第6課極限的概念課題極限的概念課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1．理解函數的極限2．會計算函數的極限，包括函數在某點的左極限、右極限3．能夠判斷無窮小量和無窮大量思政育人目標：通過數學史和數學文化的記載，提出極限思想，讓學生充分感覺到我國深厚的文化底蘊，激發學生的愛國情懷；引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：計算函數的極限、左極限和右極限教學難點：判斷無窮小和無窮大教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第一節課：課前任務→考勤（2min）→問題導入（10min）→講授新課（33min）第二節課：講授新課（20min）→課堂測驗（10min）→互助指導（12min）→課堂小結（3min）→課后拓展教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課課前任務【教師】和學生負責人取得聯系，布置課前任務，提醒同學做完作業，在指定時間內交齊【學生】做完作業，在指定時間內交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學習軟件，布置課前任務：（1）了解我國古代數學家劉徽和哲學家莊子關于極限思想的記載（2）了解古希臘哲學家芝諾關于悖論的記載【學生】提前上網搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預熱，讓學生了解所學科目的大概方向，充分感覺到我國深厚的文化底蘊，激發學生的愛國情懷和學習欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況問題導入（10min）【教師】講述《阿基里斯追龜（芝諾悖論）》，并提問：什么是極限？我們為什么要學極限？【學生】聆聽、思考、舉手發言通過問題導入，吸引學生關注，調動學生的主觀能動性講授新課（33min）【教師】通過引用我國古代數學家劉徽的“割圓術”和哲學家莊子的“截丈問題”，激發學生的愛國情懷，引發學生對極限的學習興趣極限思想產生于求某些實際問題的精確值，在數學燦爛的歷史長河中，有很多典型范例．例如，我國古代數學家劉徽（公元3世紀）的“割圓術”，是利用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，這里就用到了極限的思想；又如，春秋戰國時期的哲學家莊子（公元前4世紀）在《莊子·天下篇》中對“截丈問題”有一段名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中就隱含了深刻的極限思想．現在，用極限思想分析問題的方法廣泛應用于社會生活和科學研究的各個方面．例如，一杯100℃的水，放在20℃的恒溫房間里，水溫會怎樣變化呢？本章我們將帶領大家走進極限的世界．【教師】講解數列的定義，并通過例題介紹數列極限的判斷及求法定義1在某一法則下，當依次取

時，對應的實數排成一列數

，這列數就稱為數列，記作．數列中的每一個數稱為數列的項，第n項稱為數列的一般項或通項．數列可看作自變量為整數n的函數，它的定義域是全體正整數．當自變量n依次取等一切正整數時，對應的函數值就排列成數列．截丈問題若對1m長的木棒，每天截取一半，則剩余棒的長度可表示為如下數列：．可見，隨著截取的天數n增多，剩余棒的長度越來越短．當天數n無限增大時，數列無限趨近于0．定義2對于數列，當n無限增大時，若數列的一般項無限地接近于某一確定的數值a，則稱常數a是數列的極限，或稱數列收斂于a，記作．若數列沒有極限，則稱數列是發散的．例1討論下列數列的變化趨勢，說明極限是否存在，若存在，請寫出它們的極限例1（1）； （2）； （3）；（4）．解（1）的項依次為，當n無限增大時，無限接近于1，所以．（2）的項依次為，當n無限增大時，交替為0和1，不趨近于某一個常數，所以該數列的極限不存在．（3）

（4）為常數數列，無論n取怎樣的正整數，始終為8，所以．例2某單位購置一批價格為100萬元的設備，該設備每年的折舊費是當年價格的，那么隨著時間的推移，這批設備的價格如何變化？例2解這批設備的價格（單位：萬元）第一年為100，第二年為，第三年為，第四年為，……，第n年為．當n無限增大（即）時，由數列極限的定義可知．因此，隨著時間的推移，這批設備的價格無限接近于0．【教師】由數列的極限歸納出函數的極限，并通過例題介紹函數極限的判斷及求法數列是一種特殊的函數，對其主要研究當自變量時函數值的變化趨勢．對于一般函數，也可討論自變量在某一變化過程中函數的變化趨勢．函數自變量的變化過程可分為兩種情況：的絕對值無限增大；無限接近．為了方便起見，我們規定：（1）的絕對值無限增大用記號表示；小于0且絕對值無限增大用記號表示；大于0且絕對值無限增大用記號表示．（2）無限接近用記號表示；從的左側（即）無限接近用記號表示；從的右側（即）無限接近用記號表示．一杯水溫為100℃的水，放在20℃的恒溫房間里，隨著時間t的推移，水的溫度H將逐漸降低，即二者之間具有函數關系，且水溫會越來越接近房間內的溫度20℃，我們把20℃稱為水的極限溫度．下面分兩種情況來討論函數的極限．1．當時，函數的極限圖2圖2-1例3畫出函數的圖形，在的前提下，討論當時，該函數的變化趨勢，并說出它的極限．例3解所作圖形如圖2-1所示．從圖中可以看出，當x沿x軸的正方向無限增大時，曲線無限接近于x軸，但始終不與x軸相交．因此，當時，函數以0為極限．對于這種當時函數的變化趨勢，給出下面的定義．定義3當x的絕對值無限增大，即時，如果函數值無限趨近于某一個確定的常數A，那么A就稱為函數當時的極限，記作或．類似地，可定義和．例4討論是否存在．例4解如圖2-2所示，有及

．由于當和時，函數不是無限接近于同一個確定的常數，所以不存在．圖2-2由上面的例子可以看出，如果和都存在并且相等，那么也存在并且與它們相等．如果和都存在但不相等，那么不存在．定理1的充分必要條件是

．圖2-3例5討論函數及當時的極限．圖2-3例5解如圖2-3所示為這兩個函數的圖形．因為

，所以不存在．又因為，所以不存在．2．當時，函數的極限先看下面的例子．對于函數和，當時，和的變化趨勢如圖2-4所示．從圖像容易看出，當時，和都無限接近于2．（a）（b）圖2-4定義4設函數在點的附近有定義（在處可以無定義），如果存在一個常數A，當x無限趨于時，函數的值無限趨于A，那么A就稱為函數當時的極限，記作或．如果當從的左邊趨于（通常記作）時，無限接近某常數A，則常數A稱為函數當時的左極限，記作或．如果當x從的右邊趨于（通常記作）時，無限接近某常數A，則常數A稱為函數當時的右極限，記作或．左極限與右極限統稱為單側極限．根據當時函數的極限定義，以及左極限和右極限的定義，容易得出類似于定理1中極限存在的充分必要條件．定理2當時，以A為極限的充分必要條件是在點處的左、右極限存在且都等于A，即．例6設試判斷是否存在．例6解按題意，當時，的左、右極限分別為，．因為，所以存在，且．例7設討論極限是否存在．例7解如圖2-5所示，，

．因為，所以不存在．圖2-5【學生】體會數學概念是源于實際生活的，數學與我們生活是息息相關的。理解數列極限的概念，理解函數的概念，體會數學推理的歸納法，掌握函數極限的求法學習數列的極限、函數的極限。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化第二節課講授新課（20min）【教師】通過引例歸納出無窮小量的定義和性質，并通過例題介紹無窮小量的求法圖2-6在實際中，我們經常遇到一類變量，它們的絕對值變得越來越小且趨向于零．圖2-6引例單擺離開鉛直位置的偏度用角來度量，如圖2-6所示．如果讓單擺自己擺動，由于受到機械摩擦力和空氣阻力的影響，因此其擺動幅度會不斷地減小，角逐漸趨向于零．對于這種變量趨于零的情形，我們給出如下定義．引例定義5在自變量x的某一變化過程中，若函數的極限為0，即，則稱為該變化過程中的無窮小量，簡稱無窮?。?，因為當時，的極限為0，所以當時，為無窮小；因為當時，的極限為0，所以當時，為無窮?。蔁o窮小的定義，可得到如下性質（證明略）．性質1有限個無窮小的代數和仍是無窮小．性質2有限個無窮小的乘積仍是無窮小．性質3有界函數與無窮小的乘積仍是無窮?。?求．例8解因為，所以是時的無窮小．又因為，所以是有界函數．因此，由性質3知，．【教師】通過例題介紹無窮大量的概念例如，當時，的絕對值無限增大，因此在這

個變化過程中，是無窮大量；當時，函數是無窮大量；當時，是無窮大量．【教師】講解無窮小量和無窮大量之間的關系和判定定理3若(或)，則有(或0)．例如，因為，所以．【學生】理解無窮小量和無窮大量的概念，以及它們之間的關系；會判定無窮小和無窮大學習無窮小量和無窮大量的相關知識。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發布測試的題目，并讓學生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象互助指導（12min）?選出優秀學生帶動、指導其他同學掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現組內互助【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優秀學生帶動其他學生掌握知識點課堂小結（3min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課上大家理解了函數的極限，掌握了其計算方法，還掌握了無窮小量和無窮大量的概念，以及兩者之間的關系和判定，課后要多加練習，鞏固認知【學生】總結回顧知識點【教師】布置課后作業：習題2-