、數學、英語必選，物理與歷史2選1，政治、地理、化學和生物4選2.今年高一小王與小李都準備選歷史與地理，若他倆再從其他三科中任選一科，則他們選科相同的概率為_________.〖答案〗〖解析〗依題意，今年高一的小王與小李都準備選歷史與地理，則他倆再從其他三科中任選一科基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他們選課相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，所以他們選課相同的概率．故〖答案〗為：.16.在中，點D在邊BC上，，，．當取得最小值時，_________.〖答案〗〖解析〗設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求與的夾角.解：（1）因為向量，，，且，所以在上的投影向量為.（2）因為向量，，，且，所以，所以，記與的夾角為，則，又，所以與的夾角為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，F為的中點，，且，，.（1）證明：平面PCD；（2）證明：平面PCD.證明：（1）取PD中點E，連接EF、EC，如圖所示，因為E、F分別為PD、PA中點，所以，且，又因為，且，所以且，所以四邊形EFBC為平行四邊形，所以，因為平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．（2）因為，F為PA中點，所以，又，則，因為，平面PCD，，所以平面PCD.19.全民國家安全教育日是為了增強全民國家安全意識，維護國家安全而設立的節日.2024年4月15日是我國第八個全民國家安全教育日，某校組織國家安全知識競賽，共有20道題，三位同學獨立競答，甲同學能答對其中的12道，乙同學能答對其中的8道，丙同學能答對其中的道，現從中任選一道題，假設每道題被選中的可能性相等.（1）求甲、乙兩位同學恰有一個人答對的概率；（2）若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率為，求的值.解：（1）設“任選一道題甲答對”，“任選一道題乙答對”，則，，，，“甲，乙兩位同學恰有一個人答對”的事件為，且與互斥，由每位同學獨立競答，知A，B互相獨立，則A與，與B，與均相互獨立，則，所以任選一道題，甲，乙兩位同學恰有一個人答對的概率為.（2）令“任選一道題丙答對”，則，，設“甲，乙，丙三個人中至少有一個人答對”，由（1）知，，解得，所以.20.“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環，為推進生態文明建設，某市在全市范圍內對環境治理和保護問題進行滿意度調查，從參與調查的問卷中隨機抽取200份作為樣本進行滿意度測評（測評分滿分為100分）.根據樣本的測評數據制成頻率分布直方圖如下：