陜西省咸陽市2023-2024學年數學高二上期末學業質量監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.93．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.4．已知是拋物線上的一個動點,是圓上的一個動點,是一個定點,則的最小值為A. B.C. D.5．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.6．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．為了解義務教育階段學校對雙減政策的落實程度，某市教育局從全市義務教育階段學校中隨機抽取了6所學校進行問卷調查，其中有4所小學和2所初級中學，若從這6所學校中再隨機抽取兩所學校作進一步調查，則抽取的這兩所學校中恰有一所小學的概率是（）A. B.C. D.8．設等比數列，有下列四個命題：①{a②是等比數列；③是等比數列；④lgan其中正確命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.49．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺10．已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-111．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．若橢圓上一點到C的兩個焦點的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用1，2，3，4排成的無重復數字的四位數中，其中1和2不能相鄰的四位數的個數為___________（用數字作答）.14．已知橢圓C：，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則_________.15．已知直線：與直線：平行，則的值為___________.16．已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點．以F為圓心，FA為半徑的圓交拋物線C的準線于B，D兩點，A，F，B三點共線，且，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積18．（12分）已知等差數列的公差，前3項和，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.19．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點，線段的中點為，為坐標原點，且，求面積的最大值.20．（12分）已知橢圓，四點中，恰有三點在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經過點，且與橢圓相交于不同的兩點．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點，并求此定點坐標21．（12分）設函數（1）若，求函數的單調區間；（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍22．（10分）若數列的前n項和滿足，（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.2、C【解析】由，，共面，設，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(實數m、n)，即，∴，解得故選：C3、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關于、、的表達式.【詳解】故選：B.4、A【解析】恰好為拋物線的焦點，等于到準線的距離，要想最小，過圓心作拋物線的準線的垂線交拋物線于點，交圓于，最小值等于圓心到準線的距離減去半徑4-1=.考點:1.拋物線的定義；2.圓中的最值問題；5、B【解析】先確定拋物線的焦點坐標，和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式即可求出結果.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為,由點到直線的距離公式可得.故選：B6、D【解析】根據題意和直線的點方向式方程即可得出結果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D7、A【解析】由組合知識結合古典概型概率公式求解即可.【詳解】從這6所學校中隨機抽取兩所學校的情況共有種，這兩所學校中恰有一所小學的情況共有種，則其概率為.故選：A8、C【解析】根據等比數列的性質對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數.【詳解】是等比數列可得（為定值）①為常數，故①正確②，故②正確③為常數，故③正確④不一定為常數，故④錯誤故選C.【點睛】本小題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題.9、D【解析】根據題意轉化為等差數列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據等差數列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D10、A【解析】由題可得，利用與的關系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數列，∴，即，∴當時，，當時，也適合上式，所以故選：A.11、B【解析】由，得到，結合，得到，進而求得，得出，結合離心率的定義，即可求解.【詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.12、B【解析】討論焦點的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用插空法計算出正確答案.【詳解】先排，形成個空位，然后將排入，所以符合題意的四位數的個數為.故答案為：14、【解析】設M,N的中點坐標為P，,則；由于，化簡可得，根據橢圓的定義==6，所以12.考點：1.橢圓的定義；2.兩點距離公式.15、-1【解析】根據兩直線平行的條件列式求解即可.【詳解】由題意可知，的斜率，的斜率，∵，∴解得.故當時，直線：與直線：平行.故答案為：-1.16、2【解析】求得拋物線的焦點和準線方程，由，，三點共線，推得，由三角形的中位線性質可得到準線的距離，可得的值【詳解】拋物線的焦點為，，準線方程為，因為，，三點共線，可得為圓的直徑，如圖示：設準線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點，所以到準線的距離為,故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉化為證明AB⊥平面PAC，然后結合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結合已知先確定點M位置，然后轉化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點.所以18、（1）（2）【解析】（1）由，且成等比數列列式求解出和，然后寫出；（2）由，用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）∵，∴①又∵成等比數列，∴，②∵，由①②解得：，，∴（2）∵，，∴兩式相減，得∴【點睛】本題考查了等差數列基本量的計算，錯位相減法求和，屬于中檔題.19、（1）；（2）2.【解析】(1)根據已知條件列出關于a、b、c的方程組即可求得橢圓標準方程；(2)直線l和x軸垂直時，根據已知條件求出此時△AOB面積；直線l和x軸不垂直時，設直線方程為點斜式y＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結合韋達定理和弦長得k和t關系，表示出△AOB的面積，結合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標準方程為.【小問2詳解】當軸時，位于軸上，且，由可得，此時；當不垂直軸時，設直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設到直線的距離為，則，結合化簡得此時的面積最大，最大值為2.當且僅當即時取等號，綜上，的面積的最大值為2.20、（1）（2）證明見解析，定點【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設斜率存在，設出直線，利用斜率之和為，求出之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可.【小問1詳解】由對稱性同時在橢圓上或同時不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當直線斜率存在時，令方程為，由得所以得方程為，過定點當直線斜率不存在時，令方程為，由，即解得此時直線方程為，也過點綜上，直線過定點.【點睛】本題關鍵點在于先假設斜率存在，設出直線，利用題目所給條件得到之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可，屬于定點問題的常見解法，注意積累掌握.21、（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數的單調性，然后討論符號后可得函數的單調區間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導數討論的單調性并結合零點存在定理可得實數的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，記，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，，所以單調遞減區間為，單調遞增區間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數在和上各有一個零點當時，，，，則，故上無零點，與函數在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設，，則，則在上單調遞減，故當時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和上各有一個零點綜上可知，實數a的取值范圍為【點睛】方法點睛：利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點